行列式习题课.ppt

1 第一章行列式主要知识点网络图 概念 行列式 一般项是不同行不同列元素乘积的代数和 D DT 互换行列式的两行 列 行列式变号 某行有公因子可以提到行列式的外面 若行列式中某一行 列 的所有元素均为两元素之和 则该行列式可拆成两个行列式 某行 列 的k倍加到另一行 列 行列式不变 行列式知识点 性质 第1章 2 展开 计算 行展开 列展开 定义法 递推法 加边法 数学归纳法 公式法 拆项法 乘积法 析因子法 齐次线性方程组有非零解的充要条件 克拉默法则 应用 第1章 3 二 主要定理 1 行列式的展开定理 ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin i 1 2 n a1jA1j a2jA2j anjAnj j 1 2 n 2 行列式展开定理的推论 ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 i j a1jA1k a2jA2k anjAnk 0 j k 第1章 4 3 非齐次线性方程组克拉默法则 其中Dj j 1 2 n 是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组的常数项替换后得到的n阶行列式 第1章 5 4 齐次线性方程组的克拉默法则 若齐次线性方程组有非零解 则它的系数行列式必为零 第1章 6 三 重要公式 第1章 7 2 上 下三角行列式 第1章 8 9 四 典型例题 例1设 f x 则含x4的项的系数为 则含x3的项的系数为 常数项为 解因为f x 是4次多项式 含x4的项只有一项a11a22a33a44 2x4 含x3的项有两项 a14a22a33a41 6x3和 a11a22a34a43 4x3 常数项就是不含x的项 即f 0 12 2 10 12 10 例2设四阶行列式 则其第1列元素的代数余子式之和A11 A21 A31 A41 解因为当p 0时 有A11 0 A21 0 A31 0 A41 0 因而A11 A21 A31 A41 0 p 0时 由与pA11 pA21 pA31 pA41 0 即p A11 A21 A31 A41 0 得A11 A21 A31 A41 0 0 11 例3计算4阶行列式 加边法 解显然当x 0或y 0时 D 0 当x 0和y 0时 利用展开定理 12 这种计算方法叫做加边法 此方法适用于主对角线两侧元素都相同的行列式 在第二步计算的行列式是个字行列式 其计算方法如上 13 例4不计算行列式值 利用性质证明 证明 令 由于f x 是x的三次多项式 且 14 因此有 例5设a b c 0 试证 证 由于 15 又因a b c 0 所以D 0 16 例6设 是方程x3 px q 0的根 计算 解由于 17 又因为 是方程x3 px q 0的根 计算 所以 x x x 0 由根与系数的关系可知 0 故D 0 例7计算 解 将第2 3 n 1列都加到第一列 得 18 将第1列的 1 倍加到第2列 将第1列的 2 倍加到 将第3列 将第1列的 n 倍加到最后一列 得 19 注 本题利用行列式的性质 采用 化零 的方法 逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有 的行 列 及含零较多的行 列 若没有 则可适当选取便于化零的数 或利用行列式性质将某行 列 中的某数化为1 若所给行列式中元素间具有某些特点 则应充分利用这些特点 应用行列式性质 以达到化为三角形行列式之目的 20 例8计算n阶行列式 解 析因子法 因为当x 1时 Dn的前两行相同 从而Dn 0 所以x 1为Dn的因子 同理x 2 x 3 x n 1 均为Dn的因子 且各公因子互素 无公因子 所以Dn能被 x 1 x 2 x 3 x n 1 整除 又注意到Dn的展开式中最高次项xn 1的系数为1 从而Dn x 1 x 2 x 3 x n 1 21 例9证明 证 对阶数n用数学归纳法 因为D1 cos 所以n 1 2 结论成立 22 假设对阶数小于n的行列式结论成立 下面对于阶数 等于n的行列式也成立 将Dn按最后一行展开 23 得Dn 2cosaDn 1 Dn 2 所以对一切自然数n结论成立 24 例10求解下列行列式 解 把行列式按第1列展开 25 降阶后的行列式 第1个行列式与原行列式的结构相同 此行列式用 n 1表示 而后一个行列式是三角形行列式 则上式可表示为 把Dn 1按同样的方法展开得 把代入中得 依次下去 得 26 将代入中得 而 例11计算n阶行列式 27 解 将最后一列写成两数之和的形式 再由行列式的 性质可得 28 由观察可知 上式右端第一个行列式按最后一列 展开得Dn 1 而第二个行列式从最后一行开始 每后一 行乘以 1 加到相邻的前一行上 就变为下三角形 其 值为1 故得 29 例12计算行列式 解 公式法 作辅助函数 将上式按最后一列展开 则f y 为y的一个4次多项式 且一次项y的系数为 D 于是可以通过考察多项式f y 来求D 30 从上式易知 多项式f y 的一次项系数为 31 例13计算 解 依第n列把 拆成两个行列式之和 32 从而 由此递推 33 如此继续下去 可得 34 当x1x2 xn 0时 还可以写成 评注 本题是利用行列式的性质把所给的n阶行列式Dn 用同样形式的n 1阶行列式表示出来 建立了Dn与n 1阶行 列式Dn 1之间的递推关系 有时 还可以把给定的n阶行列式 Dn用同样形式的比n 1阶更低阶的行列式表示 建立比n 1阶 行列式更低阶的