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线性代数知识回顾 1 矩阵的概念 矩阵的定义 矩阵是数 或是函数 的矩形阵表 是数学上常用的概念 定义 由m n个数排成的m行n列的表 称为m行n列矩阵 matrix 简称矩阵 这m n个数叫做矩阵的 元素 当元素都是实数时称为实矩阵 realmatrix 当元素 为复数时称为复矩阵 complexmatrix 2 3 向量 n维行向量 1 n矩阵 a1 a2 an n维列向量 n 1矩阵 第i分量 ai i 1 n n阶方阵 n n矩阵 2 方阵 3 几种常用的特殊矩阵 1 对角矩阵 diagonalmatrix 记作 2 标量矩阵 scalarmatrix 3 n阶单位矩阵 unitmatrix 4 矩阵的乘法 定义设两个矩阵 则矩阵A与矩阵 B的乘积记为 规定 其中 应注意 只有当矩阵A的列数与B的行数相同时 A与B才能 作乘积 并且乘积矩阵的行数与A的行数相等 乘积矩阵的列 数与B的列数相等 5 矩阵的乘法满足下列运算律 假设运算都是成立的 1 结合律 2 分配律 3 设k是数 6 例设 求乘积矩阵 解 7 矩阵的转置 定义 设 则矩阵 称为A的转置矩阵 transposedmatrix 记作 转置矩阵就是把A的行换成同序号的列得到的一个新矩阵 例如 矩阵 的转置矩阵为 8 性质 1 A2 A A2 AB B A 3 kA kA 4 A B A B 9 逆矩阵 逆矩阵的概念 定义 设A为阶n方阵 若存在n阶方阵B 使 AB BA I 则称A是可逆矩阵 invertiblematrix 并称B为A的逆矩阵 inversematrix 记为 即 如果矩阵A是可逆的 则A的逆矩阵是唯一的 事实上 设A B都是可逆矩阵 则有 于是 10 定义 设A为n阶方阵 若 则称A是非奇异矩阵 nonsingularmatrix 或非退化矩阵 否则称A是奇异矩阵 singular matrix 或退化矩阵 定义设 令 为 A 中元素 的代数余子式 则称方阵 为A的伴随矩阵 adjointmatrix 或记为adjA 11 矩阵可逆的充要条件 定理 方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵 即 A 0 并且 12 矩阵的秩 矩阵秩的概念 定义 设A是一个m n矩阵 在A中任取k行 k列 位于 这些k行和k列交叉处的元素按原来的次序组成一个k阶行列式 称为矩阵A的一个k阶子式 minor 例如 矩阵 由1 2 3行与1 2 3列构成的三阶子式 在矩阵A中有一个三阶子式不为零 而所有的四阶子式全为零 这时我们可以称A的秩是3 13 定义 矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩 rank ofamatrix 记作r A 零矩阵的所有子式全为零 所以规定零矩阵的秩为零 设A是n阶方阵 若A的秩等于n 则称A为满秩矩阵 nonsingular matrix 否则称为降秩矩阵 singularmatrix 矩阵秩的性质 14 3 注 从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于它的阶梯数 即 非零行的数目 而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形 15 线性方程组 一 线性方程组的概念 含有n个未知量 m个方程的线性方程组的一般形式如