《现代分析基础》读书报告

题目： 现代分析基础读书报告 学院： 自动化学院 班级： 自动化2班 学号： 姓名： 任课老师： 目录第一章 现代分析基础发展过程4第二章 集合论82.1 元素与集合82.2 布尔代数82.3 两个集合的直积102.4 映射与基数10第三章 拓扑空间123.1 拓扑空间的定义123.2 拓扑空间的性质12第四章 赋范空间144.1 赋范空间的基本概念144.2 范数的等价性与有限维赋范空间18第五章 现代分析基础与自动化控制23参考文献24摘要 在这篇文章中,首先我将对本学期所学课程“现代分析基础”中的发展历史进行了简单的介绍,然后对书中的主要内容进行梳理,对其知识架构做出自己的概括总结,然后对相关知识进行扩展,着重介绍了集合论、拓扑空间与赋范线性空间的定义、定理、性质,以便形成更深层次的理解认识,最后结合自己的专业谈谈现代分析基础在自动化控制中的应用.关键词：集合 可测函数 拓扑空间 赋范空间 自动化控制 Fourier变换第一章 现代分析基础发展过程谈到现代分析基础就不得不谈一谈微积分的发展.微积分作为一门学科,是在十七世纪产生的.它的主要内容包括两部分：微分学和积分学.然而早在古代,微分和积分的思想就已经产生了.公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体体积等问题中,就隐含着近代积分学的思想.到了十七世纪,人们因面临着许多科学问题需要解决,如研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等,这些问题也就成了促使微积分产生的因素.许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作.十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家和德国数学家分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作.在创立微积分方面, 与功绩相当.这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征,并揭示出微分学与积分学之间的本质联系.两人各自建立了微积分学基本定理,并给出微积分的概念、法则、公式及其符号.这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础.微积分学基本定理指出,求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程,而把上下限代入不定积分即得到积分值,微分则是导数值与自变量增量的乘积.作为一种数学的思想微分就是“无限细分”,而积分就是“无限求和”. 与建立微积分的出发点是直观的无穷小量,但是理论基础是不牢固的,因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算.直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论.在“极限”的定义中,它绕过了用一个数除以0的麻烦,相反引入了一个过程任意小量,即除的数不是零,所以有意义.同时可以取任意小,只要满足在区间都小于,我们就说他的极限就是这个数.虽然这个概念给出的比较取巧,但是它的实用性证明,这样的定义还算比较完善,给出了正确推论的可能性,因此这个概念是成功的.后来康托尔等人又建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化,使得微积分在十九世纪后期成熟.微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力.微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造.微积分为创立许多新的学科提供了源泉.它给出一整套的科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强与加深了数学的作用.微积分的产生不仅具有伟大的科学意义,而且具有深远的社会影响.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代化的社会.在微积分的帮助下,万有引力定律发现了.可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件,但是随着研究问题的深入人们也发现经典微积分所存在的一些重大缺陷. 例如 设rn是0,1中的全体有理数,作函数列fnx=1,x=r1,r2,rn0, 其他 （n=1,2,）.显然有,且有limnfnx=fx=1, x为有理数. 0, x为有理数. 这里,每个fnx都是0,1上可积函数切积分为0.但极限函数fx不是可积的,所以.这说明积分的定义太窄,我们应该定义fx的积分满足.19世纪下半叶,随着对微积分各种课题的深入研究,人们开始认识到积分问题与点集面积如何界定以及度量密切相关.随后, 提出点集内外容量的观念,在工作的基础之上 1892年建立了测度理论.1898年 从开集出发构造了,从而使他的测度理论有了可数可加性.上例说明,对于定义在上的有界正值函数,按照积分的思想对划分后,只有fx在小区间上的振幅足够小,fx才是可积的.这就把很多具有剧烈震荡的函数排除在可积函数之外.对此, 提出对fx的值域进行划分而不对定义域划分.设分别是fx在的下界和上界,对任意的,作m=y0y1.yi-1yi.yn=M,其中yi-yi-1.记;这样,在上fx的振幅就不会大于.再计算并作和它是fx在上面积的近似值.然后令,定义上述积分理论即积分理论,它不仅蕴含了积分所能达到的成果,而且还较大程度上克服了它的局限性,成为现代应用上最为广泛的测度积分系统.第二章 集合论2.1 元素与集合集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.集合我们一般用大写字母表示.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.元素我们一般用小写字母表示.若是一个集合,则表示是集合的元素,或者属于；其否定关系写成.若一个集合不包含任何元素,则称这个集合为空集,记作.2.2 布尔代数给定两个集合,称集合为与的并集,记作.称为集合与的交集,记作.特别的,若,则称与互补相交.根据上述定义,集合的交与并运算具有如下性质：（2.2.1）交换律：；（2.2.2）结合律：；（2.2.3）分配律：. （2.2.4）关系“”等价于“”； 关系“”等价于“”. (2.2.5) 若,则.(2.2.6) ;,特别的,.类似地,可以定义任意多个集合的交集与并集.设集合有集合簇,我们定义如下并集与交集：,.并且上述交换律、结合律、分配律任然适用于任意多个集合的情形.设是两个集合,则集合称为的差,记为或者.特别的,若是全集,称为的补集,记为.显然,我们有如下简单事实：（i）;（ii）;(iii) ;(iv) 若,则；若,则.定理2.2.1（De.Morgan法则）（i）;（ii）.证：（i）若,则,即对任意的,有.故.反之,若,则对一切,有,即,.(ii) 若,则,即对任意的,有,所以.反之,若,则对一切,有,所以. 证毕.2.3 两个集合的直积给定任意两个集合存在着唯一的一个集合,其元素是所有的（其中）.这个集合即为的直积（笛卡儿积）,记作.相应的我们直积具有如下性质：（2.3.1）关系等价于或.（2.3.2）若,则关系等价与与.（2.3.3）.（2.3.4）.2.4 映射与基数映射 设是两个非空集合.若对,有唯一的与之对应.这种关系我们称为映射,记作.并称是从到的一个映射.根据不同的对应关系,映射可分为单射、满射和双射：(i)若时,总有,则称为单射;(ii)若,则称为满射;(iii)若既是单射又是满射,则称为双射.基数 设是两个集合.若存在一个从到的双射,则称集合与对等,记作.且满足如下性质：(i) ;(ii)若,则;(iii) ,若,则.第三章 拓扑空间3.1 拓扑空间的定义设是一个集合,若是的一个非空子集族.若果满足如下条件：(i) (i)；(ii) 若,则;(iii) 若是的任何集簇.则称是的一个拓扑. 如果是集合的一个拓扑,则称偶对（,）是一个拓扑空间,或称集合是一个相对于拓扑而言的拓扑空间；或者当拓扑早已约定或在行文中已有说明而无须指出是,称集合是一个拓扑空间.此外的每一个元素都叫做拓扑空间（,）（或）中的一个开集.设（,）是一个度量空间.令为由中的所有开集构成的集族.（,）是X的一个拓扑.我们称为X的由度量诱导出来的拓扑.此外我们约定：如果没有另外的说明,我们提到度量空间（,）的拓扑时,指的就是拓扑；在称度量空间（,）为拓扑空间时,指的就是拓扑空间（,）.3.2 拓扑空间的性质拓扑空间具有如下性质：(3.2.1)设都是拓扑空间.则(i)恒同映射是一个连续映射;（ii）如果和都是连续映射,则也是连续映射.(3.2.2)设都是拓扑空间,则（i）恒同映射是一个同胚；(ii)如果是一个同胚,则f :YX也是一个同胚；(iii)如果和都是同胚,则也是一个同胚.(3.2.3)：设都是拓扑空间,则(i) 与同胚；(ii)如果与同胚,则与同胚；(iii)如果与同胚,与同胚,则与同胚.第四章 赋范空间4.1 赋范空间的基本概念线性空间是在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进的.在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义4.1.1 设是实数域或复数域,是数域上的线性空间,若是到 的映射,且满足下列条件： (1) 且 当且仅当; (2) ,对任意和任意;(3) ,对任意. 则称为上的范数,而称为的范数,这时称为赋范线性空间. 明显地,若为赋范线性空间,则对任意,定义时,为度量空间,但对一般的度量空间,当为线性空间时,若定义,则不一定就是上的范数.例 设数列全体,则明显地,为线性空间,对任意的, 定义 则 但取,则而因此 所以,不是上的范数.定理4.1.2 设是线性空间,是上的度量,在上规定,则成为赋范线性空间的条件是：(1) ,对任意；(2) ,对任意和任意.由于赋范线性空间在度量下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义4.1.2 设是赋范空间, 若依度量收敛于, 即,则称依范数收敛于,记为在赋范线性空间中,仍然用记以为球心,为半径的开球,用记以为球心,为半径的闭球. 为了方便,用记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用记以0为球心,1为半径的开单位球.定理4.1.8 若是赋范空间,则. 证明 由可知定理成立. 定理 4.1.9 若是赋范空间,则. 证明 由和,可知,因此.定义4.1.3 设是赋范线性空间,若时,必有,使, 则称为完备的赋范线性空间. 根据M.的建议,完备的赋范线性空间称为空间. 不难证明,都是空间. 在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义4.1.4 设是赋范线性空间,若序列收敛于某个时,则称级数收敛,记为.定义4.1.5 设是赋范线性空间,若数列收敛时, 则称级数绝对收敛.定理4.1.10 设是赋范线性空间,则是空间的充要条件为的每一绝对收敛级数都收敛. 证明 设是空间,且绝对收敛,则由可知,对于,有,因此是的列,由的完备性可知,存在使,即 反之,设的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于的列,对,有 , 使得因而. 由假设可知收敛于某个,即收敛,所以必收敛于,从而完备. 事实上,在实数空间中,正是由于的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义4.1.6 设是赋范线性空间,若是的线性子空间,则称为的子空间,若还是的闭集, 则称为的闭子空间. 明显地,若是空间,为的闭子空间,则是空间,反之亦然.定理4.1.11 设是空间,为的子空间,则是空间当且仅当是的闭集. 证明 设是空间,当,且时,则为的列,因而收敛于 上的一点,故,即,所以是闭集. 反之,设为列,则为 的列,由于是空间,因此是收敛列, 即存在使,又由于是的闭子空间,因此,即在中收敛于,所以是空间.定义4.1.7 设是线性空间,为上的一个实值函数,且满足：（1） ；（2） ,对任意；（3） ,对任意,任意.则称为上的半范数. 明显地,上的范数一定是半范数,但对上的半范数,由于时不一定有,因此半范数不一定是范数.4.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是上的序列依范数收敛的不同引起的.定义2.2.1 设是线性空间,和|是上的两个不同范数,若对中的序列,当时,必有,则称范数比范数强,亦称比弱.若对中的序列,当且仅当则称范数与等价. 定理4.2.1 设和是线性空间上的两个不同范数,则范数比强当且仅当存在常数,使得对任意都有. 证明 若存在,使,则明显地时,有,因而比强.反过来,若范数比强,则必有,使.若不然,则对任意自然数,存在,使. 令,则故,因而,但这与矛盾,所以必存在,使,对任意成立. 推论2.2.2 设与是线性空间上的两个不同范数,则范数与等价当且仅当存在常数,使得对任意,有推论4.2.3 设与是线性空间上的两个等价范数,则是空间当且仅当是空间. 定义4.2.2 设是维线性空间,是上的范数,则称为维赋范线性空间.有限维赋范线性空间是在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为空间. 若为维线性空间,为的一组线性无关组,则称为 的基,此时对任意,都可以唯一地表示成定理4.2.4 设是维线性空间是的基,则存在常数及使得对任意都成立. 证明 对于任意,定义函数则对任意,有 这里,因此是到的连续函数.由于的单位球面是紧集,因此在上达到上下确界,即存在,使得 因此对任,有故即 下面证明,容易知道的证法是类似的.假设,则有,故 由是的基可知,从而,但这与矛盾. 定理 4.2.5 设是有限维线性空间,与是上的两个范数,则存在常数, 使得定理 4.2.6 有限维的赋范线性空间一定是空间. 证明 若为维赋范线性空间的列,则对于的基有,由 可知亦为列,故存在,使得,因而有,使得 令,则,因此是收敛序列,所以是完备的. 在中,是列紧的当且仅当是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间 中紧集与有界闭集的关系.定理4.2.7 设是有限维的赋范线性空间,则是紧的当且仅当是有界闭集. 证明 设为的基,则对任意,有定义到的算子: 则存在,使得从而是到的连续算子,且是一一对应的. 由可知是到的连续算子, 因此是到的拓扑同构.所以的紧集当且仅当 为的紧集,从而是的紧集当且仅当是有界闭集.第五章 现代分析基础与自动化控制Fourier变换是现代分析基础的重要内容,在本科期间学过的信号系统分析、自动控制理论的频域分析中很多内容涉及到了Fourier的相关知识.傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的.这方面的问题也称为傅立叶分析.傅立叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年.1822年法国数学家傅