复变函数与积分变换三PPT课件.ppt

1 本章内容 3 1复积分的概念 3 2柯西积分定理 3 3柯西积分公式 3 4解析函数的高阶导数 2019 12 28 2 3 1复积分的概念 3 1 1积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑 或按段光滑 曲线 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向 那么就把C理解为带有方向的曲线 称为有向曲线 2019 12 28 3 曲线C 从起点A到终点B的 方向为正方向 曲线 从终点B到起点A 即曲线C的负方向 简单闭曲线的正方向是指曲线上的点P顺此方向沿曲线 前进时 邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方 与 之相反的方向就是曲线的负方向 有向曲线 闭曲线的正方向 2019 12 28 4 定义 设函数定义在区域D内 C为在区域D内起点为A 终点为B的一条光滑的有向曲线 把曲线C任意分成n个弧段 设分点为 在每个弧段 上任取一点 并作和 3 1 其中 图3 1 极限存在 且此极限值不依赖于的选择 也不依赖对C的分法 则称此极限值为f z 沿曲线C自A到B的复积分 记作 3 2 设 当时 若和式的 2019 12 28 5 沿C负方向 即由B到A 的积分则记作 若C为闭曲线 则沿此闭曲线的积分记作 当C是x轴上的区间 而时 这个积 分定义就是一元实变函数积分的定义 2019 12 28 6 3 1 2积分存在的条件及其计算法 定理 设在光滑曲线C上连续 则复 积分存在 而且可以表示为 3 3 证 将 3 1 式的实 虚部分开得 2019 12 28 7 由于f z 在C上连续 从而u v在C上连续 当 0时 有及 于是上式右端极限存在 且有 即 3 3 式成立 式 3 3 在形式上可以看作是与 相乘后求积分得到 所以很容易记住 3 3 2019 12 28 8 式 3 3 说明两个问题 当f z 是连续函数而且C是光滑曲线时 积分 一定存在 可通过两个二元实变函数的线积分来计算 利用 3 3 式还可把复积分化为普通的定积分 设曲线C的参 数方程为 将它代入 3 3 式右端得 即 3 4 2019 12 28 9 如果C是由等光滑曲线依次相互连接所 组成的按段光滑曲线 那么我们定义 3 5 今后我们所讨论的积分 如无特别说明 总假定被积函数是连续的 曲线C是按段光滑的 2019 12 28 10 例3 1 计算 其中C为从原点到的直线段 解 直线的方程可写作 或 在C上 于是 因为 容易验证 右边两个线积分都与路线C无关 所以的值 不论C是怎样的连接原点到的曲线 都等于 2019 12 28 11 例3 2 计算 其中C为以为中心 为半径 的正向圆周 n为任何整数 解 C的方程可写作 所以 此结果很重要 以后要经常用到 其特点是积分结果与积分路径圆周的中心和半径无关 2019 12 28 12 例3 3 计算的值 其中C为 1 从原点到点的直线段 2 沿从原点到点的线段 与从到的直线段所接成的折线 解 1 2 2019 12 28 13 3 1 3复积分的性质 复变函数定积分的性质 为复常数 其中 设曲线C的长度为 函数在C上满足 那么 上式中间项是实连续函数沿曲线C的第一型曲线积分 2019 12 28 14 例3 4 设C为从原点到点的直线段 试求积分 绝对值的一个上界 解 C的方程为 在C上 从而有 而 所以 由估值不等式知 2019 12 28 15 例3 5 试证 证 设 用估计值不等式估计积分的模 因为在上 而 所以 2019 12 28 16 3 2柯西积分定理 3 2 1柯西定理 柯西定理 设函数f z 在单连通域D内解析 则f z 沿D内任 一条简单闭曲线C的积分为零 即 图3 3 证 因在D内解析 故存在 下面在连续的假设下证明定理结论 完全的证明较难 从略 因u与v的一阶偏导数存在且连续 故应用Green公式得 2019 12 28 18 其中 G为简单闭曲线C围成的区域 由于解析 C R方程成立 因此 证毕 在以下几种情况下柯西定理仍然成立 C可以不是简单曲线 如果曲线C是区域D的边界 函数在D内与C上解析 即在闭区域上解析 则定理仍然成立 函数在D内解析 即在闭区域上连续 则定理也成立 2019 12 28 19 定理 设函数f z 在单连通区域D内解析 图3 4 z0与z1为D内任意两点 C1与C2为连接 z0与z1的积分路线 C1 C2都含于D 则 即 当函数f z 在单连通域D内解析时 积分 与连接起点及终点的路线C无关 而仅由起点z0与终点z1来确定 证 由柯西积分定理 所以定理成立 2019 12 28 20 例3 6 计算积分 其中C是圆周的 上半周 走向从0到2 图3 5 解 因是全平面上的解析函数 由柯西积分定理 它的积分与路线无关 于是可以换一条路线 例如取为沿实轴从0到2 这样便有 下面把柯西定理推广到多连通区域 2019 12 28 21 3 2 2柯西定理推广 1 闭路变形定理 闭路变形定理 设与是两条简单闭曲线 在的内部 在与所围的二连区域D内解析 而在 上连续 则 3 7 证 在D内作简单光滑弧和 连接 和 将D分成两个单连通区域 和 以为界 记 作 以为界 记作 在和上连续 而在和内解析 图3 6 2019 12 28 22 由柯西定理 得 又由于L1 AB BGC CD DHA L2 AED DC CPB BA L1 L2 C1 C2 AB BA CD DC 于是 即 上式说明 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值 因此称为闭路变形定理 证毕 2019 12 28 23 2 复合闭路定理 复合闭路定理 设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线 是在C内部的简单闭曲线 它们互不包含也 互不相交 并且以为边界的区域全含于D 如果在D内解析 则 图3 7 i 其中 C及均取正向 ii 这里 为由C及 所组成的复合闭路 其方向是 C按逆时针进行 按顺时针进行 2019 12 28 24 例3 7 计算 其中C为包含圆周在 内的任何正向简单闭曲线 解 函数在复平面内有两个奇点 及 除这两个奇点外 处处解析 由于C是包含圆周在内的任何正向 简单闭曲线 因此它也包含这两个奇点 在 C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周 与 只包含奇点 只包含奇点 根据复合闭路定理的i 得 2019 12 28 25 3 2 3原函数和不定积分 前面已给出了积分与路径无关的充分条件 如果在单连通区域D内解析 则积分 与连接起点及终点的路线C无关 固定 让在D内变动 并令 那么积分 在D内确定了一个单值函数 即 这个函数具有以下重要性质 2019 12 28 26 定理 如果是单连域D内的解析函数 那么 由变上 限积分所确定的函数 也是D内的解析函数 而且 图3 9 证 在D内再任取一点 图3 9 利用与路线无关 则有 其中 积分路线假定是从到的直线段 2019 12 28 27 又因为 所以 因为在D内连续 所以对于任意给定的 存 在 当时 就有 所以 当时 有 于是 由于点z在D内的任意性 在D内处处存在 导数 所以在D内解析 证毕 2019 12 28 28 定义 设在单连通区域D内 函数恒满足条件 则称是的原函数 是的一个原函数 的任何两个原函数相差一个常数 设和是的任意两个原函数 那么 所以 C为任意常数 由此可知 若是函数在区域D内的一个 原函数 则对任意常数C C都为它的原函数 2019 12 28 29 定义 的原函数的一般表达式 C C为任意常数 为的不定积分 记作 利用任意两个原函数之差为一常数这一性质 我们可以推得与牛顿 莱布尼兹 Newton Leibniz 公式类似的解析函数的积分计算公式 定理 设在单连域D内解析 为的一个原函数 则 其中为D的内点 2019 12 28 30 证 因为是的一个原函数 现在又 是的一个原函数 故存在常数C使得 即 但当时 左端为0 故 即 因此 或 证毕 2019 12 28 31 例3 8 求积分的值 解 函数在全平面内解析 容易求得它有一个 原函数为 所以 例3 9 计算 n 0 1 2 a b均为有限复数 解 在