高考数学一轮复习专题4.4数列的求和方法练习（含解析）.docx

第四讲 数列求和【套路秘籍】-千里之行始于足下1.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；2.裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；3.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；4.倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法5.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 裂项相消【例1】已知数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足2(Sn1)(n3)an.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn，记数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn3.【答案】（1）an(n2). （2）见解析【解析】(1)解2(Sn1)(n3)an，当n2时，2(Sn11)(n2)an1，得，(n1)an(n2)an1，所以(n2)，又，故是首项为的常数列.所以an(n2).(2)证明由(1)知，bn9.Tnb1b2b3bn9930，an+1-an=1，n=2时，S2=a22-a1，1+a2=a22-1，a20，解得a2=2，满足上式即an+1-an=1，nN*数列an为等差数列，首项为1，公差为1（2）解：由（1）可得：an=1+n-1=nbn=2a2n-1=22n-1数列bn的前n项和Rn=2+23+22n-1=2(4n-1)4-1=23(4n-1)（3）解：cn=(-1)nan2=(-1)nn2c2n-1+c2n=-(2n-1)2+(2n)2=4n-1数列cn的前2n项和T2n=n(3+4n-1)2=2n2+n【举一反三】1已知数列中，且.（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）当时，求数列的前2020项和.【答案】（1）时，不是等比数列；时，是等比数列；（2）.【解析】（1），当时，故数列不是等比数列； 当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3.（2）由(1)且当时有：，即， ， .4已知数列an的前n项和Sn=n2-2kn(kN*)，Sn的最小值为-9（1）确定k的值，并求数列an的通项公式；（2）设bn=-1nan，求数列bn的前2n+1项和T2n+1【答案】（1）k=3,an=2n-7（2）T2n+1=5-2n【解析】（1）由已知得Sn=n2-2kn=(n-k)2-k2,因为kN*，当n=k时，(Sn)min=-k2=-9，故k=3；所以Sn=n2-6n.因为Sn-1=(n-1)2-6(n-1)，n2所以an=Sn-Sn-1=(n2-6n)-(n-1)2-6(n-1)， 得an=2n-7n2.当n=1时，S1=-4=a1,综上，an=2n-7. （2）依题意，bn=-1nan=-1n(2n-7), 所以T2n+1=5-3+1+1-3+5+-12n(4n-7)+-12n+12(2n+1)-7=5-(2+2+2)n=5-2n考向四 分组求和【例4】.已知数列an的前n项和为Sn，且1，an，Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足anbn12nan，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）an2n1. （2）Tnn2n2.【解析】(1)由已知1，an，Sn成等差数列得2an1Sn，当n1时，2a11S11a1，a11，当n2时，2an11Sn1，得2an2an1an，an2an1(n2)，且a11.数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，ana1qn112n12n1.(2)由anbn12nan得bn2n，Tnb1b2bn242n(242n)n2n2.【套路总结】解题思路：第一步 定通项公式：即根据已知条件求 出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为 几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.【举一反三】1.已知数列an满足an1an4n3(nN*)(1)若数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和Sn.【答案】见解析【解析】(1)若数列an是等差数列，则ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)d4n3，即2d4,2a1d3，解得d2，a1.(2)由an1an4n3(nN*)，得an2an14n1(nN*)两式相减得an2an4，所以数列a2n1是首项为a1，公差为4的等差数列，数列a2n是首项为a2，公差为4的等差数列由a2a11，a12，得a21，所以an当n为奇数时，an2n，an12n3.Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an2an1)an19(4n11)2n2n.当n为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7).所以Sn2.已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）an2n1. （2）Tn【解析】(1)an为等差数列，解得因此an的通项公式an2n1.(2)bn2an(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，Tn2(41424n)3579(1)n(2n1)Gn.当n为偶数时，Gn2n，Tnn；当n为奇数时，Gn2(2n1)n2，Tnn2，Tn3等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.【答案】（1）an2n1(nN*)，bn2n1 （2）(4n1)【解析】(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由得解得an32(n1)2n1(nN*)，bn2n1(nN*)(2)由a13，an2n1，得Snn(n2)，则cn即cn所以T2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)(nN*)【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1.已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN*.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.【答案】（1）an(nN*) （2）Tn2(2n1)2n1(nN*)【解析】(1)由已知可得，2，3，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1)2n1，an(nN*)(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，两式相减得，Tn622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)2n1，Tn2(2n1)2n1(nN*)2.已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和【答案】（1）ann(nN*) （2）T2n22n1n2【解析】(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann(nN*)(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2(nN*)3.已知等差数列an的首项为a，公差为d，nN*，且不等式ax23x20a2=2由Sn+1+Sn=an+12Sn+Sn-1=an2n2可得an+an+1=an+12-an2即：an+1+an=an+1+anan+1-anan0an+1-an=1n2又a2-a1=2-1=1an是公差为1，首项为1的等差数列an=1+n-11=n由题意得：b1b2=21=2b1=2b2=1由bnbn+1=2nbn-1bn=2n-1n2两式相除得：bn+1bn-1=2n2n是奇数时，bn是公比是2，首项b1=2的等比数列 bn=2n+12同理n是偶数时bn是公比是2，首项b2=1的等比数列 bn=2n-22综上：bn=2n+12,n是奇数2n-22,n是偶数（II）cn=anb2n+-1n3n-2，即cn=n2n-1+-1n3n-2令n2n-1的前n项和为An，则An=120+221+322+n2n-12An=121+222+323+n2n两式相减得：-An=20+21+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2nAn=n-12n+1令-1n3n-2的前n项和为BnBn=3n2,n是偶数-3n+12,n是奇数综上：Tn=n-12n+3-3n2,n是奇数n-12n+1+3n2,n是偶数7已知等差数列an为递增数列，且a2，a4是方程x2+2x-3=0的两根.数列bn的前n项和为Sn，且满足2Sn+bn=1.（1）求an，bn的通项公式；（2）设数列cn的前n项和为Tn，且cn=(-1)nan+bn，求T2n.【答案】（1）an=2n-7，bn=13n；（2）T2n=2n+1432n-14.【解析】（1）因为方程x2+2x-3=0的两根为-3和1，且数列an为递增数列， 所以a2=-3,a4=1. 设数列an的公差为d，则d0，所以d=a4-a24-2=2，所以an=a2+n-2d=2n-7. 当n=1时，由2S1+b1=1，解得b1=13；当n2时，因为2Sn+bn=1，所以2Sn-1+bn-1=1，以上两式相减得3bn-bn-1=0， 所以bnbn-1=13，所以bn是首项为13，公比为13的等比数列， 所以bn=1313n-1=13n. （2）由（1）得，cn=-1n2n-7+-13n，设数列-1n2n-7的前2n项和为M2n，数列-13n的前2n项和为K2n，所以M2n=-5+-3-1+-4n-9+4n-7=2n， 所以K2n=-13+-132+-132n=-13-132n+11-13=1432n-14，所以T2n=M2n+K2n=2n+1432n-14.8设等比数列ann=1,2,3,的前n项和为Sn，若公比q=2，且a1，a2+1，a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=an2-1Sn，数列bn的前n项和为Tn，求Tn。【答案】(1) an=2n(2) Tn=2n-1+n2【解析】(1)由a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2a2+1由通项公式an=a1qn-1得：a1+4a1=22a1+1解得：a1=2an=a1qn-1=2n(2)由(1)得：Sn=a11-qn1-q=21-2n1-2=22n-1bn=an2-1Sn=4n-122n-1=2n+12n-122n-1=122n+1Tn=b1+b2+bn=122+1+22+1+2n+1=12n+21-2n1-2=2n-1+n29已知数列为等比数列， ，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) ，；(2) .【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，因为是和的等差中项，所以.即，化简得，因为公比，所以，因为，所以所以，；（2） 当为偶数时，前项和；当为奇数时，前项和；则.10在等差数列an中，a1+a3=6，a9=17. （1）求数列an的通项公式； （2）设bn=(-1)n-1an，求数列bn的前100项和S100.【答案】（1）an=2n-1；（2）-100.【解析】（1）a1+a3=2a2=6a2=3,7d=a9-a2=14, d=2,an=a2+n-2d=3+n-22=2n-1(2) bn=-1n-1an=-1n-12n-1S100=1-3+5-7+9-11+197-199S100=-250=-100.11已知等差数列an的前n项的和为Sn，S9=117,a7=19.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=1anan+1，求Tn=b1+b2+bn；(3)设cx=lgax，x表示不超过x的最大整数，求cx的前1000项的和.【答案】（1）an=3n-2； （2）n3n+1； （3）2633.【解析】（1）由题意得S9=9(a1+a9)2=9a5=117，a5=13设等差数列an的公差为d，则d=a7-a52=3，a1=a5-4d=13-12=1，an=1+3n-1=3n-2（2）由（1）得bn=13n-23n+1=1313n-2-13n+1，Tn=b1+b2+bn=13(1-14)+(14-17)+(13n-2-13n+1)=13(1-13n+1)=n3n+1（3）由（1）得，当1n3时，1an7，所以cn=0；当4n33时，10an97，所以cn=1；当34n333时，100an997，所以cn=2；当334n1000时，1000an2998，所以cn=3cn=01n314n33234n3333334n1000，数列cx的前1000项的和为301+3012+6673=263312已知数列an满足tSn=n2-12n，其中Sn为数列an的前n项和，若a1+a3+a5=42，a2+a4=28（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log2|an-26|，数列bn的前n项和为Tn，试比较T10与S10的大小【答案】(1) an=-4n+26 (2) T10S10【解析】（1）由a1+a3+a5=42，a2+a4=28，可得S5=70，又tS5=52-125，解得t=-12，故-12Sn=n2-12n，即Sn=-2n2+24n， 当n