北师大六年级数学上册《圆的周长》教学设计与实录和反思【二则】[名师].docx

圆的周长教学设计与实录和反思【二则】圆的周长教学设计之一【教学目标】1. 直观认识圆的周长，知道圆的周长的含义；理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值；理解和掌握求圆的周长的计算公式。2. 通过观察、推理、分析、综合、抽象、概括等数学活动，经历探索圆的周长与直径关系的过程，渗透区间逼近的思想、极限的思想；培养学生动手操作能力、合作能力与创新精神。3. 通过揭示圆周率的意义及介绍古人对圆周率的研究史料，激发学生的科学探究的热情，增强民族自豪感。【教学重点】探索圆的周长和直径的关系，渗透区间逼近的思想、极限的思想。【教学资源】多媒体课件，硬纸板圆片4个，绳子，直尺，圆规，计算器。【学 具】圆片，绳子，直尺，计算器。【教学过程】一、谈话引入，揭示圆周长的意义教师和学生明确学习目标是研究圆的周长。（板书课题：圆的周长）请学生拿起自己制作的圆形纸片，试着指出手中的圆的周长，并指出黑板上圆的周长，并用自己的语言来描述一下什么是圆的周长。（围成圆的一周的长叫做圆的周长；围成圆的曲线的长叫做圆的周长。）二、提出问题，明确圆的周长和什么因素有关系（一）画圆活动，体会圆的周长和什么有关系。请学生用圆规在练习本上随便画一个圆，指出它的周长，再画一个圆，使第二个圆的周长比第一个圆的周长长，是怎么画的？（只要把半径变大就可以了），如果要画一个周长更长的圆，怎么画呢？从刚才画图的过程中，感觉圆的周长可能和什么有关系呢？（圆的大小、直径、半径）（二）明确研究方向。 由于圆的直径是半径的2倍，因此只需要研究圆的周长和直径的关系就可以了。三、动手实践，用实验测量的办法探索圆周长和直径的关系（一）确定研究的方法请学生思考可以从哪几个角度研究两个量之间的关系？(可以研究这两个量之间的倍数关系; 也可以研究一个数是另一个数的几分之几:也可以研究这两个量之间的比。) （二）确定研究的方向及研究步骤1.请学生粗略说说想怎么研究要研究周长和直径的倍数关系？研究时需要什么？（测出周长和直径，用周长除以直径，看看他们之间有什么关系，需要周长是多少，直径是多少，也就是周长和直径的数据）2.怎么得到周长和直径的数据？（测量）3.学生在小组内测量圆的周长和直径，并在表格中记录下数据。（三）汇报交流测量周长的方法（绕绳法和滚动法）师小结：虽然这几种方法不同，却有异曲同工之妙，都是把圆周长这条曲线变成了直线段。都可以概括为化曲为直。（四）分析周长的数据，体会测量会带来误差。1先请一个小组中的每个成员都汇报数据，学生的周长数据可能不一样。请学生思考：同样大小的圆，经过认真测量，测得的结果却不一样，说明了什么？（测量存在误差）你认为产生误差的原因可能有哪些呢？（测量方法、测量工具、测量对象的原因； 化区为直的过程中不可能做到非常精确，测量得到的数据只能是长度的近似数）每个小组中各个成员的数据不同，应该怎样选取数据，才能减小误差呢？（可以采用平均数或者众数）2.计算周长和直径的商，观察这些商，你发现圆的周长和直径可能有怎样的关系呢？结论：(圆的大小不一样，圆的周长和直径的比值都是三点多。)（五）介绍远古时期，人们用实验测量的方法获得的对圆周率的初步认识。课件介绍周髀算经中关于圆周率的记载。（周三径一）师小结：我们关把圆的周长与的直径的比值叫做圆周率，用字母来表示，刚才我们用实验测量的方法得出了圆的周长大约是直径的3倍多一点，但是由于测量这种方法存在着误差，无论如何也得不到比较准确的数。于是人们开始寻找新的方法探索圆周率的准确数值，一种能够避免误差的方法。你们知道这种方法是什么吗？（计算的方法，割圆术）四、能够减少误差的计算圆周率的方法割圆术（一）介绍阿基米德的割圆术，感受区间套，逐步逼近的思想从下图中能看出圆的周长一定是直径的几倍少几或多几？为什么？（得出结论：圆的周长一定比直径的4倍少一些。）观察下图又有什么发现？从下图中又能断定圆的周长一定是直径的几倍多一些或少一些？（得出结论：圆的周长比直径的3倍还要多一些。）观察下面的三副图，比较每幅图中圆的周长与正六边形周长之间的关系，能发现什么？（结论：里面的正六边形的周长圆的周长里面的正六边形的周长）阿基米德利用这个关系，推理出了即 3圆周率3.46阿基米德算到了正九十六边形，算出了3.1408圆周率3.1429。师小结：根据这个方法算出的圆周率完全依赖于抽象的推理，而不依赖于实际的测量，实际画图和测量的误差得以避免。在这个过程中，真正起作用的是数学推理，图形的作用仅仅是提示，图形的误差对结果不起作用。阿基米德用两边夹击，逐步逼近的方法算出了圆周率大约是3.14，我们生活中也常用阿基米德的这种方法解决问题，例如猜价格。（二）介绍刘徽的割圆术，感受极限思想大约1700年前，我国古代数学家刘徽也用割圆术来求圆周长的近似值。1.出示幻灯片（如下图）认真观察，你有什么想法？想象一下，如果是一个正一百边形，会是什么样？（随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，它的周长也越来越接近圆的周长）2.出示三个图圆和圆内接正六边形，正十二边形，正二十四边形，从视觉上验证学生上面的猜想。3.引用周髀算经 “割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这句话帮助学生体会极限思想。这句话是什么意思？你想到了什么？（一直这样分下去，正多边形的周长就更接近圆的周长。此时这个正多边形的周长仍然只是圆的周长的近似数。但是可以用计算的方法来代替操作测量了，这种方法所能达到的精确程度是操作测量永远无法达到的但割的正多边形的边数越多，求出圆的周长和直径的比值就越精确。）4.刘徽用割圆术取得的成果。幻灯片介绍：1700年前我国伟大的数学家刘徽提出的 “割圆术”求圆的周长和直径的比值的方法。刘徽计算到正一百九十二边形，得出圆的周和直径的比值是3.1416。刘徽是我国数学史上一位伟大的数学家。继刘徽之后，在南北朝时期，有一位伟大的天文学家和数学家，他更深入的进行了圆周长和直径的比值的精密值的计算。他就是祖冲之。五、简单介绍圆周率的研究历史（一）课件演示祖冲之的研究历。（二）目前计算机计算圆周率到什么程度。（三）圆周率的计算对人类科学的推动作用。（用的值不仅可以计算圆的周长，还可以测试或检验计算机的性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。还可以衡量一个国家的数学水平。在研究过程中产生了很多新的数学思想。）六、学生自主建构圆的周长计算公式本节课你有什么收获？如果已知直径怎样求圆的周长？如果已知半径，怎样求圆的周长？要求圆的周长，需要知道哪些条件？圆的周长与直径之间的关系 教学实录及反思 之二把题目改变了，也就是把教学目标改变了，根据学生的实际情况以及前侧情况分析，圆的周长公式并不是本节课教学的难点，学生知道并了解与圆的周长相关的很多知识，但是并没有真正理解圆周率的含义，尤其对圆周率是一个固定的数，并且是一个无限不循环小数这一点，是学生理解的难点，而这也并不能通过教师的告诉或学生的简单交流能解决，需要学生在探索的过程中积累很多情感，了解人类探索的历程，最后由学生自己看到并总结出圆周率是一个无限不循环小数。同时，如果把教学重点放在感受圆周率的含义上，就必然要放弃周长公式的学习，可以把这个知识点移后。教学目标简单一些，给学生感受的时间与空间多一些。学生的很多知识都停留在结果上，一、谈话引入，揭示圆周长的意义师：（课前，教师在黑板上画三个大小不同的圆）上节课我们学习了圆的特征，这节课我们来研究圆的周长（板书课题：圆的周长）师：哪是圆的周长呢，试着指出你手中的圆的周长，谁能指出黑板上圆的周长？谁愿你能用语言来描述一下什么是圆的周长吗？（围成圆的一周的长叫做圆的周长；围成圆的曲线的长叫做圆的周长。）反思：由于6个人一个小组，只有一个圆，学生对圆的周长的感受不是很深，所以用语言总结时不是很好。 师：用什么办法能得到圆的周长呢？（测量、计算）反思：我预设是让学生说测量和计算这两种方法，但学生说的确是用一根绳子围圆，然后测量绳子的长度，至于计算的方法，个别学生知道圆的周长公式，知道什么是圆周率，甚至知道刘徽的割圆术，但另外一些孩子对圆的周长认识却几乎是空白的，怎样处理好这两种学生之间的关系，让不同的学生在同一堂课中都得到发展，是个难题。 师：你想怎么计算？ （用公式计算 周长=直径圆周率）师追问：你从哪里知道这个公式的呢？你看了这种方法想到了什么？或者是你想问什么？（有什么问题？）（是什么？圆周率又是什么（多少）？圆周长除以直径的商）反思：个别学生知道什么叫做圆周率，他们总想一吐为快，而对于另外一些学生来说，这些学生的口头解释，对于他们来说，没有切身的感受，不能理解，只是相当于换了一个灌输的对象，由教师灌输变成了由同学灌输。处理不好这两方面的关系，这堂课可能变成一锅夹生饭，好学生没有发展，中等学生没有理解，差生成了纯粹的旁听生，难哪！ 师：从这个公式和同学们的解释中可以看出，大家认为圆的周长和直径有一定的关系，是这样的吗？我们来做个活动，看看是不是果真如某些同学说的那样。二、提出问题，明确圆的周长和什么因素有关系1. 画圆活动，体会圆的周长和什么有关系。师：请同学们用圆规在练习本上随便画一个圆，边画边想，哪是圆的周长，再画一个圆，使第二个圆的周长比第一个圆的周长长，你怎么画的？（只要把半径变大就可以了），那如果我要画一个周长更长的圆，怎么画呢？从刚才画图的过程中，你觉得圆的周长可能和什么有关系呢？（圆的大小、直径、半径）师：你怎么知道的？（半径越短圆周长越短，半径越长圆周长越长。直径越短圆周长越短，直径越长圆周长越长。）反思：周长和直径有关系，对于学生来说，这只是道听途说，为什么周长和直径有关系呢？学生不清楚，学生所有的知识局限在结论上，他们忽略了感受，不知道为什么，这个环节中，我问学生画圆时，看到了圆的周长了吗？一个学生说：画圆时，铅笔划过的痕迹就是圆的周长。从操作的层面来讲，学生知道，要想使圆的周长变长，就应该加大圆规的角度，加大圆规两脚间的距离，也就是使直径变大，所以圆的周长和半径有关系，我又问，那刚才我们同学怎么说圆的周长和直径有关系呢？学生说：“因为直径是半径的2倍，所以，和半径有关系也就是和直径有关系。”我认为，学生在老师的指导与激发下，才能从简单的操作中感悟很多东西，如果教师直接让学生在练习本上画三个不同大小的圆，然后问学生发现了什么，学生的感触未必这样有目的性。 2. 明确研究方向。师：由于圆的直径是半径的2倍，因此我们可以认为圆的周长和直径有关系。这节课我们就共同探索圆的周长和直径的关系。（把板书补充完整：探索圆的周长和直径之间的关系）三、推理，猜测圆的周长和直径之间的关系。1. 与长方形、正方形对比，激发学生探究的愿望。师：从图中能一眼就看出来周长是直径的几倍吗？反思：（学生一致认为确实看不出来，在这里，学生的心理可能产生了那么一点小小的疑惑，既然看不出来，怎么知道周长是直径的3倍，还有人说3倍多一点点呢？）2.小组讨论、推理圆周率的范围小组活动记录单：先思考下面的问题，然后填空。1. 在正方形内放一个最大的圆。正方形周长和圆的周长比，谁长？正方形的周长是圆的直径的几倍？通过这幅图你一定能断定：圆的周长一定直径的( ) 倍。为什么？2在圆内放一个最大的正六边形。正六边形周长和圆的周长比，谁长？正六边形的周长是圆的直径的几倍？通过这幅图你一定能断定：圆的周长一定 直径的（）倍。为什么？你认为圆的周长是直径的倍数在哪个范围内？反思：（这个环节中我遭受了重创，首先学生在小组内的分工不明确，有的小组同学围坐在一起讨论，没有人拿笔把问题的答案整理出来，还有的小组的同学对这个根本不感兴趣，直接拿出线绳和圆，量圆的周长和直径，用计算器计算周长是直径的多少倍。主要原因还是问题过于复杂，实际上和做题差不多，学生不喜欢，还不如把图形呈现在大屏幕上，教师和学生一起动脑思考更有效。另外，学生第一次接触这种推理，让学生独立完成有点难！）3.学生汇报（教师用动态的幻灯片演示上面的过程，并找学生汇报）反思：（在汇报的过程中，只有个别学生很清楚推倒的过程，学生直接说圆周率小于4或者圆周率大于3，而其他的学生可能是由于刚才在小组内没有充分研究，看起来思路有些跟不上）四、用测量法计算圆周率师：圆的周长究竟是直径的3倍多多少？怎么才能知道圆的周长是直径的3点几倍呢？谁有办法？师：粗略说说你想怎么计算？需要什么？（测出周长和直径，用周长除以直径，看看他们之间有什么关系，需要周长是多少，直径是多少，也就是周长和直径的数据）师：圆的周长究竟是直径的3倍多多少？怎么才能知道圆的周长是直径的3点几倍呢？谁有办法？师：粗略说说你想怎么计算？需要什么？（测出周长和直径，用周长除以直径，看看他们之间有什么关系，需要周长是多少，直径是多少，也就是周长和直径的数据）学生汇报测量周长的两种方法：绕绳法和滚动法。师小结：虽然这几种方法不同，却有异曲同工之妙，都是把圆周长这条曲线变成了直线段。都可以概括为化曲为直。师：观察这些数据你发现了什么？（都是3倍多一些）你有什么疑问吗？（都是3倍多一些，但只有极个别人得到了3.14），应该是每个人的周长除以直径的商都是3.14呀，奇怪，我们没有得到3.14这个数据，甚至连一个固定的数也没有得到，同学们，是什么原因导致我们得不出这个统一的数呢？（测量的时候存在误差，也可能圆的周长和直径之间的倍数不是一个固定的数）五、介绍人类研究圆周率的历史。（放映幻灯片圆周率的历史，重点介绍刘徽以及割圆术，渗透极限思想。）接着介绍祖冲之。师：看到这里，你有没有什么问题。师：祖冲之算出了圆的周长是直径的多少倍了吗？到祖冲之时，人类已经研究圆的周长和直径之间的倍数关系有多少年了呢？下面我们从时间的角度再来回顾一下人类研究这个猜想的历程吧。（幻灯放映：探究的问题：圆的周长是直径的多少倍呢？公元前3世纪，阿基米德发现圆的周长大约是直径的3.14倍左右；又过了600百年，中国的刘徽发现圆的周长大约是直径的3.1416倍左右；又过了200百年，中国祖冲之。又过了1000年，德国人才发现祖冲之的结论，直到公元2000年，终于有人说：我可以告诉你，圆的周长大约直径的多少倍了，（计算机出现圆周率的前100位）它计算到了小数点后第12411亿位，这个数有多少呢？如果你一秒钟读一个数的话，大约需要读4万年。还没有算完，人类花了几千年的时间，有人甚至付出了毕生的努力，终于达成了这样