高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4.doc

1.4.3正切函数的性质与图象学习目标1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质(重点).2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题(重点、难点)知识点函数ytan x的图象和性质解析式ytan x图象定义域x|xr，且xk，kz值域r周期奇偶性奇函数单调性在区间(k，k)(kz)都是增函数【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ytan x在其定义域上是增函数()(2)函数ytan x的图象的对称中心是(k，0)(kz)()(3)函数ytan 2x的周期为.()提示(1)，ytan x在区间(k，k)(kz)上是增函数，但在其定义域上不是增函数(2)，ytan x图象的对称中心是(k，0)(kz)(3)，ytan 2x的周期为题型一正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y3tan()的定义域为_；解析由k，得x4k，kz，即函数的定义域为x|x4k，kz答案x|x4k，kz(2)函数ytan(2x)，x(，)的值域是_解析x，2x，tan(2x)0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”，令xk，kz，解得x【训练1】函数ytan(sin x)的定义域为_，值域为_解析因为1sin x1，所以tan(1)tan(sin x)tan 1，所以ytan(sin x)的定义域为r，值域为tan 1，tan 1答案rtan 1，tan 1考查方向题型二正切函数的单调性及应用方向1求正切函数的单调区间【例2-1】求函数ytan(x)的单调区间解ytan(x)tan(x)，由kxk(kz)得4kx34k，kz，所以函数ytan(x)的单调递减区间是(4k，34k)(kz)方向2比较大小【例2-2】比较大小：tan()和tan()解tan()tan(2)tan，tan()tan(2)tan又0，ytan x在(0，)内单调递增，tantan()规律方法1.运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系2求函数yatan(x)(a，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kz，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yatan(x)转化为yatan(x)atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可【训练2】比较tan 1，tan 2，tan 3的大小解123，根据ytan x的性质可得：ytan x在(0，)上单调递增且大于0，在(，)上单调递增且小于0，tan 2tan 30，tan 2tan 3tan 1题型三正切函数图象性质的应用【例3】(1)函数ytan(2x)的最小正周期是()a b2 c d解析最小正周期为t答案c(2)画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性解由y|tan x|得，y其图象如图：由图象可知，函数y|tan x|是偶函数函数y|tan x|的周期t，函数y|tan x|的单调递增区间k，k)(kz)，单调递减区间为(k，k)(kz)规律方法1.作出函数y|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：(1)保留函数yf(x)图象在x轴上方的部分；(2)将函数yf(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折2若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可【训练3】(1)下列函数中，既是以为周期的奇函数，又是(0，)上的增函数的是()aytan x bycos xcytan dy|sin x|解析由于ytan x与ytan 是奇函数，但是只有ytan x的周期为，ycos x与y|sin x|是偶函数答案a(2)画出f(x)tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性解f(x)tan|x|化为f(x)根据ytan x的图象，作出f(x)tan|x|的图象，如图所示，由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为0，)，(k，k)(kn)；单调减区间为(，0，(k，k)(k0，1，2，)课堂达标1函数f(x)tan(x)的单调增区间是()a(k，k)，kzb(k，k)，kzc(k，k)，kzd(k，k)，kz解析由kxk，kz,得kx0，tantan答案4函数ytan x(x，且x)的值域是_解析函数ytan x在，)上单调递增，在(，上也是单调递增，所以函数的值域是(，11，)答案(，11，)5求函数ytan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间，内的图象解由2xk，kz，得xk，kz，即函数的定义域为x|xk，kz，值域为(，)，周期为t，对应图象如图所示：课堂小结1正切函数的图象正切函数y=tan x有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kz，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增2正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是，值域是r(2)正切函数ytan x的最小正周期是，函数yatan(x) (a0)的周期为t(3)正切函数在(kz)上递增，不能写成闭区间正切函数无单调减区间基础过关1函数y2tan(2x)的定义域为()ax|x bx|xcx|xk，kz dx|xk，kz解析由2xk，kz,得xk，kz,故函数的定义域为x|xk，kz答案d2函数ytan x是()a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d既不是奇函数又不是偶函数解析函数的定义域是x|xk，kz，且tan(x)tan x(tan x)，所以函数ytan x是奇函数答案a3函数ylg tan x的增区间是()a(kz)b(kz)c(kz)d(k，k)(kz)解析由tan x0，得kxk，kz,且函数ylg tan x在(k，k)(kz)上单调递增，故选b答案b4函数y3tan的对称中心的坐标是_解析由x (kz)，得x (kz)对称中心坐标为 (kz)答案 (kz)5比较大小：tan()_tan()解析tan()tan，tan()tan，又ytan x在(，)内单增，所以tantan，即tan()tan()答案6求函数ytan2x4tan x1，x的值域解x，1tan x1令tan xt，则t1,1yt24t1(t2)25当t1，即x时，ymin4，当t1，即x时，ymax4故所求函数的值域为4,47设函数f(x)tan，(1)求函数f(x)的周期、对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图解(1)，周期t2令(kz)，得xk(kz)，f(x)的对称中心是(kz)(2)令0，则x令，则x令，则x函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得函数yf(x)在一个周期内的简图(如图)能力提升8已知函数ytan x在(，)内是减函数，则()a01 b10c1 d1解析ytan x在(，)内是减函数，0且t|1，即10答案b9函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图象是()解析当x时，tan xsin x，y2tan x0；当x时，y0；当xsin x，y2sin x故选d答案d10函数ytan()，x0，)(，的值域为_解析x0，)(，)(，令t，由ytan t，t，)(，的图象(如图所示)可得，所求函数的值域为(，)答案(，)11若tan(2x)1，则x的取值范围是_解析由题意可得k2xk，kz，解之得kxk，kz答案 x|k0)，它们的周期之和为，且fg，fg1.求这两