高中数学 第四章 导数应用 4.2.2 最大值、最小值问题（二）作业 北师大版选修11.doc

4.2.2 最大值、最小值问题（二）基础达标1.内接于半径为r的半圆中的矩形，周长最大的矩形边长为()a.和r b.r和rc.r和r d. 以上都不对解析：选b.设矩形一边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xr)，l2 .令l0，解得x1r，x2r(舍去)当0x0，当rxr时，l0)，yx2.由y0，得x25，当x(0，25)时，y0；当x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值3.内接于半径为r的球且体积最大的圆锥的高为()ar b2rc.r d.r解析：选c.设圆锥高为h，底面半径为r，则r2(rh)2r2，r22rhh2，vr2hh(2rhh2)rh2h3，vrhh2.令v0得hr或h0(舍去)当0h0；当h2r时，v0)，为使耗电量最小，则速度应为_解析：由yx239x400，得x1或40，由于0x40时，y40时，y0.所以，当x40时，y有最小值答案：408.已知函数f(x)xln x若对于任意x不等式2f(x)x2ax3恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由题意知，2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)1.当x时，h(x)0，h(x)单调递减；当x(1，e时，h(x)0，h(x)单调递增由h23e，h(e)2e，hh(e)2e40，可得hh(e)所以当x时，h(x)的最大值为h23e.故a23e.答案：23e，)9.一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？解：设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(82x) cm，宽为(52x) cm.v(82x)(52x)x4x326x240x(0x)，v12x252x40，令v0，得x1或x(舍去)v极大值v(1)18，在定义域内仅有一个极大值，vmax18.即小正方形边长为1 cm时，盒子容积最大为18 cm3.10.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降价值x(单位：元，0x9)的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)依题意，设mkx2，由已知有5k12，从而k5.m5x2.y(14x5)(755x2)5x345x275x675(0x0得1x5，由y0得0x1或5x0)，f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，当x(e，)时，f(x)0，f(x)最大f(e)，em2m1e1，m2m11，即m2m0，解得m0或m1.2.要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为12，那么长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小解析：设体积为v，相邻两边长分别为x cm，2x cm，高为y cm，则v2x2y，y，s2(2x2xy2xy)4x26xy4x2.s8x，令s0，得x3.长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时可使表面积最小答案：6 cm3 cm4 cm3.已知f(x)2ax，是否存在正数a，使对任意x1，x2，1，|f(x1)f(x2)|0，f(x)0，即f(x)在上是增函数f(x)的最大值为f(1)2a1，f(x)的最小值为fa4.由已知，得得a0，y0，y2(0x1)s(2x2)22(x1)(0x1)(2)令f(x)s24(x1)2(1x2)(0x1)，则f(x)8(x1)2(12x)令f(x)0，解得x或x1(舍去)当0x0