《数字信号处理课程设计报告》-IIR数字滤波器的设计.doc

0 数字信号处理课程设计报告数字信号处理课程设计报告 题题 目 目 IIRIIR 数字滤波器的设计数字滤波器的设计 学学 院 院 工程学院工程学院 专专 业 业 测控技术与仪器测控技术与仪器 班班 级 级 姓姓 名 名 指导教师 指导教师 20122012 年年 6 6 月月 2424 日日 1 目目 录录 1 1 课程设计的目的及意义课程设计的目的及意义 2 2 1 11 1 数字滤波器的研究背景与意义数字滤波器的研究背景与意义 2 2 1 21 2 数字滤波器的应用现状与发展趋势数字滤波器的应用现状与发展趋势 2 2 2 2 IIRIIR 数字滤波器设计数字滤波器设计 3 3 2 12 1 IIRIIR 数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理 3 3 3 3 2 22 2 用脉冲相应不变法设计用脉冲相应不变法设计 IIRIIR 数字滤波器数字滤波器 4 4 2 32 3 用双线性变换法设计用双线性变换法设计 IIRIIR 数字滤波器数字滤波器 6 6 3 3 IIRIIR 数字带通滤波器设计过程数字带通滤波器设计过程 9 9 3 13 1 设计步骤设计步骤 9 9 3 23 2 程序流程框图程序流程框图 1010 4 4 运行结果及分析运行结果及分析 1111 5 5 MATLABMATLAB 概述及实现概述及实现 1111 5 15 1 MATLABMATLAB 概述概述 1111 5 25 2 MATLABMATLAB 的实现的实现 1212 参考文献参考文献 1414 2 1 1 课程设计的目的及意义课程设计的目的及意义 1 1 数字滤波器的研究背景与意义 当今 数字信号处理 DSP Digtal Signal Processing 技术正飞速发展 它不但自 成一门学科 更是以不同形式影响和渗透到其他学科 它与国民经济息息相关 与国防 建设紧密相连 它影响或改变着我们的生产 生活方式 因此受到人们普遍的关注 数字化 智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势 而数字化是智能化和网络 化的基础 实际生活中遇到的信号多种多样 例如广播信号 电视信号 雷达信号 通 信信号 导航信号 射电天文信号 生物医学信号 控制信号 气象信号 地震勘探信 号 机械振动信号 遥感遥测信号 等等 上述这些信号大部分是模拟信号 也有小部 分是数字信号 模拟信号是自变量的连续函数 自变量可以是一维的 也可以是二维或 多维的 大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间 经过时间上的离散化 采样 和幅 度上的离散化 量化 这类模拟信号便成为一维数字信号 因此 数字信号实际上是用 数字序列表示的信号 语音信号经采样和量化后 得到的数字信号是一个一维离散时间 序列 而图像信号经采样和量化后 得到的数字信号是一个二维离散空间序列 数字信 号处理 就是用数值计算的方法对数字序列进行各种处理 把信号变换成符合需要的某 种形式 1 数字滤波技术是数字信号分析 处理技术的重要分支 2 3 无论是信号的获取 传输 还是信号的处理和交换都离不开滤波技术 它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关 重要的 在所有的电子系统中 使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了 数字滤波器 的优劣直接决定产品的优劣 1 2 数字滤波器的应用现状与发展趋势 在信号处理过程中 所处理的信号往往混有噪音 从接收到的信号中消除或减弱噪 音是信号传输和处理中十分重要的问题 根据有用信号和噪音的不同特性 提取有用信 号的过程称为滤波 实现滤波功能的系统称为滤波器 在近代电信设备和各类控制系统 中 数字滤波器应用极为广泛 这里只列举部分应用最成功的领域 1 语音处理 2 图像处理 3 通信 4 电视 5 雷达 9 其他领域 1 3 2 2 IIRIIR 数字滤波器设计数字滤波器设计 2 1 IIR数字滤波器的设计原理 3 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统 数字滤波实质上是一种运算 过程 实现对信号的运算处理 输入数字信号 数字序列 通过特定的运算转变为输出 的数字序列 因此 数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程 也可以理 解为是一台计算机 描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤 波器提供运算规则 使其按照这个规则完成对输入数据的处理 时域离散系统的频域特 性为 2 1 jejwjw eHeXeY 其中 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性 或称 jw eY jw eX 为频谱特性 是数字滤波器的单位取样响应的频谱 又称为数字滤波器的频域 je eH 响应 输入序列的频谱经过滤波后 因此 只要按照输入信号频谱的 jw eX jejw eHeX 特点和处理信号的目的 适当选择 使得滤波后的满足设计的要求 je eH jejw eHeX 这就是数字滤波器的滤波原理 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性 可分为两种 即无限长冲激响应 IIR 数字滤波器和有限长冲激响应 FIR 数字滤波器 IIR 数字滤波器的特征是 具有无限持 续时间冲激响应 需要用递归模型 来实现 其差分方程为 2 2 1 1 10 nybnxany N i i N i i 系统函数为 2 N k k k M r r r Za Zb zH 1 0 1 3 4 设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数 使其频率响应 zH 满足所希望得到的频域指标 即符合给定的通带截止频率 阻带截止频率 通带衰 zH 减系数和阻带衰减系数 IIR数字滤波器是一种离散时间系统 其系统函数为 2 3 21 1 0 zx zy a Zb zH N k k k M k k k 假设M N 当M N时 系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个 M N 的FIR子系统的级 联 IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 和 它是数学上的一种逼近问 题 即在规定意义上 通常采用最小均方误差准则 去逼近系统的特性 如果在S平面上 去逼近 就得到模拟滤波器 如果在z平面上去逼近 就得到数字滤波器 2 2 用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器 2 2 1 脉冲相应不变法简介 利用模拟滤波器来设计数字滤波器 也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性 这种模仿可以从不同的角度出发 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发 使数字 滤波器的单位脉冲响应序列模仿模拟滤波器的冲激响应 即将进行等间隔 nh ths ths 采样 使正好等于ha t 的采样值 满足 式中 T是采样周期 nh nThnh s 如果令是的拉普拉斯变换 为的Z变换 利用采样序列的Z变换与 sHa tha zH zh 模拟信号的拉普拉斯变换的关系得 2 1 1 2 1 X 1 k k a ez st k T jsX T jks T zX as 则可看出 脉冲响应不变法将模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤波器的 Z 平面 这 个从s到z的变换是从 S 平面变换到 Z 平面的标准变换关系式 st ez j 3 T T 3 T T o o 11 jIm z Re z Z S 5 图 1 1 脉冲响应不变法的映射关系 由 2 1 1 式 数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 2 1 2 2 H 1 a T kw j T eH k jw 这就是说 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓 正如采样定 理所讨论的 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的 且带限于折叠频率以内时 即 2 1 3 0 jHa 2T s 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应 而不产 生混叠失真 即 2 1 4 1 T w jH T eH a jw w 但是 任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的 变换后就会产生周 期延拓分量的频谱交叠 即产生频率响应的混叠失真 如图 7 4 所示 这时数字滤波器 的频响就不同于原模拟滤波器的频响 而带有一定的失真 当模拟滤波器的频率响应在 折叠频率以上处衰减越大 越快时 变换后频率响应混叠失真就越小 这时 采用脉冲 响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果 图 1 2 脉冲响应不变法中的频响混叠现象 3 2 j a H o o 2 3 T ej H T 2 T T T 2 6 对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha t 进行采样 采样频率为fs 若使fs增加 即 令采样时间间隔 T 1 fs 减小 则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远 因而可 减小频率响应的混叠效应 2 2 2 脉冲响应不变法优缺点 从以上讨论可以看出 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模 拟滤波器的单位冲激响应 也就是时域逼近良好 而且模拟频率 和数字频率 之间 呈线性关系 T 因而 一个线性相位的模拟滤波器 例如贝塞尔滤波器 通过脉冲 响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器 脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应 所以 脉冲响应不变法只适 用于限带的模拟滤波器 例如 衰减特性很好的低通或带通滤波器 而且高频衰减越快 混叠效应越小 至于高通和带阻滤波器 由于它们在高频部分不衰减 因此将完全混淆 在低频响应中 如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法 就必须先对高通和带 阻滤波器加一保护滤波器 滤掉高于折叠频率以上的频率 然后再使用脉冲响应不变法 转换为数字滤波器 当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数 2 3 用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器 2 3 1 双线性变换法简介 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真 这是因为从 S 平面到 平 面是多值的映射关系所造成的 为了克服这一缺点 可以采用非线性频率压缩方法 将 整个频率轴上的频率范围压缩到 T T之间 再用z esT转换到 Z 平面上 也就是 说 第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1平面的 T T一条横带里 第二步再通 过标准变换关系z es1T将此横带变换到整个Z平面上去 这样就使 S 平面与Z平面建立 了一一对应的单值关系 消除了多值变换性 也就消除了频谱混叠现象 映射关系如图 1 3 所示 o 11 Z jIm z Re z T j 1 1 T S1 S j oo 7 图 1 3 双线性变换的映射关系 为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 S1 平面 j 1 轴上的到段上 可以T T 通过以下的正切变换实现 2 1 2 tan 2 1T T 5 式中 T仍是采样间隔 当 1 由经过 0 变化到时 由 经过 0 变化到 也即映射了整个T T j 轴 将式 2 1 5 写成 2 2 1 1 1 1 2 2 2 T j j T j j e T e e T e T j 将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面 令 则得SJ 1SJ Ts e e e T s sT 1 1 12 1 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 Ts eZ1 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为 2 1 1 1 1 12 z z T S 6 2 1 s T s T z 2 1 2 1 7 8 式 2 1 6 与式 2 1 7 是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系 这种变换都是 两个线性函数之比 因此称为双线性变换 式 2 1 5 与式 2 1 6 的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求 首先 把 可得 jw ez 2 1 js 8 即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆 其次 将代入式 2 1 8 得 js j T j T z 2 2 因此 22 22 2 T 2 z T 由此看出 当 0 时 z 0 时 z 1 也就是说 S 平面的左半平面映 射到 Z 平面的单位圆内 S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外 S 平面的虚轴映射 到 Z 平面的单位圆上 因此 稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一 定是稳定的 2 3 2 双线性变换法优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比 其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象 这是因为 S 平面与 Z 平面是单值的一一对应关系 S 平面整个 j 轴单值地对应于 Z 平面 单位圆一周 即频率轴是单值变换关系 这个关系如式 1 8 所示 重写如下 2 tan 2w T 上式表明 S 平面上 与 Z 平面的 成非线性的正切关系 如图 7 7 所示 由图 7 7 看出 在零频率附近 模拟角频率 与数字频率 之间的变换关系接近 于线性关系 但当 进一步增加时 增长得越来越慢 最后当 时 终止在 折叠频率 处 因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低 频部分去的现象 从而消除了频率混叠现象 9 图 1 4 双线性变换法的频率变换关系 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的 如式 1 8 及图 1 4 所示 由于这种频率之间的非线性变换关系 就产生了新的问题 首先 一个线性相 位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器 不再保持原有的线性相 位了 其次 这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的 即某一 频率段的幅频响应近似等于某一常数 这正是一般典型的低通 高通 带通 带阻型滤 波器的响应特性 不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响 应会有畸变 如图 1 5 所示 图 1 5 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 对于分段常数的滤波器 双线性变换后 仍得到幅频特性为分段常数的滤波器 但 是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变 这种频率的畸变 可以通过频率的预畸来加 以校正 也就是将临界模拟频率事先加以畸变 然后经变换后正好映射到所需要的数字 频率上 1 3 3 IIRIIR 数字带通滤波器设计过程数字带通滤波器设计过程 根据以上 IIR 数字滤波器设计方法 由于双线性变换法和脉冲响应法最大的区别就 o 2 tan 2 T o o o j a H ej H o o o earg j H j arg a H 10 是 主要的优点是避免了频率响应的混叠现象 下面运用双线性变换法基于 MATLAB 设计 一个 IIR 带通滤波器 其中带通的中心频率为 通带截止频率 5 00pw 4 01pw 通带最大衰减 阻带最小衰减 阻带截止频率 6 02pwdBpa3 dBsa15 4 7 02sw 3 1 设计步骤 1 根据任务 确定性能指标 在设计带通滤波器之前 首先根据工程实际的需要确定 滤波器的技术指标 带通滤波器的阻带边界频率关于中心频率几何对称 因此0pw 通带截止频率 阻带截止 3 0 02 01pwswswsw 4 01cw 6 02cw 频率 阻带最小衰减和通带最大衰减 3 01rw 7 02rwdBsa3 dBpa15 2 用对带通数字滤波器的数字边界频率预畸变 得到带通 2 tan 2wT zH 模拟滤波器的边界频率主要是通带截止频率 阻带截止频率 的 sH1wp2wp1ws2ws 转换 为了计算简便 对双线性变换法一般 T 2s 通带截止频率7265 0 2 4 0tan 2 1tan 2 1 wpTwc 3764 1 2 6 0tan 2 2tan 2 2 wpTwc 阻带截止频率5095 0 2 3 0tan 2 1tan 2 1 wsTwr 9626 1 2 7 0tan 2 2tan 2 2 wsTwr 阻带最小衰减和通带最大衰减 dBsa3 dBpa15 3 运用低通到带通频率变换公式将模拟带通滤波器 2 0 2 B 指标转换为模拟低通滤波器指标 6499 0 12 wcwcB 236 2 1 2 0 2 1 wrBwwrnormwrl 236 2 2 2 0 2 2 2 wrBwwrnormwr 1 1 2 0 2 1 wcBwwcnormwcl 1 2 2 0 2 2 2 wcBwwcnormwc 11 得出 1 normwc236 2 normwr 模拟低通滤波器指标 1 normwc236 2 normwrdBpa3 dBsa15 4 设计模拟低通原型滤波器 用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的 传输函数 Ha s 借助巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Cauer 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 5 调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器 6 利用双线性变换法将模拟带通滤波器 Ha s 转换成数字带通滤波器 H z 3 2 程序流程框图 开始 读入数字滤波器技术指标 将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标 设计归一化的模拟低通滤波器阶数 N 和 3db 截止频率 模拟域频率变换 将 G P 变换成模拟带通滤波器 H s 用双线性变换法将 H s 转换成数字带通滤波器 H z 输入信号后显示相关结果 4 4 运行结果及分析运行结果及分析 结束 12 程序运行结果 normwr 2 2361 由设计流程计算得 normwr 2 236 与运行结果相同 低通原型的每一个边界频率都映射为带通滤波器两个相应的边界频率 根据通带截 至频率和阻带截至频率与频谱函数曲线比较 通带截止频率 阻 4 01cw 6 02cw 带截止频率 与频谱函数相比较 通带截止频率 3 01rw 7 02rw 4 01cw 阻带截止频 率 与频谱函数相比较 满足设 6 02cw 3 01rw 7 02rw 计要求 5 5 MATLABMATLAB 概述及实现概述及实现 5 1MATLAB 概述 MATLAB Matrix Laboratory 为美国 Mathworks 公司 1983 年首次推出的一套高性能 的数值分析和计算软件 其功能不断扩充 版本不断升级 1992 年推出划时代的 4 0 版 1993 年推出了可以配合 Microsoft Windous 使用的微机版 95 年 4 2 版 97 年 5 0 版 13 99 年 5 3 版 5 X 版无论是界面还是内容都有长足的进展 其帮助信息采用超文本格式 和 PDF 格式 可以方便的浏览 至 2001 年 6 月推出 6 1 版 2002 年 6 月推出 6 5 版 继 而推出 6 5 1 版 2004 年 7 月 MATLAB7 和 Simulink6 0 被推出 目前的最新版本为 7 1 版 MATLAB 将矩阵运算 数值分析 图形处理 编程技术结合在一起 为用户提供了一 个强有力的科学及工程问题的分析计算和程序设计工具 它还提供了专业水平的符号计 算 文字处理 可视化建模仿真和实时控制等功能 是具有全部语言功能和特征的新一 代软件开发平台 MATLAB 已发展成为适合众多学科 多种工作平台 功能强大的大型软件 在欧 美等国家的高校 MATLAB 已成为线性代数 自动控制理论 数理统计 数字信号处理 时间序列分析 动态系统仿真等高级课程的基本教学工具 成为攻读学位的本科 硕士 博士生必须掌握的基本技能 在设计研究单位和工业开发部门 MATLAB 被广泛的应用于 研究和解决各种具体问题 在中国 MATLAB 也已日益受到重视 短时间内就将盛行起来 因为无论哪个学科或工程领域都可以从 MATLAB 中找到合适的功能 5 2 MATLAB 的实现 MATLAB 程序如下 clear wp0 0 5 pi wp1 0 4 pi wp2 0 6 pi Ap 3 ws2 0 7 pi As 15 T 2 数字带通滤波器技术指标 ws1 wp0 ws2 wp0 计算带通滤波器的阻带下截止频率 wc1 2 T tan wp1 2 wc2 2 T tan wp2 2 wr1 2 T tan ws1 2 wr2 2 T tan ws2 2 w0 2 T tan wp0 2 频率预畸变 B wc2 wc1 带通滤波器的通带宽度 normwr1 wr1 2 w0 2 B wr1 normwr2 wr2 2 w0 2 B wr2 normwc1 wc1 2 w0 2 B wc1 14 normwc2 wc2 2 w0 2 B wc2 带通到低通的频率变换 if abs normwr1 abs normwr2 normwr abs