函数毕业论文-函数的最值问题.doc

摘 要：函数的最值问题是我们在数学的学习过程中要探究的非常重要的一块内容.它不仅只在数学教学中需要解答的一些数学问题，还是我们经常解决一些实际问题的好方法.例如在工农业的生产、经济的管理和经济的核算中，我们就会常常面临一些在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的诸多问题.在我们的日常生活中更是能够时常会遇到求用料要最省、效率要最高、利润要最大等的优化问题.然而这些生活和经济等的各方面问题一般都可以通过转变为数学中常常遇到的函数最值问题来分析研究，从而求得最优解转.这样做尤其是对那些要解决实际问题的人们来说特别的重要.它不仅可以梳理人们的思路，最重要的是它可以快速解决我们所面临的实际问题.我们将函数最值问题的解法分为一元函数和多元函数.这篇文章，主要通过对一元函数和多元函数最值问题进行分析，探讨他们各种不同的求解方法，从而表明函数的最值问题的研究的重要性.关键词：函数；最值；导数；偏导数Abstract: The most value problem is mathematical functions in the field of important research content. It not only in the teaching solving mathematical problems, and often used in solving practical problems. In the industrial and agricultural production, economic management and economic accounting, often encountered some solutions to meet certain conditions in how to produce the greatest, benefit highest but investment issues like the minimum. Life also often see for the most provinces, the highest efficiency and materials, such as maximum profit. And these life and economic problems generally can be transformed into the function in the mathematics problem for analysis and study, and then into the biggest (small) for function of the values of the problem is one of the most value function, this paper this especially for research of practical problems people is especially important. And the most value problem of solution function including a yuan function and multiple function, at the same time also have elementary and higher solution of the points. This paper mainly through elementary method to a from of most value of a circular function to research function, this paper discusses the solution of all kinds of different methods, including the most value function of importance, and get the most value solve the function of several methods and solving some problems that should be paid attention to.Key words: functions; the most value; higher solution; elementary method; differential序 言函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答1函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法2函数的最值的定义：一般地，我们将函数的最值问题可分为最小值与最大值:设函数在处的函数值为.如果对于在定义域内的任意，对于不等式均成立，那么就叫做函数的最小值，记作；如果对于在定义域内的任意，对于不等式均成立，那么就叫做函数的最大值，记作. 函数的最值通常会有以下两种特殊情况：（1）若函数在上是单调增加(减少)， 那么是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值).（2）若连续函数在区间内有且仅只有一个极大(小)值，却没有极小(大)值，那么此极大(小)值则就是函数在区间上的最大(小)值.一、一元函数求最值的几种解法探讨（一）判别式法对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出的最值3.例 求函数的最值.解 由于，且,则，令当，且时，当，且时，（二） 配方法若给定的函数是二次函数或变形后可以转化为二次函数的问题，一般都可以用此法求解.例 求在区间内的最值.解 由原式配可得，因为,所以，从而当即，可取得最大值；当即时可取得最小值.例 求在区间内的最值解 由原式配方可得，因为，从而当时，可取得最小值；当或时，可取得最大值（三）均值不等式法设，是个正数，则有，其中等号成立的条件是.运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件4.例 设，求的最大值.解 由，可得. 又因为 其中当时，上式等号成立，原式可取得的最大值为.（四）换元法在用换元法求函数的最值时，就是依据函数的表达式的特点，把函数的某一部分看做成一个整体或用一个新的变元来代替，从而达到化繁为简，化生为熟，从而使得原问题得以解决.例 求函数的最值.解 因为,则给定函数的定义域即为：. 于是令 ，.则给定函数可变形为: 又因在定义域内,当，即时函数取得最大值，当或当即或时函数取得最小值（五）三角函数法若给定的函数，经过变形后可化成：或着（、是常数）的形式，从而由或，可得：当或时，（设）；当或时，（设）.例 求函数的最值.解 因为 当时，；当时，（六）单调性法当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值5例 设函数是奇函数，对任意、均有关系，若时，且，求在上的最大值解 先确定在上的单调性，设任意、且，则.所以有即.所以，在上是减函数.因此，的最大值是（七）导数法设函数在上是连续函数，在上可导，则在上的最大值与最小值为在内的各个极值与，中的最大值与最小值若要求三次或三次以上的函数的最值，当利用其他的方法很难求函数式的最值时，通常也都用该方法导数法常常就是最简便的方法，应该引起我们的重视例 求函数，的最大值和最小值解 求导得.当和时；当和时因此在区间 和 上是减函数，在区间和上是增函数，因而在整个定义域无最大值与最小值.二、二元函数求最值的几种解法探讨（一）二元函数的无条件极值定理6（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导（）若当时，当时，则在点取得极小值（）若当时，当时，则在点取得极大值定理7（极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，（）若，则在取得极大值（）若，则在取得极小值由连续函数在上的性质，若函数在闭区间上连续，则在上一定有最大值与最小值.这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证.8若函数的最大（小）值点在区间内，则必定是的极大（小）值点.又若在可导，则还是一个稳定点.所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点、和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值9.定义10 设函数的定义域为，为的内点.若存在的某个领域,使得对于该邻域内异于的任何点都有，则称函数在点有极大值，点称为函数的极大值点；若对于该邻域内异于的任何点，都有，则称函数在点有极小值，点称为函数的极小值点.极大值、极小值统称为极值.使得函数取得极值的点称为极值点.定理111（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有，.定理212（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则在处是否取得极值的条件如下：（）当时具有极值，且当时具有极大值，当时有极小值；（）当时没有极值；（）当时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.例 求函数的极值解 先求函数的一阶偏导数，再求函数的驻点，即令，.得方程组求得驻点为、.再求出二阶偏导数, , .在点处，,又，所以函数在处有极小值；在点处，,所以不是极值；在点处，,所以不是极值；在点处，,又，所以函数在处有极大值.例 设是由确定的函数，求的极值点和极值解 因为，则通过方程两边同时对和求偏导可得， .令 得 故将上式代入，可得 或 由于 ， 所以 ， 故，又，从而点是的极小值点，极小值为.类似地，由 ，可知，又，从而点是的极大值点，极大值为.（二）二元函数的条件极值在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不是很简单，另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必把问题化到无条件极值的问题，这就是下面要介绍的拉格朗日乘数法.拉格朗日数乘法13 要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数,其中为参数.求其对与的一阶偏导数，并使之为零，然后联立方程得：由这个方程组解出，及，这样得到的就是函数在条件下的可能极值点.这种方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个情形.例如，要求函数在附加条件，下的极值，可以先作朗格朗日函数其中，为参数.求其对、及的一阶偏导数，并使之为零，然后联立方程求解，这样就能得出在附加条件，下的可能极值点.例 表面积为而体积为最大的长方体体积.解 设长方体的各边长为、，则问题就是在条件下，函数，）的最大值.作拉格朗日函数，求其对、的偏导数，并使之为零，得到 联立方程组在定义域内求解得 从而得到，将此式带入原式得到.求解可得唯一可能的极值点.根据实际情况可知最大值一定存在，因而最大值就在这个可能的极值点处取得.即表面积为的长方体，当各边长为的正方体时得到最大体积.例 某公司通过电台及报纸这两种方式做广告，收入与各个广告费的关系如下（假设收入万元，电视广告费万元，报纸广告费万元）（）在费用不限的情况下，设计出最佳广告方案；（）当在广告费用总额为万元时，对应的最佳广告方案 解 （）依题意所得利润为，求该函数对、的各个偏导数，并使之为零，得到方程组：求解得到，则为惟一的驻点依实际情况可知，的最大值一定存在，故最大值必在该驻点处取得因而最大利润即为万元因此，当电视广告费为万元，报纸广告费万元时，即可取得最大利润万元. （）依题意作出相应的拉格朗日函数求该函数对与的一阶偏导数，并使之为零，且与联立方程求解解得，这是惟一的驻点，依实际情况可知，一定存在最大值，因而万元为最大值（三）二元函数的最值与一元函数相类似，通常我们可以利用函数的极值来求解函数的最大值与最小值.如果在闭区间上连续，则在闭区间上一定可以取得最大值与最小值.这种函数取得最大值或最小值的点既可能在的内部，也可能在的边界上.我们假定，函数在上连续、在内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在的内部取得最大值（最小值），则这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）. 14二元函数的最值点一定会在驻点和不可导点以及边界点可取得。例 求函数在区域上的最值，.解 因为函数在有界闭区域上连续，因而该函数在定义域内有最大值与最小值.解方程组 得到两个驻点，令解方程组得或由于，因而函数在区域上的最小值为，最大值为.（三）函数最值在实际问题中的应用例 把一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁（如图所示），问矩形截面的高和宽应该如何选择才能使梁的抗弯界面模量最大？分析 由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为由图看出，和有下面的关系：，因而这样就与存在函数关系，的变化范围是。现在，问题化为：等于多少时目标函数取最大值？解 求对的倒数：令，解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在内部取得；现在，在内只有一个跟，所以，当时，的值最大。这时，即例 某长要用铁皮做一个体积为的有盖长方体水槽，当长、宽、高的尺寸为多少时才能最省料.解 设长、宽各为、，则高应为.则所用的材料面积为，因而可知材料面积为二元函数，这就是目标函数，下面求使这个目标函数取得最小值的点.令解得，根据实际情况可知，水槽所用的材料面积的最小值一定存在，在定义域内得到唯一驻点，因此可肯定，时，进而可得高为时，水槽所用的材料最省.综上所述，可知函数的最值问题内涵非常的丰富，解法也很灵活.没有通用的方法或是固定的模式，在解题时我们要因题而异，并且上述涉及的几种解题方法也并非是彼此孤立，反而是相互联系、相互渗透的.通常一个问题需要多法并举，相互补充；有时一个题目又有多种的解法.函数的最值的解题方法是具有非常的灵活性和多样性的.除了以上涉及的，还有