中考数学复习 专题27 平行四边形试题（B卷含解析）.doc

专题27 平行四边形一、选择题1. m（ 福建福州，8，3分）平面直角坐标系中，已知abcd的三个顶点坐标分别是a（m，n），b ( 2，l )，c（m，n），则点d的坐标是a（2 ，l ) b（2，l ) c（1，2 ) d （1，2 )【答案】a【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，得出d和b关于原点对称由点的坐标特征得出点a和点c关于原点对称，由平行四边形的性质得出d和b关于原点对称，即可得出点d的坐标【详细解答】解：a（m，n），c（m，n），点a和点c关于原点对称，四边形abcd是平行四边形，d和b关于原点对称，b（2，1），点d的坐标是（2，1），故选择a .【解后反思】点的坐标在变换中的规律：（1）平移：左右平移时横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时纵坐标上加下减，横坐标不变；（2）关于坐标轴对称，与其同名的坐标不变，另一个坐标变为相反数；（3）关于原点对称，其坐标互为相反数.【关键词】平行四边形的性质；平面直角坐标系；中心对称；2. （ 河北省，6，3分）关于abcd的叙述，正确的是（ ）a若abbc，则abcd是菱形 b若acbd，则abcd是正方形c若ac=bd，则abcd是矩形 d若ab=ad，则abcd是正方形【答案】c【逐步提示】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断.【详细解答】解：当abbc时，abc90，abcd是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故选项a不正确；acbd，abcd是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故选项b不正确；ac=bd，abcd是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项c正确；ab=ad，abcd是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故选项d不正确.【解后反思】1.矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.2.菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形.3.正方形的判定方法：既是矩形又是菱形的四边形是正方形.【关键词】 菱形的判定；矩形的判定3. （湖南湘西，11，4分）下列说法错误的是a.对角线互相平分的四边形是平行四边形b.两组对边分别相等的四边形是平行四边形c.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形d.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】d【逐步提示】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断【详细解答】解：选项a、b、c都是平行四边形的判定定理，符合选项d条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择d .【解后反思】平行四边形的判定有4个，分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形另外还有如下结论是正确的：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形但如下说法是错误的：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形【关键词】平行四边形的判定二、填空题1. （ 河南省，10，3分）如图，在abcd中，beab交对角线ac于点e，若1=20，则2的度数是_.【答案】110【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识思路：首先利用平行四边形的性质求出bae的度数，再由2是abe的外角求出2的大小.【详细解答】解：四边形abcd是平行四边形abcd，bae=1=20beababe=902是abe的外角2=abe+bae=90+20=110 ，故答案为110.【解后反思】本题重点是平行四边形和三角形外角的性质，难点是借助桥梁（第三个角）构建未知角与已知角之间的联系.思维模式是探索要求的未知角所在三角形，确定已知角与未知角在图形中结构联系，利用平行四边形与角有关的性质转化已知角，利用三角形的内角和或者三角形外角的性质等有关知识求出角的大小.【关键词】平行四边形的性质；三角形的外角；垂直的定义.2. （ 湖北省十堰市，14，3分）如图，在平行四边形abcd中，ab=2cm,ad=4cm,acbc,则dbc比abc的周长长_cm.【答案】4【逐步提示】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题的关键是dbc比abc的周长长等于bd-ac;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示出dbc的周长与abc的周长，找出bd-ac的值即可.【详细解答】解： 如图，设ac与bd交于点f,因为ab=2cm,ad=4cm,acbc，所以ac=;因为平行四边形abcd中，所以，af=fc,bf=df; bf=, bd=10;因为dbc的周长=bd+bc+cd=10+ab,abc的周长=ab+bc+6,所以dbc比abc的周长长4.f【解后反思】平行四边形的对边相等和对角线互相平分、勾股定理是初中数学中的重点，但是，求出dbc比abc的周长长等于bd-ac，却是一个难点，需要应用整体的数学思想进行处理.解法拓展：本题也可以过点d作debc于e，用勾股定理计算后完成.【关键词】勾股定理; 平行四边形的性质;3. （江苏省无锡市，17，2分）如图，已知oabc的顶点a、c分别在直线x1和x4上，o是坐标原点，则对角线ob长的最小值为_baocx1x4xy【答案】5【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是知道点b到直线x4的距离等于点o到直线x1的距离本题的思路是由平行四边形的中心对称的性质可知点o与点a，点c与点b之间的水平距离相等，可求得点b的横坐标，也就是说点b在一条垂直于x轴的直线上运动，我们只需寻找出点b在什么位置时，ob最短即可【详细解答】解：顶点a、c分别在直线x1和x4上，o是坐标原点，点b在x5上，当点b在x轴上时，即ob的最小值为5，故答案为5.【解后反思】要求线段ob的最小值，点o是定点，点b是动点，要求ob的最小值，可先确定点b的运动轨迹这一规律适用于大多数求最值的线段长【关键词】平行四边形的性质；最值问题；三、解答题1. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，26，10分）如图，已知ecab，eda=abf（1）求证：四边形abcd为平行四边形；（2）求证：oa2=oeof第26题图【逐步提示】本题考查平行四边形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，解题的关键第（1）小题是熟知平行四边形的判定方法，第（2）小题是找到一个中间量架起两个比例式；（1）要证四边形abcd为平行四边形，由已知条件ecab，所以只要证adcf即可，利用abf作为中间量（桥梁）架起c与eda即可证明adbc，从而证得四边形abcd为平行四边形；（2）要证oa2=oeof，此为乘积式，考虑将其改为比例式，结合第（1）小题的结论ecab可得；由adbc可得，通过等量代换得到：即oa2=oeof【详细解答】（1）证明： ecab， c=abf 1分又 eda=abf， c=eda 2分 adbc， 3分 四边形abcd是平行四边形 4分（2）证明： ecab， . 5分又 adbc， , 6分 , 7分 8分【解后反思】平行四边形的判定方法有多种，究竟选用哪一个判定方法，这得依据已知条件来进行判断，这需要我们对所有的判定定理有深入了解，例如这道题已知一组对边平行，则考虑选用两组对边分别平行的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对于待证明的乘积式，应该考虑将其改为比例式，然后利用相似三角形或者平行线分线段成比例定理进行证明，另外，此类几何问题需要对题目图形进行整体观察、局部分析，找到起桥梁作用的中间量，例如这道题中的abf和【关键词】平行四边形的判定和性质 ；相似三角形的判定和性质；平行线分线段成比例定理；等量代换；2. （广东茂名，18，7分）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等.”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证.已知：如图，四边形abcd是平行四边形.求证：ab=cd， .（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程.证明：【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的判定方法与性质，解题的关键是添设辅助线，构造一组全等三角形.（1）平行四边形的对边有2组，除了ab=cd，还有另一组bc=da；（2）连接ac，利用asa证abccda，从而得出bc=da.【详细解答】解：（1）bc=da（2）如图，连接ac.四边形abcd是平行四边形，abcd，bcda，bac=dca，bca=dac.ac=ca，abccda.ab=cd，bc=da.【解后反思】（1）本题也可以连接bd，证明abdcdb，得出结论；（2）本题证明过程，要防止出现直接利用“平行四边形的对边相等”得出结论的错误证法.【关键词】平行四边形的性质；三角形全等的判定与性质17. 3. （ 湖北省黄冈市，17，7分）如图，在abcd中，e,f分别边ad,bc的中点，对角线ac分别交be,df于点g,h。求证：ag=ch。 【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质和判定及三角形全等的证明，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关性质和判定方法要证ag=ch，可证agepch，由abcd可得ad bc, 则hcf=gae, 结合e,f是ad,bc的中点，可得ae=cf，关键就是还要证明一组角相等，可以通过证明四边形bfde为平行四边形来解决. 【详细解答】证明：abcd，ad bc, hcf=gae, 又e,f分别边ad,bc的中点，ae=fc, de=bf,四边形bfde是平行四边形，bed=bfd.aeg=hfc.agepch,ag=ch.【解后反思】证明两条线段相等的思路主要有两种：（1）如果两条线段在同一个三角形中，可利用“等角对等边”，证明两条线段所对的角相等；（2）如果两条线段不在同一个三角形当中，通常证明这两条线段所在的三角形全等.【关键词】平行四边形的性质与判定 ；全等三角形的判定。4. （湖南常德，16，3分）平面直角坐标系中有两点m(a，b)，n(c，d)，规定（a，b）（c，d）=（a+c，b+d)，则称点q(a+c，b+d)为m，n的“和点”若以坐标原点o与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”现有点a（2，5），b（1，3），若以o，a，b，c四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点c的坐标是 【答案】（1，8）【逐步提示】本题是一道新型运算类的阅读理解题，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据给定的运算定义，将已知中的数据代入进行运算【详细解答】解：（2，5）（1，3）=（21，5+3）=（1，8），故答案为（1，8）【解后反思】：数学的阅读理解题，就是题目首先提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，让你在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法和知识，并运用这些方法和知识去解决问题，这类题通常涉及代数知识、几何知识、函数与统计的解题方法和推理方法，其目的在于考查学生的阅读理解能力、收集处理信息的能力和运用知识解决实际问题的能力阅读理解题常见的类型有：阅读特殊范例，推出一般结论，再应用之；阅读理解解题过程，总结解题规律或方法；阅读新知识，研究新应用【关键词】学习型阅读理解问题5. （ 湖南省益阳市，17，8分）如图，在abcd中，aebd于e， cfbd于f， 连接af，ce.求证：af=ce.【逐步提示】本题考查了平行四边形的判定及三角形全等的证明（1）根据平行四边形abcd的性质，结合aebd于e， cfbd于f等已知条件，易证aecf，可得，则有ae=cf；（2）可以根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明 【详细解答】解：证明：如图，四边形abcd是平行四边形， ad=bc，adb=cbd 又aebd，cfbd，aed=cfb，aecf ae=cf四边形aecf是平行四边形af=ce 【解后反思】（1）证明三角形全等的方法选择顺序一般是：aas，asa，sas，sss，当然如果是直角三角形，首先考虑“hl”；（2）证明一个四边形是平行四边形的方法选择顺序一般是：两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对边分别相等、两组对角分别相等 【关键词】三角形全等的判定和性质；平行四边形的性质和判定6. (湖南省永州市，23，10分)如图，四边形abcd为平行四边形，bad的角平分线ae交cd于点f，交bc的延长线于点e (1)求证：be=cd (2)连接bf，若bfae，bea=60，ab=4，求平行四边形abcd的面积 【逐步提示】本题考查了平行四边形的有关知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质及综合运用 (1) 由平行四边形的定义得adbe，从而有内错角相等dae=aeb，结合条件ae平分bad，得bae=aeb，根据等边对等角及等量代换可得结论；(2)根据aas证明adfecf，这样把求平行四边形abcd的面积转化为求等边三角形abe的面积【详细解答】解：(1)证明：四边形abcd为平行四边形，ab=cd，adbe，dae=aeb又ae平分bad，dae=bae bae=aeb be=ab又ab=cd，be=cd (2)be=ab，bfae，af=ef，adbe，d=dce，daf=fec， adfecf(aas)s平行四边形abcd=sabebe=ab，bea=60，abe为等边三角形sabe=aebf=44sin60=44=s平行四边形abcd=【解后反思】1平行线与角平分线组合的图形中，通常会有等腰三角形2要证边相等，可转化为证明角相等3判定两个三角形全等的方法有：边角边，角边角，角角边，边边边，直角三角形全等的判定还有“斜边、直角边”4平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分【关键词】平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定；解直角三角形7. （ 江苏省连云港市，22，10分）四边形中，垂足分别为、（1）求证：；（2）若与相交于点，求证：【逐步提示】本题以平行四边形为背景考查了全等三角形的判定以及线段相等的证明，掌握全等三角形判定的方法和平行四边形的性质是解题的关键 （1）在rtade和rtcbf中已有一边和一角对应相等，要证这两个三角形全等，可以证一对对应角相等或是证一边相等，由已知条件可由be=df来证一边对应相等；（2）要证ao=co，只需要证明四边形afce是平行四边形，由第（1）中的全等可得ae=cf，再想办法证明aecf即可【详细解答】证明：aebd，cfbd，aed=bfc=90be=df，bf+ef=ef+de，bf=de在rtade和rtcbf中rtadertcbf；（2）rtadertcbfae=cfaeo=cfo=90aecf四边形afce是平行四边形，ao=co【解后反思】平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【关键词】全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定；8. （江苏省无锡市，27，10分）如图，已知abcd的三个顶点a(n，0)、b(m，0)、d(0，2n)（mn0），作abcd关于直线ad的对称图形ab1c1d（1）若m3，试求四边形cc1b1b的面积s的最大值（2）若点b1恰好落在y轴上，试求的值【逐步提示】本题考查了轴对称的性质、矩形的判定以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是找到解决问题所需的相似三角形在本题中，（1）先证明四边形cc1b1b为矩形然后设法表示出矩形的长和宽，即可得到一个关于n的二次函数，利用二次函数的性质求出四边形cc1b1b的面积s的最大值（2）本题有两个未知数m、n，要得到的值，需要一个方程，可借助bob1doa得到一个比例式来解决本题【详细解答】解：四边形abcd是平行四边形，bc平行且等于ad，同理b1c1平行且等于ad四边形cc1b1b为平行四边形，c与c1，b与b1关于直线ad对称，ad垂直平分cc1、bb1bcad，bcc190四边形cc1b1b为矩形（1）当m3时，ob3，a(n，0)，d(0，2n)，oan，od2n，在rtaod中，ad，ead垂直平分cc1，cdob，decaod90，dceado90edcdecaod，ce2de，cdab3n，cebcad，s四边形cc1b1b的面积s的最大值为（2）当点b1恰好落在y轴上时a(n，0)、b(m，0)、d(0，2n)，obm，oan，od2n，abmn由（1）可知，cebb1cc12cebob1aod90，bb1odao，bob1doa，解得【解后反思】要求出面积的最大值或最小值，常考虑表示出s的函数关系式；而相似是解决几何综合题的常用方法【关键词】二次函数的应用问题；最值问题；垂直平分线；轴对称；相似三角形的判定9.（江苏省宿迁市，21，6分）如图，已知bd是abc的角平分线，点e、f分别在边ab、bc上，edbc，efac求证：be=cf（第21题图）【逐步提示】由已知条件可以判定四边形defc为平行四边形，利用平行四边形的性质可以知道de=cf，再根据角平分线和平行线可以推导出de=be，等量代换从而得到证明【详细解答】证明：debc，efac四边形defc是平行四边形de=cf又bd平分abcabd=cbddebcedb=dbceb=edb