高三数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明夯基提能作业本 文.doc

第二节不等式的证明a组基础题组1.已知abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac3a.2.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca13;(2)a2b+b2c+c2a1.3.(2016福建福州模拟)已知函数f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)f(a)-f(-b).4.(2016广东肇庆三模)已知a0,b0,且a+b=1.(1)求ab的最大值;(2)求证:a+1ab+1b254.b组提升题组5.(1)已知a,b都是正数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2;(2)已知a,b,c都是正数,求证:a2b2+b2c2+c2a2a+b+cabc.6.在abc中,内角a,b,c所对的边的长分别为a,b,c,证明:(1)1a3+1b3+1c3+abc23;(2)a+b+c9.7.已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|a|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设mn0,求证:2m+1m2-2mn+n22n+a.答案全解全析a组基础题组1.解析要证b2-ac3a,只需证b2-ac3a2.a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)0,只需证(a-b)(2a+b)0,只需证(a-b)(a-c)0.abc,a-b0,a-c0.(a-b)(a-c)0显然成立,故原不等式成立.2.证明(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca13.(2)因为a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c,故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)2(a+b+c),即a2b+b2c+c2aa+b+c.所以a2b+b2c+c2a1.3.解析(1)当x-1时,原不等式可化为-x-1-2x-2,解得x-1;当-1x-12时,原不等式可化为x+1-2x-2,即x-1,此时原不等式无解;当x12时,原不等式可化为x+11,综上,m=x|x1.(2)证明:证法一: f(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)|ab+b|-|1-b|=|b|a+1|-|1-b|.因为a,bm,所以|b|1,|a+1|0,所以f(ab)|a+1|-|1-b|,即f(ab)f(a)-f(-b).证法二:因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以要证f(ab)f(a)-f(-b),只需证|ab+1|a+b|,即证|ab+1|2|a+b|2,即证a2b2+2ab+1a2+2ab+b2,即证a2b2-a2-b2+10,即证(a2-1)(b2-1)0.因为a,bm,所以a21,b21,所以(a2-1)(b2-1)0成立,所以原不等式成立.4.解析(1)a0,b0,且a+b=1,aba+b2=12,ab14当且仅当a=b=12时,等号成立,即ab的最大值为14.(2)证明:证法一:(分析法)欲证原式,需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,即证4(ab)2-33ab+80,即证ab14或ab8.a0,b0,a+b=1,ab8不可能成立.1=a+b2ab,ab14,得证.证法二:(比较法)a+b=1,a0,b0,a+b2ab,00.又因为ab,所以(a-b)20.于是(a+b)(a-b)20,即(a3+b3)-(a2b+ab2)0,所以a3+b3a2b+ab2.(2)因为b2+c22bc,a20,所以a2(b2+c2)2a2bc.同理,b2(a2+c2)2ab2c.c2(a2+b2)2abc2.相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)2a2bc+2ab2c+2abc2,从而a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).由a,b,c都是正数,得a+b+c0,因此a2b2+b2c2+c2a2a+b+cabc.6.证明(1)因为a,b,c为正实数,由基本不等式可得1a3+1b3+1c3331a31b31c3,即1a3+1b3+1c33abc,所以1a3+1b3+1c3+abc3abc+abc,而3abc+abc23abcabc=23,所以1a3+1b3+1c3+abc23.当且仅当a=b=c=63时取等号.(2)1a+1b+1c331abc=33abc3a+b+c3=9,所以a+b+c9,当且仅当a=b=c=3时取等号.7.解析(1)令f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=-3,x-1,2x-1,-1x2,3,x2,f(x)的最大值为3.对任意实数x,|x+1|-|2-x|a都成立,即f(x)a恒成立,a3.