高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理夯基提能作业本 理.doc

第三节合情推理与演绎推理a组基础题组1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理() a.结论正确b.大前提不正确c.小前提不正确d.全不正确2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;“(mn)t=m(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”;“acbc=ab”类比得到“acbc=ab”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是()a.1b.2c.3d.43.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x,由归纳推理可得:若定义在r上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()a.f(x)b.-f(x)c.g(x)d.-g(x)4.在平面几何中有如下结论:正三角形abc的内切圆面积为s1,外接圆面积为s2,则s1s2=14,推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体p-abc的内切球体积为v1,外接球体积为v2,则v1v2=()a.18b.19c.127d.1645.如图所示,椭圆中心在坐标原点,f为左焦点,当fbab时,其离心率为5-12,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()a.5+12b.5-12c.5-1d.5+16.(2015陕西文,16,5分)观察下列等式1-12=12,1-12+13-14=13+14,1-12+13-14+15-16=14+15+16,据此规律,第n个等式可为.7.设函数f(x)=xx+2(x0),观察:f1(x)=f(x)=xx+2 , f2(x)=ff1(x)=x3x+4,f3(x)=ff2(x)=x7x+8, f4(x)=ff3(x)=x15x+16,根据以上事实,由归纳推理可得:当nn*且n2时, fn(x)=ffn-1(x)=.8.在abc中,不等式1a+1b+1c9成立,在凸四边形abcd中,不等式1a+1b+1c+1d162成立,在凸五边形abcde中,不等式1a+1b+1c+1d+1e253成立,依此类推,在凸n边形a1a2an中,不等式1a1+1a2+1an成立.9.我们将具有下列性质的所有函数组成集合m:函数y=f(x)(xd),对任意x,y,x+y2d均满足fx+y212f(x)+f(y),当且仅当x=y时等号成立.(1)若定义在(0,+)上的函数f(x)m,试比较f(3)+f(5)与2f(4)的大小;(2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)m.10.已知o是abc内任意一点,连接ao,bo,co并延长,分别交对边于a,b,c,则oaaa+obbb+occc=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”:oaaa+obbb+occc=sobcsabc+socasabc+soabsabc=sabcsabc=1.请运用类比思想猜想,对于空间中的四面体v-bcd,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.b组提升题组11.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10等于() a.28b.76c.123d.19912.如图所示,面积为s的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点p到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4),若a11=a22=a33=a44=k,则1h1+2h2+3h3+4h4=2sk.类比以上性质,体积为v的三棱锥的第i个面的面积记为si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点q到第i个面的距离记为hi(i=1,2,3,4),若s11=s22=s33=s44=k,则h1+2h2+3h3+4h4的值为()a.4vkb.3vkc.2vkd.vk13.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图1所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.如图2,设想正方形换成正方体,把截线换成截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥o-lmn,如果用s1,s2,s3表示三个侧面面积,s4表示底面(截面)面积,那么类比得到的结论是.14.仔细观察下面和的排列规律:,若依此规律继续下去,得到一系列的和,那么在前120个和中,的个数是.15.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.答案全解全析a组基础题组1.c因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.2.b正确,错误.3.d由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x),选d.4.c正四面体的内切球与外接球的半径之比为13,故v1v2=127.5.a设“黄金双曲线”的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则b(0,b),f(-c,0),a(a,0).在“黄金双曲线”中,因为fbab,所以fbab=0.又fb=(c,b),ab=(-a,b),所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等号两边同除以a2,得e2-1=e,解得e=5+12e=1-52舍去.6.答案1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n解析规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-12+13-14+12n-1-12n;等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,2n,分子为1,即为1n+1+1n+2+12n.所以第n个等式可为1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n.7.答案x(2n-1)x+2n解析 f1(x)=f(x)=xx+2,f2(x)=ff1(x)=x3x+4=x(22-1)x+22,f3(x)=ff2(x)=x7x+8=x(23-1)x+23,f4(x)=ff3(x)=x15x+16=x(24-1)x+24,当n2且nn*时, fn(x)=ffn-1(x)=x(2n-1)x+2n.8.答案n2(n-2)解析在abc中,1a+1b+1c9=32,在凸四边形abcd中,1a+1b+1c+1d162=422,在凸五边形abcde中,1a+1b+1c+1d+1e253=523,在凸n边形a1a2an中,1a1+1a2+1ann2(n-2).9.解析(1)fx+y212f(x)+f(y),当且仅当x=y时等号成立,令x=3,y=5,得f(3)+f(5)2f(4).(2)证明:gx1+x22-12g(x1)+g(x2)=-(x1+x2)24+x12+x222=(x1-x2)240,当且仅当x1=x2时等号成立,所以gx1+x2212g(x1)+g(x2),所以g(x)m.10.解析结论:在四面体v-bcd中,任取一点o,连接vo,do,bo,co并延长,分别交四个面于e,f,g,h点.则oeve+ofdf+ogbg+ohch=1.证明:在四面体o-bcd与v-bcd中,设其高分别为h1,h,则oeve=h1h=13sbcdh113sbcdh=vo-bcdvv-bcd.同理,ofdf=vo-vbcvd-vbc;ogbg=vo-vcdvb-vcd;ohch=vo-vbdvc-vbd,oeve+ofdf+ogbg+ohch=vo-bcd+vo-vbc+vo-vcd+vo-vbdvv-bcd=vv-bcdvv-bcd=1.b组提升题组11.c观察给出的式子特点可推知,等式右端的值,从第三个式子开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子的右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.12.b在平面凸四边形中,连接p点与各个顶点,将其分成四个小三角形,根据三角形面积公式,可得s=12(a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)=12(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=k2(h1+2h2+3h3+4h4).所以h1+2h2+3h3+4h4=2sk.类似地,连接q点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有v=13(s1h1+s2h2+s3h3+s4h4)=13(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=k3(h1+2h2+3h3+4h4),所以h1+2h2+3h3+4h4=3vk.13.答案s12+s22+s32=s42解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边,底面面积类比为直角三角形的斜边,可得s12+s22+s32=s42.14.答案14解析进行分组|,则前n组中和的总数是f(n)=2+3+4+(n+1)=n(n+3)2,易知f(14)=119, f(15)=135,故所求数为14.15.解析(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=1-14=34.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证法一:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+34cos2+32sin cos +14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2+34cos2=3