2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.2.1三角函数的概念讲义新人教A版必修第一册.docx

5.2.1三角函数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(重点、难点)2掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点)3掌握公式并会应用.1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养2借助公式的运算，提升数学运算素养.1单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆2任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设是一个任意角，R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(2)结论y叫做的正弦函数，记作sin ，即sin y；x叫做的余弦函数，记作cos_，即cos x；叫做的正切，记作tan_，即tan (x0)(3)总结tan (x0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”5公式一1sin(315)的值是()ABC.D.Csin(315)sin(36045)sin 45.2已知sin 0，cos 0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角B由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角是第二象限角3sin_.sinsinsin.4角终边与单位圆相交于点M，则cos sin 的值为_cos x，sin y，故cos sin .三角函数的定义及应用探究问题1一般地，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin ，cos ，tan 为何值？提示：sin ，cos ，tan (x0)2sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin ，cos ，tan 的值只与的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变【例1】(1)已知角的终边上有一点P(x,3)(x0)，且cos x，则sin tan 的值为_(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值思路点拨(1)(2)(1)或因为r，cos ，所以x.又x0，所以x1，所以r.又y30，所以是第一或第二象限角当为第一象限角时，sin ，tan 3，则sin tan .当为第二象限角时，sin ，tan 3，则sin tan .(2)解直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan ；在第四象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan .1将本例(2)的条件“xy0”改为“y2x”其他条件不变，结果又如何？解当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r|OP|，得sin ，cos ，tan 2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，由r|OQ|，得：sin ，cos ，tan 2.2将本例(2)的条件“落在直线xy0上”改为“过点P(3a,4a)(a0)”，求2sin cos .解因为r5|a|，若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，所以2sin cos 1.若a0)则sin ，cos .已知的终边求的三角函数时，用这几个公式更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限(2)判断下列各式的符号：sin 145cos(210)；sin 3cos 4tan 5.思路点拨(1)先判断tan ，cos 的符号，再判断角终边在第几象限(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号(1)C因为点P在第四象限，所以有由此可判断角终边在第三象限(2)解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.3，4，52，sin 30，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.1已知角的终边过点(3a9，a2)且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_2a3因为cos 0，sin 0，所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为终边过(3a9，a2)，所以所以2a3.2设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角四角是第三象限角，则角是第二、四象限角，sin，角是第四象限角诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan 405sin 450cos 750；(2)sincostancos.解(1)原式tan(36045)sin(36090)cos(236030)tan 45sin 90cos 3011.(2)原式sincostancossincostancos1.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k的形式，其中0，2)，kZ.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.3化简下列各式：(1)a2sin(1 350)b2tan 4052abcos(1 080)；(2)sincostan 4.解(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0a2b22ab(ab)2.(2)sincostan 4sincostan 0sin0.1三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点2诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆3三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题1思考辨析(1)sin 表示sin与的乘积()(2)设角终边上的点P(x，y)，r|OP|0，则sin ，且y越大，sin 的值越大()(3)终边相同的角的同一三角函数值相等()(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.()提示(1)错误sin 表示角的正弦值，是一个“整体”(2)错误由任意角的正弦函数的定义知，sin .但y变化时，sin 是定值(3)正确(4)错误终边落在y轴上的角的正切函数值不存在答案(1)(2)(3)(4)2已知角终边过点P(1，1)，则tan 的值为()A1B1C. DB由三角函数定义知tan 1.3在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若s