2019_2020学年高中数学第1章数列1.2数列的函数特性教案北师大版必修5.docx

1.2数列的函数特学 习 目 标核 心 素 养1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念2掌握判断数列增减性的方法(重点)3利用数列的增减性求最大值、最小值(难点、易混点)1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养2借助数列单调性的研究培养学生的逻辑推理的素养.数列的单调性阅读教材P6P7“例3”以上部分，完成下列问题(1)数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法(2)数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项an1an递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项an1an常数列各项都相等an1an思考：(1)若函数f(x)在1，)上单调递增，那么数列anf(n)也单调递增吗，反之成立吗？提示若函数f(x)在1，)上单调递增，则函数anf(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)2，数列anf(n)单调递增，但f(x)2在1，)上不是单调递增(2)如何判断数列的单调性？提示比较数列中相邻的两项an与an1的大小来确定其单调性1数列ann1是()A递增数列B递减数列C常数列D不能确定Aan1an(n1)1(n1)10，故an1an，所以ann1是递增数列2若数列an为递增数列，其通项公式为ankn2，则实数k的取值范围是_(0，)由题意知an1ank(n1)2(kn2)k0，即实数k的取值范围是(0，)3下列数列：1,2,22,23，；1,0.5,0.52,0.53，；7,7,7,7，；2,2，2,2，2，.递增数列是_，递减数列是_，摆动数列是_，常数列是_(填序号)答案数列的图像【例1】在数列an中，ann28n.(1)画出an的图像；(2)根据图像写出数列an的增减性解(1)列表n123456789an71215161512709描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像：(1，7)，(2，12)，(3，15)，(4，16)，(5，15)，(6，12)，(7，7)，(8,0)，(9,9)，图像如图所示(2)数列an在1,4上是递减的，在5，)上是递增的画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像因为它的定义域是正整数集N(或它的有限子集1,2,3，n)，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的1已知数列an的通项公式为an，画出它的图像，并判断增、减性解图像如图所示，该数列在1,2,3,4上是递减的，在5,6，上也是递减的数列的单调性【例2】判断数列的增减性解an，an1.法一：(作差法)an1an，nN，an1an0，即an1an，数列为递增数列法二：(作商法)nN，an0.11，an1an，数列为递增数列法三：(构造函数法)令(x)(x1)，则(x)，函数(x)在1，)上是增函数，数列是递增数列判断数列增减性的方法(1)作差比较法：若an1an0恒成立，则数列an是递增数列；若an1an0恒成立，则数列an是递减数列；若an1an0恒成立，则数列an是常数列(2)作商比较法：若an0，则当1时，数列an是递增数列；当1时，数列an是递减数列；当1时，数列an是常数列若an0，则当1时，数列an是递增数列；当1，数列an是递减数列；当1时，数列an是常数列2(1)若数列an是递减数列，则其通项公式可能是()Aan2nBann2CannDanlog2n(2)若ann2bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是_(1)C(2)(3，)(1)由于函数f(x)x是减函数，故数列ann是递减数列，选C(2)由题意知an1an(n1)2b(n1)(n2bn)2n1b0恒成立，即2n1b0，b2n1恒成立，而nN时，2n1的最大值为3(n1时)，所以b3，即b的取值范围为(3，)数列单调性的应用探究问题1(1)数列an中，an1，试判断an的增减性；(2)数列an中，an，试判断an的增减性提示(1)因为函数y1在(0，)上单调递减，所以数列an1是递减数列(2)由an1，由(1)可知，an是递减数列2已知无穷数列an的通项公式为an(nN)，试判断数列an的增减性；数列an有最大项还是有最小项？作出判断并求出来提示an1，当n9时，an1，当n10时，an1，且随n的递增an递减，故数列an有最大项，其最大项为a10.【例3】在数列an中，an(n1)n(nN)(1)求证：数列an先递增后递减；(2)求数列an的最大值思路探究：法一：先考虑数列an的单调性，然后利用单调性求最值法二：利用不等式组寻求最大值解法一(单调性法)：(1)令1(n2)，即1，整理得，解得n10.令1，即1，整理得，解得n9.所以数列an从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列an先增后减(2)由(1)知a9a10为最大值法二：(不等关系法)(1)假设数列an中存在最大项因为an1an(n2)n1(n1)nn，当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，故a1a2a3a9a10a11a12，所以数列an从第1项到第9项递增，从第10项起递减(2)由(1)知a9a10为最大值1(变条件)将例题中的“an(n1)n”换为“an2n29n3”如何求an中的最大项解由an2n29n322.n为正整数，当n2时，an取得最大值，a222292313.即数列an的最大项为a213.2(变结论)在例3中，若n的取值范围是nN，且n10，求数列an的最小项解由例3知数列an从第1项到第9项递增，从第10项起递减，所以a1最小，a1.数列中最大项与最小项的两种求法(1)若求最大项an，则an应满足若求最小项an，则an应满足(2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意nN这一条件1判断一个数列的增减性，可利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列an的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性2有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列，的通项公式是an.()(2)数列的图像是一群孤立的点()(3)数列1,0,1,0，与数列0,1,0,1，是同一数列()答案(1)(2)(3)2已知an1an30，则数列an是()A递增数列B递减数列C摆动数列D常数列A因为an1an30，即an1an30，所以数列是递增数列3下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，B1,2，3,4，C1，D1，C由递增数列的知识，可知属于递增数列的是选项C、D；由无穷数列的知识，可知属于无穷数列的是选项A，B，C(用省略号)故既是无穷数列又是递增数