高考数学 黄金考点精析精训 考点16 等差、等比数列的运算和性质 理.doc

考点16 等差、等比数列的运算和性质【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解等差、等比数列的概念；（2）掌握等差、等比数列的通项公式与前项和公式；（3）了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系；（4）能利用等差、等比数列的前项和公式及其性质求一些特殊数列的和；（5）能运用数列的等差、等比关系解决实际问题.2.命题方向预测：数列是高考必考内容，往往是主、客观题均有.预计2018年高考将重点考查等差、等比数列的通项公式及其性质、求和公式等，主观题以等差、等比数列与其他知识的综合为主.3.课本结论总结：等差数列的判断方法：(1)定义法：对于的任意自然数，验证为同一常数；(2)等差中项法：验证都成立；(3)通项公式法：验证；(4)前n项和公式法：验证.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列等比数列的判定方法：(1)定义法：若(为非零常数)或(为非零常数且)，则是等比数列(2)中项公式法：若数列中且，则数列是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(，均为不为0的常数，)，则是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和(为常数且，)，则是等比数列4.名师二级结论：以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题,主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得5.课本经典习题：(1)新课标a版必修5第44页，例3 已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它是首项与公差分别是什么？.【经典理由】结合具体实例，给出了数列通项公式的求法与等差数列的判定，并可就此发散，引申出等差数列通项公式与前项和的特点.(2) 新课标a版必修5第45页，例4 已知等差数列，的前项和为，求使得最大的序号的值.【解析】由题意知，等差数列，的公差为，当或时，取最大值.【经典理由】结合具体的例题，给出了利用二次函数的方法求等差数列前项和的方法.6.考点交汇展示：(1)数列与函数相结合1若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）a6 b7 c8 d9【答案】d2.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知， 分别为等差数列和等比数列， ， 的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.（1）求的值；（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.请你求出解析式，并证明： .【答案】（1）,（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出，由，得，从而可得，求出函数的零点，进而可得的值；（2）根据（1），可求出等差数列列的通项公式，由点，当时所有点都在指数函数的图象上可得，即， 取特殊值列方程组可求得，从而可得，利用等比数列的求和公式及放缩法可证明结论.试题解析：（1）由得，又，所以.的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以， ，.（2），令的公比为，则.又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，解得.所以.，因为，所以当时， 有最小值为，所以. (2)数列与不等式相结合【2017届河北定州中学高三上周练一】已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）a b3 c d【答案】b【考点分类】热点1 等差数列基本量的计算1.【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,则 （ ）（a）100 （b）99 （c）98 （d）97【答案】c【解析】由已知,所以故选c.2.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和若，则的公差为a1b2c4d8【答案】c3.【2017重庆二诊】张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）a. 10日 b. 20日 c. 30日 d. 40日【答案】b【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列， ， ， ，设其公差为，则，故选c.【解题技巧】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题，此外要注意当时，为常数列，是特殊的等差数列.【方法规律】数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，例如第3题，将条件中的等式都转化为关于和的方程组，通过解方程组求解.热点2 等差数列性质的综合运用1.在等差数列中，若，则= .【答案】【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入2.【2017福建4月质检】若公差为2的等差数列的前9项和为81，则（ ）a. 1 b. 9 c. 17 d. 19【答案】c【解析】由等差数列求和公式可得： ，再由等差数列通项公式可知： 3.设数列都是等差数列,若,则_.【答案】35【解析】因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列，故由等差中项的性质,得,即,解得.【方法规律】等差数列的性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；（3）若，为等差数列，且前项和分别为和，则，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第6题，利用等差数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】等差数列前项和的最值问题的方法：二次函数法：将看作关于的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题有解；通项公式法：求使（或）成立的最大值，即可得的最值；（3）不等式法：借助最大时，有，解此不等式组确定的范围，进而确定的值和对应的值（即的最值）.热点3 等比数列基本量的计算1.【2017安徽阜阳二模】等比数列中， ，则数列前项和 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题意可知： ，解得： ，由等比数列的求和公式有： .本题选择d选项.2.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 【答案】【解析】设等比数列的公比为,由得,解得.所以,于是当或时,取得最大值.3.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则.【解题技巧】（1）对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用（2）在涉及等比数列前项和公式时要注意对公式是否等于的判断和讨论【方法规律】关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量，将条件中的等式转化为关于和的方程组，解得和，从而解决问题.热点4 等比数列性质的综合运用1公比为等比数列的各项都是正数,且,则（）abcd【答案】b【解析】 2.已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【答案】3.已知数列满足=1，.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）证明详见解析，；（2）详见解析.【解析】（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因为当时，所以，于是=，所以.【方法规律】等比数列的性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；（3）等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第18题，利用等比数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】(1)由，并不能立即断言为等比数列，还要验证，(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误【热点预测】1.【2017课标ii，理3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）a1盏 b3盏 c5盏 d9盏【答案】b【解析】2.【2017届广西陆川县中学高三8月月考】设是正数组成的等比数列，公比，且，则（ ）a b c d【答案】d【解析】根据等差数列的性质，可得构成公比为的等比数列，设，则，解得，所以，故选d.3. 设等比数列an的前n项积，若，则等于( )(a)16 (b)8 (c)4 (d)2【答案】d【解析】由，得，即，于是.4.【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )（参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ a）2018年 （b）2019年 （c）2020年 （d）2021年【答案】b【解析】设第年的研发投资资金为，则，由题意，需，解得，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选b.5.【百强校】2017届湖南益阳市高三9月调研】在等差数列中，已知，则（ ）a12 b18 c24 d30【答案】c【解析】公差为，则，故选c6.等比数列中，则数列的前8项和等于（ ） a6 b5 c4 d3【答案】c【解析】由已知得为等比数列，为等差数列，所求和为，故选c7.若在数列中，对任意正整数，都有（常数），则称数列为“等方和数列”，称 为“公方和”，若数列为“等方和数列”，其前项和为，且“公方和”为，首项，则的最大值与最小值之和为（ ） a. b. c. d.【答案】d【解析】由得，两等式相减得：.又“公方和”为，首项，所以.所以的最大值为1007，最小值为1005，其差为2.选d.8.【2017浙江，6】已知等差数列an的公差为d，前n项和为sn，则“d0”是“s4 + s62s5”的a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】由，可知当，则，即，反之，所以为充要条件，选c9.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为a b c3d8【答案】a【解析】10.定义：数列对一切正整数均满足，称数列为“凸数列”，以下关于 “凸数列”的说法：等差数列一定是凸数列；首项，公比且的等比数列一定是凸数列；若数列为凸数列，则数列是单调递增数列；若数列为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列.其中正确说法的序号是 .【答案】【解析】中，由等差数列的性质可得，不满足，所以数列不是“凸数列”；中，因为数列的首项，公比且，所以，所以，所以数列一定是凸数列；因为数列为凸数列，所以数列对一切正整数均满足，所以，所以数列是单调递增数列是正确的；中，数列为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列是正确的.11.已知各项均为正数的数列满足：为数列的前项和，且 2，成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）若， 求数列的前项和.【答案】(1) ；（2）.【解析】(1) ， ， ， ， 通项公式为 （2）所以-得：所以.12. 已知等比数列的各项均为正数，且，.(1) 求数列的通项公式；(2) 设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】(1) 设等比数列