高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时作业55 最值、范围、证明问题（含解析）文.doc

课时作业55最值、范围、证明问题1已知点f为抛物线e：y22px(p0)的焦点，点a(2，m)在抛物线e上，且|af|3.(1)求抛物线e的方程；(2)已知点g(1,0)，延长af交抛物线e于点b，证明：以点f为圆心且与直线ga相切的圆，必与直线gb相切解：(1)由抛物线的定义得|af|2.因为|af|3，即23，解得p2，所以抛物线e的方程为y24x.(2)证明：因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设a(2,2)由a(2,2)，f(1,0)可得直线af的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而b.又g(1,0)，所以kga，kgb，所以kgakgb0，从而agfbgf，这表明点f到直线ga，gb的距离相等，故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切2(2017湖北黄冈一模)如图，已知点f1，f2是椭圆c1：y21的两个焦点，椭圆c2：y2经过点f1，f2，点p是椭圆c2上异于f1，f2的任意一点，直线pf1和pf2与椭圆c1的交点分别是a，b和c，d.设ab，cd的斜率分别为k，k.(1)求证：kk为定值；(2)求|ab|cd|的最大值解：(1)证明：因为点f1，f2是椭圆c1的两个焦点，故f1，f2的坐标是f1(1,0)，f2(1,0)而点f1，f2是椭圆c2上的点，将f1，f2的坐标代入c2的方程得，.设点p的坐标是(x0，y0)，直线pf1和pf2的斜率分别是k，k(k0，k0)，kk又点p是椭圆c2上的点，故y，联立两式可得kk，即kk为定值(2)直线pf1的方程可表示为yk(x1)(k0)，与椭圆c1的方程联立，得到方程组由方程组得(12k2)x24k2x2k220.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|ab|x1x2|.同理可求得|cd|，则|ab|cd|4，当且仅当k时等号成立故|ab|cd|的最大值等于.3已知以a为圆心的圆(x2)2y264上有一个动点m，b(2,0)，线段bm的垂直平分线交am于点p，点p的轨迹为e.(1)求轨迹e的方程；(2)过a点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线e于d，e，f，g四个点，求|de|fg|的取值范围解：(1)连接pb，依题意得|pb|pm|，所以|pb|pa|am|8，所以点p的轨迹e是以a，b为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a4，c2，则b2.所以轨迹e的方程是1.(2)当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|de|fg|6814；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为yk(x2)，d(x1，y1)，e(x2，y2)，联立整理得(34k2)x216k2x16k2480，x1x2，x1x2，|de|，同理可得|fg|，|de|fg|，设tk21，则t1，所以|de|fg|，当t1时，易证y在(1,2)上递增，在(2，)上递减，所以0b0)与抛物线c2：x22py(p0)有一个公共焦点，抛物线c2的准线l与椭圆c1有一坐标是(，2)的交点(1)求椭圆c1与抛物线c2的方程；(2)若点p是直线l上的动点，过点p作抛物线的两条切线，切点分别为a，b，直线ab与椭圆c1分别交于点e，f，求的取值范围解：(1)抛物线c2的准线方程是y2，所以2，p4，所以抛物线c2的方程是x28y.由题意知椭圆c1：1(ab0)的焦点是(0，2)，(0,2)，所以c2,2a4，所以a2，所以b2，所以椭圆c1的方程是1.(2)设点p(t，2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，e(x3，y3)，f(x4，y4)，抛物线方程可以化为yx2，得yx，所以直线ap的方程为yy1x1(xx1)，所以2y1x1t2y1，即y1tx12，同理，直线bp的方程为y2tx22，所以直线ab的方程为ytx2，将直线ab的方程代入椭圆c1的方程得，(t232)x216tx640，则256t2256(t232)0，且x3x4，x3x4，所以x3x4y3y4x3x4(x3x4)48.因为0b0)的长轴长为4，焦距为2.()求椭圆c的方程；()过动点m(0，m)(m0)的直线交x轴于点n，交c于点a，p(p在第一象限)，且m是线段pn的中点过点p作x轴的垂线交c于另一点q，延长qm交c于点b.()设直线pm，qm的斜率分别为k，k，证明为定值；()求直线ab的斜率的最小值解：()设椭圆的半焦距为c，由题意知2a4,2c2，所以a2，b.所以椭圆c的方程为1.()()设p(x0，y0)(x00，y00)由m(0，m)，可得p(x0,2m)，q(x0，2m)，所以直线pm的斜率k.直线qm的斜率k.此时3.所以为定值3.()设a(x1，y1)，b(x2，y2)直线pa的方程为ykxm，直线qb的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240.由x