高考数学二轮复习 寒假作业（十四）空间角与距离（注意命题点的区分度）理.doc

寒假作业(十四)空间角与距离(注意命题点的区分度)一、选择题1在空间直角坐标系中，点p(m,0,0)到点p1(4,1,2)的距离为，则m的值为()a9或1b9或1c5或5 d2或3解析：选b由题意pp1，即，(m4)225，解得m9或m1.2.如图所示，点p在正方形abcd所在的平面外，pa平面abcd，paab，则pb与ac所成的角是()a90 b60c45 d30解析：选b将其放入正方体abcdpqrs中，连接sc，as，则pbsc，acs(或其补角)是pb与ac所成的角acs为等边三角形，acs60，pb与ac所成的角是60，故选b.3.如图所示，将等腰直角abc沿斜边bc上的高ad折成一个二面角，此时bac60，则这个二面角的大小是()a90 b60c45 d30解析：选a如图，连接bc，则abc为等边三角形，设ada，则bddca，bcaca，所以bdc90，故选a.4正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角的大小为()a75 b60c45 d30解析：选c如图，在四棱锥pabcd中，过p作po平面abcd于点o，连接ao，则ao是ap在底面abcd上的射影，pao即为所求线面角ao，pa1，cospao.pao45，即所求线面角为45.故选c.5已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长为4，底面边长为2.若点m是线段a1c的中点，则直线bm与底面abc所成角的正切值为()a. b.c. d.解析：选c如图，过点m作mnac于点n，连接bn，则mbn为直线bm与底面abc所成角，由题意可知mn2，bn3，所以tanmbn.6在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab4，则点a1到平面ab1d1的距离是()a1 bc. d2解析：选b设点a1到平面ab1d1的距离为h，因为va1ab1d1vaa1b1d1，所以sab1d1hsa1b1d1aa1，所以h.7(2018届高三湖北六校联考)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则直线pa与平面abc所成角的大小为()a. b.c. d.解析：选b如图，取p1为底面abc的中心，连接pp1，ap1，由底面是边长为的正三角形，知底面三角形的高为，面积为，又三棱柱的体积为，则三棱柱的高pp1，ap11，pap1为所求角，因为tanpap1，所以pap1.8.如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pd平面abcd，且pdad1，ab2，点e是ab上一点，当二面角pecd为时，ae()a1 bc2 d2解析：选d如图，过点d作dfce于f，连接pf，因为pd平面abcd，所以pdce，又pddfd，所以ce平面pdf，所以pfce，可得pfd为二面角pecd的平面角，即pfd，故在rtpdf中，pddf1，因为在矩形abcd中，ebccfd，所以，得ec2，在rtbce中，根据勾股定理，得be，所以aeabbe2，故选d.9已知斜四棱柱abcda1b1c1d1的各棱长均为2，a1ad60，bad90，平面a1add1平面abcd，则直线bd1与平面abcd所成的角的正切值为()a. b.c. d.解析：选c取ad的中点o，连接oa1，易证a1o平面abcd，且a1o.建立如图所示的空间直角坐标系，得b(2，1,0)，d1(0,2，)，(2,3，)，平面abcd的一个法向量为n(0,0,1)，设bd1与平面abcd所成的角为，sin ，tan .10.如图，在棱长均为2的正四棱锥pabcd中，点e为pc的中点，则下列命题正确的是()abe平面pad，且be到平面pad的距离为bbe平面pad，且be到平面pad的距离为cbe与平面pad不平行，且be与平面pad所成的角大于30dbe与平面pad不平行，且be与平面pad所成的角小于30解析：选d如图，连接ac，bd，交点为o，连接op，则po平面abcd，所以poac，pobd.又acbd，故以o为坐标原点，oc，od，op所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由正四棱锥pabcd的棱长均为2，点e为pc的中点，知a(，0,0)，b(0，0)，c(，0,0)，d(0，0)，p(0,0，)，e，则，(，0，)，(0，)，设m(x，y，z)是平面pad的法向量，则即令x1，则z1，y1，即m(1，1，1)是平面pad的一个法向量，设be与平面pad所成的角为，则sin |cosm，|，故be与平面pad不平行，且be与平面pad所成的角小于30，故选d.11长方体abcda1b1c1d1中，ab1，bc2，aa13，点m是bc的中点，点pac1，qmd，则pq长度的最小值为()a1 b.c. d2解析：选c根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，设p(x0，2x0,33x0)，q(x1,2x1,3)，x0，x10,1，所以pq ，当且仅当x0，x1时，pq取得最小值，即pqmin.12(2017合肥二模)如图，正四面体abcd的顶点c在平面内，且直线bc与平面所成的角为45，顶点b在平面内的射影为点o，当顶点a与点o的距离最大时，直线cd与平面所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：选a四边形obac中，顶点a与点o的距离最大，o，b，a，c四点共面，设此平面为，bo，bo，如图，过点d作dh平面abc，垂足为h，连接hc，设正四面体abcd的棱长为1，则在rthcd中，chbc.bo，直线bc与平面所成的角为45，bco45，结合hcb30得hco75，因此h到平面的距离dchsin 75sin(4530)，过点d作de于e，连接ce，则dce就是直线cd与平面所成的角，dh，且dh，dh，由此可得点d到平面的距离等于点h到平面的距离，即de，在rtcde中，sindce，即直线cd与平面所成角的正弦值为.故选a.二、填空题13.如图，四面体abcd中，cd4，ab2，e，f分别是ac，bd的中点，若efab，则ef与cd所成的角的大小为_解析：如图，取ad的中点m，连接me，mf，则mecd，mfab，因为efab，所以efmf，则mef为ef与cd所成的角，又me2，mf1，故mef30.答案：3014已知在正方体abcda1b1c1d1中，点e是棱a1b1的中点，则直线ae与平面bdd1b1所成角的正弦值为_解析：以a1为坐标原点，a1b1，a1d1，a1a所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则a(0,0,2)，c(2,2,2)，e(1,0,0)，(2,2,0)，(1,0，2)acbd，acbb1，bdbb1b，ac平面bdd1b1，则(2,2,0)是平面bdd1b1的一个法向量设直线ae与平面bdd1b1所成的角为，则sin |cos，|.答案：15已知正四面体abcd的棱长为9，点p是abc内(含边界)的一个动点，满足p到平面dab、平面dbc、平面dca的距离成等差数列，则点p到平面dca的距离的最大值为_解析：设动点p到平面dab、平面dbc、平面dca的距离分别为h1，h2，h3，正四面体abcd的棱长为9，每个面面积为s99sin 60，如图，取bc中点e，连接ae.过d作do平面abc，垂足为o.则aoae 3，高hdo3.正四面体abcd的体积vshs(h1h2h3)h1h2h33.满足p到平面dab、平面dbc、平面dca的距离成等差数列，h1h2h33h23，h1h32，点p到平面dca的距离最大值为2.答案：216如图，在矩形abcd中，ab2，ad3，点e为ad的中点，现分别沿be，ce将abe，dce翻折，使得点a，d重合于f，此时二面角ebcf的余弦值为_解析：如图所示，取bc的中点p，连接ep，fp，由题意得bfcf2，pfbc，又ebec，epbc，epf为二面角ebcf的平面角，而fp ，在epf中，cosepf.答案：三、解答题17.(2017全国卷)如图，在四棱锥pabcd中，abcd，且bapcdp90.(1)证明：平面pab平面pad；(2)若papdabdc，apd90，求二面角apbc的余弦值解：(1)证明：由已知bapcdp90，得abap，cdpd.因为abcd，所以abpd.又appdp，所以ab平面pad.又ab平面pab，所以平面pab平面pad.(2)在平面pad内作pfad，垂足为f.由(1)可知，ab平面pad，故abpf，可得pf平面abcd.以f为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系fxyz.由(1)及已知可得a，p，b，c.所以，(，0,0)，(0,1,0)设n(x1，y1，z1)是平面pcb的法向量，则即所以可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面pab的法向量，则即所以可取m(1,0,1)则cosn，m.由图知二面角apbc为钝角，所以二面角apbc的余弦值为.18(2017洛阳统考)如图，四边形abef和四边形abcd均是直角梯形，fabdab90，二面角fabd是直二面角，beaf，bcad，afabbc2，ad1.(1)证明：在平面bce上，一定存在过点c的直线l与直线df平行；(2)求二面角fcda的余弦值解：(1)证明：由已知得，beaf，af平面afd，be平面afd，be平面afd.同理可得，bc平面afd.又bebcb，平面bce平面afd.设平面dfc平面bcel，则l过点c.平面bce平面afd，平面dfc平面bcel，平面dfc平面afddf，dfl，即在平面bce上一定存在过点c的直线l，使得dfl.(2)平面abef平面abcd，fa平面abef，平面abcd平面abefab，又fab90，afab，af平面abcd，ad平面abcd，afad.dab90，adab.以a为坐标原点，ad，ab，af所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图由已知得，d(1,0,0)，c(2,2,0)，f(0,0,2)，(1,0,2)，(1,2,0)设平面dfc的法向量为n(x，y，z)，则不妨取z1，则n(2，1,1)，不妨取平面acd的一个法向量为m(0,0,1)，cosm，n，由于二面角fcda为锐角，因此二面角fcda的余弦值为.19(2017天津高考)如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90.点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，paac4，ab2.(1)求证：mn平面bde；(2)求二面角cemn的正弦值；(3)已知点h在棱pa上，且直线nh与直线be所成角的余弦值为，求线段ah的长解：由题意知，ab，ac，ap两两垂直，故以a为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得a(0，0,0)，b(2，0,0)，c(0,4,0)，p(0,0,4)，d(0,0,2)，e(0,2,2)，m(0,0,1)，n(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面bde的法向量，则即不妨取z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为mn平面bde，所以mn平面bde.(2)易知n1(1,0,0)为平面cem的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面emn的法向量，又(0，2，1)，(1,2，1)，则即不妨取y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角cemn的正弦值为.(3)依题意，设ahh(0h4)，则h(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段ah的长为或.20在平面四边形acbd(图)中，abc与abd均为直角三角形且有公共斜边ab，设ab2，bad30，bac45，将abc沿ab折起，构成如图所示的三棱锥cabd，且使cd.(1)求证：平面cab平面dab；(2)求二面角acdb的余弦值解：(1)证明：取ab的中点o，连接co，do，在rtacb，rtadb中，ab2，则codo1，cd，co2do2cd2，即cood，又c