高考数学 黄金考点精析精训 考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件 文.doc

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件【考点剖析】1.最新考试说明：（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.命题方向预测：（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点.(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识.3.课本结论总结：（1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2）四种命题及其关系四种命题及其关系四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.(3)充分条件与必要条件若，则是充分条件，是的必要条件.若，且，则是充要条件4.名师二级结论：(1) 常见结论的否定形式结论是都是大于小于至少一个至多一个至少个至多有个对所有，成立或且对任何，不成立否定不是不都是不大于不小于一个也没有至少两个至多有（）个至少有（）个存在某，不成立且或存在某，成立(2)充要条件判定方法 定义法：若，则是充分条件；若，则是必要条件；若，且，则是充要条件.集合法：若满足条件的集合为a，满足条件的集合为b，若ab，则是的充分不必要条件；若ba，则是必要不充分条件；若a=b则，是 充要条件。对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若则”，则有如下结论：（1）若原命题为真逆命题为假，则是的充分不必要条件；（2）若原命题为假逆命题为真，则是的必要不充分条件；（3）若原命题与逆命题都为真，则是的充要条件；（4）若原命题与逆命题都为假，则是的既不充分也不必要条件5.课本经典习题：(1)新课标a版第8 页习题1.1a组，第2题【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考点.(2)新课标a版第12页习题1.2a组第3题【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性.6.考点交汇展示：(1)与集合交汇例1设，是两个集合，则“”是“”的（ ）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】c.【解析】由题意得，反之，故为充要条件，选c.(2)与不等式交汇例2【2017天津，文2】设，则“”是“”的（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件（c）充要条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】（3）与函数交汇例3【2017天津，理4】设，则“”是“”的（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件【答案】 【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选a.（4）与平面向量结合 例4设平面向量，均为非零向量，则“”是“”的（ ）（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】b【解析】由得，得；反之不成立，故是的必要而不充分条件（5）与复数交汇例5已知是虚数单位，则“”是“”的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】a.【解析】(a+bi)2a2b22abi2i，于是a2b20，2ab2解得ab1或ab1 ,故选a.（6）与立体几何交汇例6【2016高考山东卷】已知直线a，b分别在两个不同的平面，内.则“直线a和直线b相交”是 “平面和平面相交”的（ ）（a）充分不必要条件 （b）必要不充分条件 （c）充要条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】a (7)与数列交汇例7 【2016高考天津卷】设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的（ ）（a）充要条件 （b）充分而不必要条件（c）必要而不充分条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】c【解析】由题意得，故是必要不充分条件，故选c.(8)与平面解析几何交汇例8【浙江省温州市2017届高三8月模拟】直线：与直线：，则“”是“”的（）a充分不必要条件 b充要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件【答案】a.【解析】或，故是充分不必要条件，故选a.【考点分类】热点一 命题及其关系1.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（a）真，假，真 （b）假，假，真 （c）真，真，假 （d）假，假，假【答案】【解析】设复数，则，所以，故原命题为真；逆命题：若，则互为共轭复数；如，且，但此时不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若不互为共轭复数，则；如，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选.2.【2017北京卷】能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若p，则q”的形式，然后严格按定义书写，注意正确应用常见词语的否定.4.在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假【解题技巧】1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换2.在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假3.在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面.【易错点睛】1.区分否命题与命题：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法2.特别要注意含有逻辑连结词的否定形式.例 写出命题“若，则，全为0”的否命题.【错解】若，则，全不为0.【错因分析】将命题否定与否命题混淆；命题结论否定错误, “，全为0”的否定应为“，不全为0”，而不是“，全为0”.【预防措施】要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只否定结论，得到的命题是命题的否定；对条件和结论的否定要正确，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对立面，抓住这一点就可以避免类似的错误.【正解】若，则，不全为0.热点二 充分条件与必要条件1.“”是“”的（ ）a、充要条件 b、充分不必要条件c、必要不充分条件 d、既不充分也不必要条件【答案】b【解析】，因此选b.2直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分又不必要条件【答案】a【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选a.3.【2016高考天津文数】设，则“”是“”的（ ）（a）充要条件 （b）充分而不必要条件（c）必要而不充分条件（d）既不充分也不必要条件【答案】c【解析】,所以充分性不成立；，必要性成立，故选c4.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）充分且不必要条件 必要且不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件【答案】d.【解析】当a11时，数列an递减；当a10，数列an递增时，0q1.故选d.【方法规律】1.在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，再从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p，结合定义即可做出判断.2.充分条件、必要条件的三种判断方法，要注意灵活应用.利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而命题易于求解对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断【解题技巧】1.在进行充要条件判断时，在明确条件、结论的基础上，将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系是解决问题的关键2.在利用集合法进行充要条件判断时，常借助数轴直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解.3.在利用命题法判定充要条件时，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题【易错点睛】在判断充要条件时，因条件与结论分不清或因考虑不全面导致致错误.例 已知：“向量与向量的夹角为钝角”是：“0”的 条件.【错解】若向量与向量的夹角为钝角，则0，即0，故是的充要条件.【错因分析】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断，而上面之判定了一个方向就下结论，忽视了对“0”成立时能否导出“向量与向量的夹角为钝角”的判断.【防范措施】判断充要条件时要注意两点：首项要分清哪个是条件，哪个是条件；其次要从两个方向进行判断，即条件能否导出结论与结论能否导出条件.【正解】若向量与向量的夹角为钝角，则0，即0，即；当0，即0，因为，所以，故向量与向量的夹角为钝角或平角，即，故是的充分不必要条件.【热点预测】1.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】a2.【2018届浙江省温州市9月】已知，则“”是“”的（ ）a. 充要条件 b. 充分不必要条件 c. 必要不充分条件 d. 既不充分也不必要条件【答案】d【解析】因为当时，不成立；当时，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选d.3.【2017四川成都】已知数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）a充分不必要条件 b充分必要条件 c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件【答案】c【解析】若是递增数列一定有，成立，当时，满足，而不是递增数列，所以“”是“数列为递增数列”必要不充分条件，故选c.4.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初】若，使成立的一个充分不必要条件是（ ）a. b. c. 且 d. 【答案】d【解析】a中，不满足 ；c中，不满足 ；b中，不满足 ；d中由可得，但由得不到，如选d. 5.以下四个命题中，真命题的个数为 ( )集合的真子集的个数为；平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；设，若，则且； 设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列(a)0 (b)1 (c)2 (d)3【答案】b【解析】对于，集合的真子集的个数为24-1=15，对；对于，平面内两条直线的夹角不大于直角，而方向向量的夹角可以为钝角，故错； 对于，12+i2=0但1与i都不为0，故错；对于，若是等差数列，可设sn=s1+(n-1)d，a1=s1，当n2时，an=sn-sn-1= d，当且仅当s1=d时是常数列，故错.6.“”是“”的（ ）a. 充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件 c. 充分必要条件 d. 既不充分也不必要条件 【答案】b【解析】因为，所以，即，因而“”是“”的必要而不充分条件 7.原命题 ：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（）个a0 b1 c2 d4【答案】c8.“”是“直线与直线平行”的（ ）a.充要条件 b.充分不必要条件c.必要不充分条件 d.既不充分也不必要条件【答案】c【解析】当时，直线与直线可能平行或重合；若直线与直线平行，则故选9.已知，如果是的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由得，即，解得或，由是的充分不必要条件知，故选b.10.“实数”是“复数（为虚数单位）的模为”的（ ）a充分非必要条件 b必要非充分条件c充要条件 d既非充分条件又不必要条件【答案】11.中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【答案】a【解析】当时，由余弦定理得，故，即，所以是等腰三角形，反之，当是等腰三角形时，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件12.若且，则“”是“”的（ ）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】a【解析】由知，所以当时，所以“”是“”的充分不必要条件.故选13.“”是“直线和直