高考数学二轮复习 第三部分 讲重点 解答题专练作业2324 解析几何 理.doc

解析几何专练1(2017成都诊断二)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆e：1(ab0)，圆o：x2y2r2(0r0，x1x2，x1x2，代入(*)式，得0，即m2(a2b2)a2b2a2b2k20.又由(1)，知m2(1k2)r2，(1k2)(a2b2)r2a2b2(1k2)，.故a，b，r满足.2(2017福建质检)已知曲线c上的点到点f(0，1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线c的方程；(2)过点f且斜率为k的直线l交曲线c于a，b两点，交圆f：x2(y1)21于m，n两点(a，m两点相邻)若，当，时，求k的取值范围；过a，b两点分别作曲线c的切线l1，l2，两切线交于点p，求amp与bnp面积之积的最小值解析(1)设q(x，y)为曲线c上任意一点，因为曲线c上的点q(x，y)到点f(0，1)的距离比它到直线y3的距离小2，所以点q到点f的距离等于它到直线y1的距离，所以曲线c是以f为焦点，直线y1为准线的抛物线，其方程为x24y.(2)依题意，知直线l的方程为ykx1，代入x24y，得x24kx40，(4k)2160.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.因为，所以(x2，1y2)(x1x2，y1y2)，所以1.212，即4k221，因为，所以1，1，又函数f(x)x在，1上单调递减，所以4k222，即k，所以k的取值范围是，设p(x，y)，因为x24y，所以y，y.所以切线pa的方程为y(xx1)，切线pb的方程为y(xx2)，由，得x(x1x2)2k，y1，所以p(2k，1)因为点p到直线ab的距离d2，samp|am|d，sbnp|bn|d，所以sampsbnp|am|bn|d2.因为|am|af|1y1，|bn|bf|1y2，所以|am|bn|y1y21，所以sampsbnp1k2，即当且仅当k0时，sampsbnp取得最小值1.3(2017太原一模)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点d(1，)在椭圆c上，直线l：ykxm与椭圆c相交于a，p两点，与x轴，y轴分别相交于点n和m，且|pm|mn|，点q是点p关于x轴的对称点，qm的延长线交椭圆c于点b，过点a，b分别作x轴的垂线，垂足分别为a1，b1.(1)求椭圆c的方程；(2)是否存在直线l，使得点n平分线段a1b1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得解得椭圆c的方程为1.(2)存在这样的直线l.ykxm，m(0，m)，n(，0)，|pm|mn|，p(，2m)，则q(，2m)，直线qm的方程为y3kxm.设a(x1，y1)，由得(34k2)x28kmx4(m23)0，x1，x1，设b(x2，y2)，由得(336k2)x224kmx4(m23)0.x2，x2，点n平分线段a1b1，x1x2，k，p(2m，2m)，1，解得m，|m|0)，过点f的直线l与抛物线c交于a，b两点，oab面积的最小值为8.(1)求抛物线c的标准方程；(2)过焦点f作垂直于直线l的直线交抛物线c于点d，e，记ab，de的中点分别为m，n.()证明：直线mn过定点；()求以ab，de为直径的两圆公共弦的中点的轨迹方程解析(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，抛物线c：y22px，直线l的方程为xmy.由得y22pmyp20.所以y1y22pm，y1y2p2.|ab|2p(m21)因为点o到直线l的距离d，所以oab的面积s|ab|dp2，当m0时，sminp28，所以p4.所以抛物线c的标准方程为y28x.(2)()由y1y28m，得x1x2m(y1y2)48m24，所以m(4m22，4m)易知m0，把m换成，得n(2，)当直线mn的斜率不存在时，4m222，得m1，此时直线mn：x6；当直线mn的斜率存在时，得直线mn：mx(m21)y6m0，过定点(6，0)()由()得以ab为直径的圆m的方程为(x4m22)2(y4m)216(m21)2易得m0，把m换成得以de为直径的圆n的方程为(x2)2(y)216(1)2得两圆的公共弦所在直线的方程为(m21)xmy0，当直线mn的斜率存在时，将直线mn的方程mx(m21)y6m0与公共弦所在直线方程联立，消去m，得两圆公共弦中点的轨迹方程为x2y26x0(x0)当直线mn的斜率不存在时，直线mn与公共弦的交点为(6，0)，满足方程x2y26x0，故所求公共弦中点的轨迹方程为x2y26x0(x0)2(2017青岛质检一)已知椭圆：y21(a1)的左焦点为f1，右顶点为a1，上顶点为b1，过f1，a1，b1三点的圆p的圆心坐标为(，)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：ykxm(k，m为常数，k0)与椭圆交于不同的两点m和n.()当直线l过e(1，0)，且20时，求直线l的方程；()当坐标原点o到直线l的距离为时，求mon面积的最大值解析(1)a1(a，0)，b1(0，1)，a1b1的中点为(，)，a1b1的斜率为.a1b1的垂直平分线方程为ya(x)圆p过点f1，a1，b1三点，圆心p在a1b1的垂直平分线上，a()，解得a或a(舍去)，椭圆的方程为y21.(2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，由可得(3k21)y22mym23k20，y1y2，y1y2.()由题可知直线l的斜率存在直线l过点e(1，0)，km0.20，(x11，y1)2(x21，y2)(0，0)，从而y12y20.由可得k1，m1或k1，m1.直线l的方程为yx1或yx1.()坐标原点o到直线l的距离为，m2(k21)，结合式|mn|y2y1|，由得|mn|，smon|mn|.令3k21t(1，)，则smon，当，即3k212，k时，mon面积的最大值为.3(2017东北四市二模)已知f1，f2分别是长轴长为2的椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，a1，a2是椭圆c的左、右顶点，p为椭圆上异于a1，a2的一个动点，o为坐标原点，点m为线段pa2的中点，且直线pa2与om的斜率之积恒为.(1)求椭圆c的方程；(2)设过点f1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于a，b两点，线段ab的垂直平分线与x轴交于点n，点n横坐标的取值范围是(，0)，求线段ab长的取值范围解析(1)由已知2a2，a，设点p(x0，y0)，在pa1a2中，o，m分别为a1a2，pa2的中点，ompa1，komkpa1，kpa2komkpa2kpa1.又p(x0，y0)在椭圆上，1.kpa2kom，b21，椭圆的方程为y21.(2)设直线l：yk(x1)，k0，联立消去y得(2k21)x24k2x2k220，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由韦达定理可得可得y1y2k(x1x22)，故ab中点q(，)，直线qn的方程为y(x)，即yx，n(，0)，由题知0，02k21，|ab|(1)，b0)的离心率为，点p(1，)在椭圆e上，直线l过椭圆的右焦点f且与椭圆相交于a，b两点(1)求e的方程；(2)在x轴上是否存在定点m，使得为定值？若存在，求出定点m的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得，1，又a2b2c2，解得a，b1，故椭圆e的方程为y21.(2)假设存在符合题意的定点m，由直线ab过椭圆右焦点f(1，0)，当直线ab不与x轴重合时，可设直线ab的方程为xmy1，代入椭圆方程，并整理得(2m2)y22my10.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，y1y2，设m(a，0)，则(x1a)(x2a)y1y2(my11a)(my21a)y1y2(1m2)y1y2m(1a)(y1y2)(1a)2(1a)2为定值，则2a24a12(a22)，解得a.故存在定点m(，0)，使得为定值，经检验，当直线ab与x轴重合时也成立，在x轴上存在一个定点m(，0)，使得为定值.5(2017石家庄一模)如图，已知椭圆c：y21的左顶点为a，右焦点为f，o为坐标原点，m，n是y轴上的两个动点，且mfnf，直线am和an分别与椭圆c交于e，d两点(1)求mfn的面积的最小值；(2)证明：e，o，d三点共线解析(1)方法1：设m(0，m)，n(0，n)，mfnf，mn1.smfn|mf|fn|.1.当且仅当|m|1，|n|1且mn1时等号成立mfn的面积的最小值为1.方法2：设m(0，m)，n(0，n)，mfnf，mn1，smfn|mn|of|mn|，且|mn|2|mn|2m2n22mnm2n222|mn|24，当且仅当|m|1，|n|1且mn1时等号成立，|mn|min2，(smfn)min|mn|1.故mfn的面积的最小值为1，(2)a(，0)，m(0，m)，直线am的方程为yxm，由得(1m2)x22m2x2(m21)0，设e(xe，ye)，d(xd，yd)，由xe，得xe，同理可得xd，mn1，xd.由可知xexd，代入椭圆方程可得ye2yd2.mffn，n，m分别在x轴两侧，yeyd，故e，o，d三点共线1(2017长沙二模)已知椭圆c：1(ab0)的离心率e，抛物线e：y24x的焦点恰好是椭圆c的右焦点f.(1)求椭圆c的标准方程；(2)过点f作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆c于点a，b，l2交椭圆c于点g，h，若|af|是|ah|fh|与|ah|fh|的等比中项，求|af|fb|gf|fh|的最小值解析(1)依题意得椭圆c的右焦点f的坐标为(1，0)，即c1，又e，a2，b23，故椭圆c的标准方程为1.(2)|af|是|ah|fh|与|ah|fh|的等比中项，|af|2|ah|2|fh|2，即|af|2|fh|2|ah|2，直线l1l2.又直线l1，l2的斜率均存在，两直线的斜率都不为零，故可设直线l1：xky1(k0)，直线l2：xy1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，g(x3，y3)，h(x4，y4)，由消去x，得(3k24)y26ky90，同理得|af|fb|(1k2)|y1y2|，|gf|fh|(1)|y3y4|，|af|fb|gf|fh|(1k2)|y1y2|(1)|y3y4|(1k2)(1)9(1k2)()，又k20，k22，当且仅当k21时取等号，故|af|fb|gf|fh|的最小值为.2(2017云南统一检测二)已知抛物线e的顶点为原点o，焦点为圆f：x2y24x30的圆心f.经过点f的直线l交抛物线e于a，d两点，交圆f于b，c两点a，b在第一象限，c，d第四象限(1)求抛物线e的方程；(2)是否存在直线l，使2|bc|是|ab|与|cd|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)根据已知设抛物线e的方程为y22px(p0)圆f的方程为(x2)2y21，圆心f的坐标为(2，0)，半径r1.2，解得p4.抛物线e的方程为y28x.(2)假设存在符合题意的直线l，2|bc|是|ab|与|cd|的等差中项，|ab|cd|4|bc|42r8.|ad|ab|bc|cd|10.若l垂直于x轴，则l的方程为x2，代入y28x，得y4.此时|ad|y1y2|810，即直线x2不满足题意则l不垂直于x轴，设l的斜率为k，由已知得k0，l的方程为yk(x2)设a(x1，y1)，d(x2，y2)，由得k2x2(4k28)x4k20.x1x2.抛物线e的准线为x2，|ad|af|df|(x12)(x22)x1x24.410，解得k2.当k2时，k2x2(4k28)x4k20，化为x26x40.(6)24140，x26x40有两个不相等实数根k2满足题意，即直线y2(x2)满足题意存在满足要求的直线l，它的方程为2xy40或2xy40.3(2017郑州预测二)已知椭圆x22y2m(m0)，以椭圆内一点m(2，1)为中点作弦ab，设线段ab的中垂线与椭圆相交于c，d两点(1)求椭圆的率心率；(2)试判断是否存在这样的m，使得a，b，c，d在同一个圆上，并说明理由解析(1)将方程化成椭圆的标准方程1(m0)，易得e.(2)由题意，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)，直线ab的斜率存在，设为k，则直线ab的方程为yk(x2)1，代入x22y2m(m0)，消去y，得(12k2)x24k(12k)x2(2k1)2m0(m0)所以x1x24，k1，此时，由0，得m6.则直线ab的方程为xy30，直线cd的方程为xy10.由得3y22y1m0，y3y4，故cd的中点n为(，)由弦长公式，可得|ab|x1x2|.|cd|y3y4|ab|，若存在圆，则圆心在cd上，因为cd的中点n到直线ab的距离为.|na|2|nb|2()2()2，又()2()2，故存在这样的m(m6)，使得a，b，c，d在同一个圆上4(2017石家庄质检二)设m，n，t是椭圆1上三个点，m，n在直线x8上的射影分别为m1，n1.(1)若直线mn过原点o，直线mt，nt的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)若m，n不是椭圆长轴的端点，点l的坐标为(3，0)，m1n1l与mnl的面积之比为51，求mn中点k的轨迹方程解析(1)设m(p，q)，n(p，q)，t(x0，y0)，则k1k2，又故0，即，所以k1k2，为定值(2)设直线mn与x轴相交于点r(r，0)，smnl|r3|ymyn|，sm1n1l5|ym1yn1|.因为sm1n1l5smnl且|ym1yn1|ymyn|，所以5|ym1yn1|5|r3|ymyn|，解得r4(舍去)，或r2，即直线mn经过点f(2，0)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，k(x0，y0)，当mn垂直于x轴时，mn的中点为f(2，0)；当mn与x轴不垂直时，设mn的方程为yk(x2)，则(34k2)x216k2x16k2480.x1x2，x1x2.x0，y0.消去k，整理得(x01)21(y00)综上所述，点k的轨迹方程为(x1)21(x0)5(2017合肥质检二)如图，抛物线e：y22px(p0)与圆o：x2y28相交于a，b两点，且点a的横坐标为2.过劣弧ab上动点p(x0，y0)作圆o的切线交抛物线e于c，d两点，分别以c，d为切点作抛物线e的切线l1，l2，l1与l2相交于点m.(1)求p的值；(2)求动点m的轨迹方程解析(1)由点a的横坐标为2，可得点a的坐标为(2，2)，代入y22px，解得p1.(2)设c(，y1)，d(，y2)，y10，y20，切线l1的斜率为k，则切线l1：yy1k(x)，代入y22x得ky22y2y1ky120，由0解得k，l1的方程为yx，同理l2的方程为yx.联立，得解得易知cd的方程为x0xy0y8，其中x0，y0满足x02y028，x02，2，联立，得即x0y22y0y160，则代入可得m(x，y)满足可得代入x02y028，并化简，得y21，考虑到x02，2，知x4，2，动点m的轨迹方程为y21，x4，26(2017福建八校联考)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，p在椭圆上(异于椭圆c的左、右顶点)，过右焦点f2作f1pf2的外角平分线l的垂线f2q，交l于点q，且|oq|2(o为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4.(1)求椭圆c的方程；(2)若直线l：xmy4(mr)与椭圆c交于a，b两点，点a关于x轴的对称点为a，直线ab交x轴于d，求当三角形adb的面积最大时，直线l的方程解析(1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4ab4，得ab2.延长f2q交直线f1p于点r，因为f2q为f1pf2的外角平分线的垂线，所以|pf2|pr|，q为f2r的中点，所以|oq|a，所以a2，b，所以椭圆c的方程为1.(2)将直线l和椭圆的方程联立得消去x，得(3m24)y224my360，所以(24m)2436(3m24)144(m24)0，即m24.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a(x1，y1)，由根与系数的关系，得直线ab的斜率k，所以直线ab的方程为yy1(xx1)，令y0得xd4，故xd1，所以点d到直线l的距离d，所以sadb|ab|d18.令t(t0)，则sadb18，当且仅当3t，即t2m24，即m24，m时，三角形adb的面积最大，所以直线l的方程为3x2y120或3x2y120.7(2017湖北4月联考)已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，且与直线yx2相切(1)求椭圆c的方程；(2)设点a(2，0)，动点b在y轴上，动点p在椭圆c上，且p在y轴的右侧，若|ba|bp|，求四边形opab(o为坐标原点)面积的最小值解析(1)由题意知，离心率e，所以ca，ba，所以x23y2a2，将yx2代入得4x212x12a20，由12244(12a2)0，得a，b1，所以椭圆c的方程为y21.(2)设线段ap的中点为d，因为|ba|bp|，所以bdap，由题意得直线bd的斜率存在且不为零，设p(x0，y0)(0x0b0，y0)和部分抛物线c2：yx21(y0)连接而成，c1与c2的公共点为a，b，其中c1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点b的直线l与c1，c2分别交于点p，q(均异于点a，b)，是否存在直线l，使得以pq为直径的圆恰好过点a，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解析(1)在c1，c2的方程中，令y0，可得b1，且a(1，0)，b(1，0)是上半椭圆c1的左、右顶点设c1的半焦距为c，由及a2c2b21可得a2，a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆c1的方程为x21(y0)由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)代入c1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点p的坐标为(xp，yp)，直线l过点b，x1是方程(*)的一个根由求根公式，得xp，从而yp，点p的坐标为(，)同理，由得点q的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)依题意可知apaq，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)11(2017浙江温州十校联合体期末)椭圆1(ab0)的离心率为，左焦点f到直线l：x9的距离为10，圆g：(x1)2y21.(1)求椭圆的方程；(2)若p是椭圆上任意一点，ef为圆g：(x1)2y21的任一直径，求的取值范围(3)是否存在以椭圆上点m为圆心的圆m，使得圆m上任意一点n作圆g的切线，切点为t，都满足？若存在，求出圆m的方程；若不存在，请说明理由解析(1)由题意得解得所以椭圆的方程为1.(2)设p(x，y)，21(x1)2y21(x1)2(8x2)1(x3)21.因为3x3，所以3，15，即的取值范围是3，15(3)设圆m：(xm)2(yn)2r2(r0)，其中1，则x2y22mx2nym2n2r2.由于，则(x1)2y22(x1)2y21，即x2y26x10，代入x2y22mx2nym2n2r2，得2(m3)x2nym2n2r210对圆m上任意点n恒成立只要满足即经检验满足1.故存在符合条件的圆m，它的方程是(x3)2y210.12(2017山西5月联考)已知椭圆1(ab0)经过点m(2，)，且其右焦点为f2(1，0)(1)求椭圆的方程；(2)若点p在圆x2y2b2上，且在第一象限，过p作圆x2y2b2的切线交椭圆于a，b两点，问：af2b的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由解析(1)方法1：由题意，得解得椭圆的方程为1.方法2：设椭圆的左焦点为f1，右焦点为f2(1，0)，c1，f1(1，0)，又点m(2，)在椭圆上，2a|mf1|mf2|6，a3，b2，椭圆的方程为1.(2)方法1：由题意，设ab的方程为ykxm(k0)，直线ab与圆x2y28相切，2，即m2，由得(89k2)x218kmx9m2720，设a(x1，y1)(0x13)，b(x2，y2)(0x23)，则x1x2，x1x2，|ab|x1x2|.又|af2|2(x11)2y12(x11)28(1)(x19)2，|af2|(9x1)3x1，同理|bf2|(9x2)3x2.|af2|bf2|6(x1x2)6，|af2|bf2|ab|66，即af2b的周长为定值6.方法2：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则1(0，且|x0|，x01，两边平方并化简整理得y024x0，即曲线t的轨迹方程为y24x.方法2：由方法1可知圆心c到点(1，0)的距离与圆心c到直线x1的距离相等，圆心c的轨迹为以点(1，0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，即1，p2，曲线t的轨迹方程为y24x.(2)假设在曲线t上存在点p满足题设条件，不妨设p(x