高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示学案 文.doc

1.了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件知识点一平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a_.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_2平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对_叫做向量a的坐标，记作a_，其中_叫做a在x轴上的坐标，_叫做a在y轴上的坐标(2)设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是_的坐标，即若(x，y)，则a点坐标为_，反之亦成立(o是坐标原点)答案1不共线有且只有1e12e2基底2(1)(x，y)(x，y)xy(2)a点(x，y)1平面内任何两个向量都可以做为一组基底吗？解：不能，共线的两个向量不可以2已知a，b，c为线段ab上距a较近的一个三等分点，d为线段cb上距c较近的一个三等分点，若用a，b表示，则_.解析：.ba，ba，则aab.答案：ab3设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：知识点二平面向量的坐标运算 1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_；2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则_；3若a(x，y)，则a_；4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.答案1(x1x2，y1y2)2.(x2x1，y2y1)3(x，y)4.x1y2x2y14已知点a(0,1)，b(3,2)，向量(4，3)，则向量()a(7，4) b(7,4)c(1,4) d(1,4)解析：根据题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选a.答案：a5(必修p108习题2.4a第7题改编)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则()a b.c2 d2解析：由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以.答案：a热点一平面向量基本定理的应用 【例1】如图，已知ocb中，a是cb的中点，d是将分成21的一个内分点，dc和oa交于点e，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值【解】(1)由题意知，a是bc的中点，且，由平行四边形法则，得2，所以22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，故设x.因为(2ab)a(2)ab，2ab.所以(2)abx.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故.【总结反思】应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等(3)强化共线向量定理的应用.(2017福州模拟)在abc中，点p是ab上一点，且，q是bc的中点，aq与cp的交点为m，又t，则实数t的值为_解析：因为，所以32，即22，所以2.即p为ab的一个三等分点(靠近a点)，又因为a，m，q三点共线，设.所以，又tt()tt.故解得故t的值是.答案：热点二 平面向量的坐标运算 【例2】(1)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nr)，则mn的值为_(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，r)，则_.【解析】(1)因为a(2,1)，b(1，2)，所以manbm(2,1)n(1，2)(2mn，m2n)，又因为manb(9，8)所以解得所以mn3.(2)以向量a，b的交点为原点，原点向右的方向为x轴正方向，正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系如图，则a(1，1)，b(6,2)，c(5，1)，所以a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据cab得(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，所以4.【答案】(1)3(2)4在本例题(2)中，试用a，c表示b.解：建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系，则a(1，1)，b(6,2)，c(1，3)，设bxayc，则(6,2)x(1，1)y(1，3)即解得故b4a2c.【总结反思】解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想.(1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab()a(2，1) b(2,1)c(1,0) d(1,2)(2)在平行四边形abcd中，ac为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()a(2，4) b(3，5)c(3,5) d(2,4)解析：(1)a，b，故ab(1,2)(2)由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案：(1)d(2)b热点三 平面向量共线的坐标表示 考向1利用向量共线求参数值【例3】(2016新课标全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.【解析】由题意得，2m120，所以m6.【答案】6考向2利用向量共线解决平面几何问题【例4】(2017浙江杭州五校联盟一诊)在矩形abcd中，ab，bc，p为矩形内一点，且ap，若(，r)，则的最大值为()a. b.c. d.【解析】如图，设p(x，y)，b(，0)，c(，)，d(0，)ap，x2y2.点p满足的约束条件为(，r)(x，y)(，0)(0，)xy.xy，当且仅当xy时取等号，xy的最大值为.【答案】b考向3利用向量共线解决三点共线问题【例5】(2017郑州模拟)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且a，b，c三点共线，则k的值是()a b.c. d.【解析】(4k，7)(2k，2)因为a，b，c三点共线，所以，共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.【答案】a【总结反思】(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(r)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)a、b、c三点共线与共线.(1)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三个顶点a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，则点d的坐标为_(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若a、b、c三点不能构成三角形，则k_.解析：(1)在梯形abcd中，dc2ab，abcd，2，设点d的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，(1，1)(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)解得故点d的坐标为(2,4)(2)若点a、b、c不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：(1)(2,4)(2)11平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷【例】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点c在以o为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yr，求xy的最大值【解】以o为坐标原点、所在的直线为x轴建立平