2017年高考数学考点解读+命题热点突破专题15直线与圆理.docx

专题15 直线与圆【考向解读】 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.【命题热点突破一】 直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.例1、【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.【答案】4 【变式探究】(1)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3B1或5C3或5D1或2(2)已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A0或B.或6C或D0或答案(1)C(2)B解析(1)当k4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，则两直线不平行；当k4时，两直线平行的一个必要条件是k3，解得k3或k5.但必须满足(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件(2)依题意，得.所以|3m5|m7|.所以(3m5)2(m7)2，所以8m244m240.所以2m211m60.所以m或m6.【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究【变式探究】 已知A(3,1)，B(1,2)两点，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在的直线方程为()Ay2x4Byx3Cx2y10D3xy10答案 C解析 由题意可知，直线AC和直线BC关于直线yx1对称设点B(1,2)关于直线yx1的对称点为B(x0，y0)，则有即B(1,0)因为B(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k，所以直线AC的方程为y1(x3)，即x2y10.故C正确 【命题热点突破二】 圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以(，)为圆心，为半径的圆例2、【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A 【变式探究】(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24答案(1)D(2)B解析(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b，所以选D.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.故选B.【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数【变式探究】(1)经过点A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程为_(2)已知直线l的方程是xy60，A，B是直线l上的两点，且OAB是正三角形(O为坐标原点)，则OAB外接圆的方程是_答案 (1)(x2)2(y1)210(2)(x2)2(y2)28 (2)设OAB的外心为C，连接OC，则易知OCAB，延长OC交AB于点D，则|OD|3，且AOB外接圆的半径R|OC|OD|2.又直线OC的方程是yx，容易求得圆心C的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x2)2(y2)28.【命题热点突破三】 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r，圆C2：(xa2)2(yb2)2r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1r2两圆外离；(2)dr1r2两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切；(5)0d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3B.C2D2答案(1)A(2)D (2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2(y1)21，所以圆心为(0,1)，半径为r1，四边形PACB的面积S2SPBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kxy40的距离d，此时d，即k24，因为k0，所以k2.【特别提醒】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题【变式探究】(1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y22y3，直线l过点(1,0)且与直线xy10垂直若直线l与圆C交于A、B两点，则OAB的面积为()A1B.C2D2(2)两个圆C1：x2y22axa240(aR)与C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则ab的最小值为()A6B3C3D3答案 (1) A(2)C (2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C1：(xa)2y24，圆C2：x2(yb)21，所以|C1C2|213，即a2b29.由()2，得(ab)218，所以3ab3，当且仅当“ab”时取“”所以选C.【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A2.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离_.【答案】【解析】利用两平行线间距离公式得.3.【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_.【答案】44.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（）（）（II）【解析】（）因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（）当与轴不垂直时，设的方程为，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.5.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。【答案】（1）（2）（3）（2）因为直线lOA，所以直线l的斜率为.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设 因为，所以 因为点Q在圆M上，所以 .将代入，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以 解得.因此，实数t的取值范围是. 1(2015新课标全国，14)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，2)三点，(4，0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为y12(x2)，令y0，解得x，圆心为，半径为.故圆的标准方程为y2.答案y22(2015江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析直线mxy2m10恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.答案(x1)2y223(2015广东，5)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy0或2xy0B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50解析设所求切线方程为2xyc0，依题有，解得c5，所以所求切线的直线方程为2xy50或2xy50，故选D.答案D4(2015新课标全国，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|()A2 B8 C4 D105(2015重庆，8)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B4 C6 D2解析圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为C(2，1)，半径为r2，因此2a110，a1，即A(4，1)，|AB|6，选C.答案C6(2015山东，9)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析圆(x3)2(y2)21的圆心为(3，2)，半径r1.(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)如图所示，反射光线一定过点(2，3)且斜率k存在，反射光线所在直线方程为y3k(x2)，即kxy2k30.反射光线与已知圆相切，1，整理得12k225k120，解得k或k.答案D7(2014江西，9)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A. B. C(62) D.解析由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小又圆C与直线2xy40相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2xy40的距离，此时2r，得r，圆C的面积的最小值为Sr2.答案A8(2014陕西，12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解析因为点(1，0)关于直线yx对称点的坐标为(0，1)，即圆心C为(0，1)，又半径为1，圆C的标准方程为x2(y1)21.答案x2(y1)219(2014四川，14)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析易求定点A(0，0)，B(1，3)当P与A和B均不重合时，不难验证PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.答案510(2014江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_解析由曲线yax2过点P (2，5)可得54a(1)又y2ax，所以在