中考数学考点总动员系列 专题35 矩形、菱形、正方形（含解析）.doc

考点三十五：矩形、菱形、正方形 聚焦考点温习理解一、矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积s矩形=长宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积s菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半三、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为b，s正方形=名师点睛典例分类考点典例一、矩形的性质与判定【例1】（2017江苏徐州第23题）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点连接.（1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则当 时，四边形是矩形.【答案】（1）证明见解析；（2）100【解析】试题分析：（1）由aas证明boecod，得出oe=od，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出bcd=a=50，由三角形的外角性质求出odc=bcd，得出oc=od，证出de=bc，即可得出结论（2）若a=50，则当bod=100时，四边形becd是矩形理由如下：四边形abcd是平行四边形，bcd=a=50，bod=bcd+odc，odc=100-50=50=bcd，oc=od，bo=co，od=oe，de=bc，四边形becd是平行四边形，四边形becd是矩形；考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的判定与性质【点睛】此题考查了矩形的判定和平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解本题的关键【举一反三】1. . （2017四川泸州第11题）如图，在矩形abcd中，点e是边bc的中点，aebd，垂足为f，则tanbde的值是（）a b. c. d. 【答案】a.【解析】试题解析：四边形abcd是矩形，ad=bc，adbc，点e是边bc的中点，be=bc=ad，befdaf，ef=af，ef=ae，点e是边bc的中点，由矩形的对称性得：ae=de，ef=de，设ef=x，则de=3x，df=x，tanbde= .故选a考点：1.矩形的性质；2.解直角三角形.2. （2017四川宜宾第7题）如图，在矩形abcd中bc=8，cd=6，将abe沿be折叠，使点a恰好落在对角线bd上f处，则de的长是（）a3b c5d 【答案】c.【解析】试题解析：矩形abcd，bad=90，由折叠可得befbae，efbd，ae=ef，ab=bf，在rtabd中，ab=cd=6，bc=ad=8，根据勾股定理得：bd=10，即fd=106=4，设ef=ae=x，则有ed=8x，根据勾股定理得：x2+42=（8x）2，解得：x=3（负值舍去），则de=83=5，故选c.考点：1. 翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质考点典例二、菱形的性质与判定【例2】（2017四川自贡第21题）如图，点e，f分别在菱形abcd的边dc，da上，且ce=af求证：abf=cbe【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据菱形的性质可得ab=bc，ac，再证明abfcbe，根据全等三角形的性质可得结论试题解析：四边形abcd是菱形，ab=bc，a=c，在abf和cbe中，abfcbe（sas），abf=cbe考点：菱形的性质.【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. （2017海南第11题）如图，在菱形abcd中，ac=8，bd=6，则abc的周长是（ ）a14b16c18d20【答案】c.考点：菱形的性质，勾股定理.2. （2017浙江宁波第18题）如图，在边长为2的菱形abcd中，a=60，点m是ad边的中点，连接mc，将菱形abcd翻折，使点a落在线段cm上的点e处，折痕交ab于点n，则线段ec的长为.【答案】-1【解析】试题分析：如图所示：过点m作mfdc于点f，在边长为2的菱形abcd中，a=60，m为ad中点，2md=ad=cd=2，fdm=60，fmd=30，fd=md=，fm=dmcos30=，mc=，ec=mc-me=-1考点：1.折叠问题；2.菱形的性质考点典例三、正方形的性质与判定【例3】（2017上海第23题）已知：如图，四边形abcd中，adbc，ad=cd，e是对角线bd上一点，且ea=ec（1）求证：四边形abcd是菱形；（2）如果be=bc，且cbe：bce=2：3，求证：四边形abcd是正方形【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）首先证得adecde，由全等三角形的性质可得ade=cde，由adbc可得ade=cbd，易得cdb=cbd，可得bc=cd，易得ad=bc，利用平行线的判定定理可得四边形abcd为平行四边形，由ad=cd可得四边形abcd是菱形；（2）由be=bc可得bec为等腰三角形，可得bce=bec，利用三角形的内角和定理可得cbe=180 =45，易得abe=45，可得abc=90，由正方形的判定定理可得四边形abcd是正方形考点：1.正方形的判定与性质；2.菱形的判定及性质.【点睛】本题考查了正方形的判定与性质和菱形的判定及性质，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】（2017广西贵港第12题）如图，在正方形 中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），与交于点 ，连接 .下列五个结论： ； ； ； ；若，则的最小值是 ，其中正确结论的个数是 （ ）a b c. d 【答案】d【解析】试题解析：正方形abcd中，cd=bc，bcd=90，bcn+dcn=90，又cndm，cdm+dcn=90，bcn=cdm，又cbn=dcm=90，cnbdmc（asa），故正确；根据cnbdmc，可得cm=bn，又ocm=obn=45，oc=ob，ocmobn（sas），om=on，com=bon，doc+com=cob+bpn，即dom=con，又do=co，condom（sas），故正确；bon+bom=com+bom=90，mon=90，即mon是等腰直角三角形，又aod是等腰直角三角形，omnoad，故正确；ab=bc，cm=bn，bm=an，又rtbmn中，bm2+bn2=mn2，an2+cm2=mn2，故正确；ocmobn，四边形bmon的面积=boc的面积=1，即四边形bmon的面积是定值1，当mnb的面积最大时，mno的面积最小，设bn=x=cm，则bm=2x，mnb的面积=x（2x）=x2+x，当x=1时，mnb的面积有最大值，此时somn的最小值是1=，故正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：d考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在rtabc中，acb90，过点c的直线mnab，d为ab边上一点，过点d作debc，交直线mn于e，垂足为f，连接cd，be.(1)求证：cead；(2)当d在ab中点时，四边形becd是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若d为ab中点，则当a的大小满足什么条件时，四边形becd是正方形？请说明你的理由【答案】（1）证明见解析；（2）四边形becd是菱形，（3）当a=45时，四边形becd是正方形理由见解析.【解析】试题分析：（1）先求出四边形adec是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形becd是平行四边形，求出cd=bd，根据菱形的判定推出即可；（3）求出cdb=90，再根据正方形的判定推出即可ce=ad；（2）解：四边形becd是菱形，理由是：d为ab中点，ad=bd，ce=ad，bd=ce，bdce，四边形becd是平行四边形，acb=90，d为ab中点，cd=bd，四边形becd是菱形；考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力【举一反三】（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.(1)求证：是等腰三角形；(2)如图2，过点作，交于点，连结交于点.判断四边形的形状，并说明理由；若，求的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，dbc=dbe，又adbc，dbc=adb，dbe=adb，df=bf，bdf是等腰三角形；（2）四边形abcd是矩形，adbc，fdbg，又fdbg，四边形bfdg是平行四边形，df=bf，四边形bfdg是菱形；ab=6，ad=8，bd=10ob=bd=5假设df=bf=x，af=addf=8x在直角abf中，ab2+a2=bf2，即62+（8x）2=x2，解得x=，即bf=，fo=，fg=2fo=考点：四边形综合题课时作业能力提升一、选择题1（2017上海第6题）已知平行四边形abcd，ac、bd是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）abac=dca bbac=dac cbac=abd dbac=adb【答案】c【解析】试题分析：a、bac=dca，不能判断四边形abcd是矩形；b、bac=dac，能判定四边形abcd是菱形；不能判断四边形abcd是矩形；c、bac=abd，能得出对角线相等，能判断四边形abcd是矩形；d、bac=adb，不能判断四边形abcd是矩形；故选c考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.2. （2017四川泸州第7题）下列命题是真命题的是（）a四边都是相等的四边形是矩形 b菱形的对角线相等c对角线互相垂直的平行四边形是正方形 d对角线相等的平行四边形是矩形【答案】d.考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3（2017青海西宁第7题）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为（ ）a 5 b 4 c. d【答案】d【解析】试题分析： 四边形abcd是矩形，d=90，o是矩形abcd的对角线ac的中点，omab，om是adc的中位线，om=3，dc=6，ad=bc=10，ac= =2，bo= ac=，故选d 考点：矩形的性质4. （2017浙江嘉兴第9题）一张矩形纸片，已知，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为（ ）abcd 【答案】a【解析】试题解析：ab=3，ad=2，da=2，ca=1，dc=1，d=45，dg=dc=，故选a考点：矩形的性质.5. （2017贵州黔东南州第8题）如图，正方形abcd中，e为ab中点，feab，af=2ae，fc交bd于o，则doc的度数为（）a60b67.5c75d54【答案】a【解析】试题解析：如图，连接df、bffeab，ae=eb，fa=fb，af=2ae，af=ab=fb，afb是等边三角形，af=ad=ab，点a是dbf的外接圆的圆心，fdb=fab=30，四边形abcd是正方形，ad=bc，dab=abc=90，adb=dbc=45，fad=fbc，fadfbc，adf=fcb=15，doc=obc+ocb=60故选a考点：正方形的性质6. （2017海南第11题）如图，在菱形abcd中，ac=8，bd=6，则abc的周长是（ ）a14b16c18d20【答案】c.考点：菱形的性质，勾股定理.7. （2017浙江宁波第11题）如图，四边形是边长为6的正方形，点在边上，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为( )a.3b.c.d.4【答案】c.【解析】试题解析：如图，过n作pqbc，交ab，cd于p，q，过m作mrcd，交ef于j，pq于h，交bc于r在正方形abcd中，bc=cd=6bd=6be=eg=4bg=4dg=2m是dg的中点mj=df=1，jf=1n为ec的中点pn=bc=3qn=3nh=2，mh=3 mn= 故选c.考点：1.正方形的性质;2.三角形的中位线;3.勾股定理.8. （2017广西贵港第12题）如图，在正方形 中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），与交于点 ，连接 .下列五个结论： ； ； ； ；若，则的最小值是 ，其中正确结论的个数是 （ ）a b c. d 【答案】d【解析】试题解析：正方形abcd中，cd=bc，bcd=90，bcn+dcn=90，又cndm，cdm+dcn=90，bcn=cdm，又cbn=dcm=90，cnbdmc（asa），故正确；根据cnbdmc，可得cm=bn，又ocm=obn=45，oc=ob，ocmobn（sas），om=on，com=bon，doc+com=cob+bpn，即dom=con，又do=co，condom（sas），故正确；bon+bom=com+bom=90，mon=90，即mon是等腰直角三角形，又aod是等腰直角三角形，omnoad，故正确；ab=bc，cm=bn，bm=an，又rtbmn中，bm2+bn2=mn2，an2+cm2=mn2，故正确；ocmobn，四边形bmon的面积=boc的面积=1，即四边形bmon的面积是定值1，当mnb的面积最大时，mno的面积最小，设bn=x=cm，则bm=2x，mnb的面积=x（2x）=x2+x，当x=1时，mnb的面积有最大值，此时somn的最小值是1=，故正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：d考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质二、填空题1. （2017湖北咸宁第14题）如图，点的矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕的长为 。【答案】6.试题分析：由题意得：ab=ao=co，即ac=2ab，且oe垂直平分ac，ae=ce，设ab=ao=oc=x，则有ac=2x，acb=30，在rtabc中，根据勾股定理得：bc=x，在rtoec中，oce=30，oe=ec，即be=ec，be=3，oe=3，ec=6，则ae=6考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）2. . （2017哈尔滨第19题）四边形是菱形，对角线与相交于点，点在上，若，则的长为.【答案】4或2【解析】试题分析：四边形abcd是菱形，ab=ad=6，acbd，ob=od，oa=oc，bad=60，abd是等边三角形，bd=ab=6，ob= bd=3，oc=oa= =3，ac=2oa=6，点e在ac上，oe=，ce=oc+或ce=oc，ce=4或ce=2考点：菱形的性质3. （2017湖南张家界第14题）如图，在正方形abcd中，ad=，把边bc绕点b逆时针旋转30得到线段bp，连接ap并延长交cd于点e，连接pc，则三角形pce的面积为 【答案】【解析】考点：旋转的性质；正方形的性质；综合题4. （2017浙江宁波第18题）如图，在边长为2的菱形abcd中，a=60，点m是ad边的中点，连接mc，将菱形abcd翻折，使点a落在线段cm上的点e处，折痕交ab于点n，则线段ec的长为.【答案】-1【解析】试题分析：如图所示：过点m作mfdc于点f，在边长为2的菱形abcd中，a=60，m为ad中点，2md=ad=cd=2，fdm=60，fmd=30，fd=md=，fm=dmcos30=，mc=，ec=mc-me=-1考点：1.折叠问题；2.菱形的性质5（2017贵州安顺第17题）如图所示，正方形abcd的边长为6，abe是等边三角形，点e在正方形abcd内，在对角线ac上有一点p，使pd+pe的和最小，则这个最小值为 【答案】6.【解析】试题解析：设be与ac交于点p，连接bd，点b与d关于ac对称，pd=pb，pd+pe=pb+pe=be最小即p在ac与be的交点上时，pd+pe最小，为be的长度；正方形abcd的边长为6，ab=6又abe是等边三角形，be=ab=6故所求最小值为6考点：轴对称最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质6. （2017重庆a卷第18题）如图，正方形abcd中，ad=4，点e是对角线ac上一点，连接de，过点e作efed，交ab于点f，连接df，交ac于点g，将efg沿ef翻折，得到efm，连接dm，交ef于点n，若点f是ab的中点，则emn的周长是 【答案】【解析】试题解析：如图1，过e作pqdc，交dc于p，交ab于q，连接be，dcab，pqab，四边形abcd是正方形，acd=45，pec是等腰直角三角形，pe=pc，设pc=x，则pe=x，pd=4x，eq=4x，pd=eq，dpe=eqf=90，ped=efq，dpeeqf，de=ef，易证明decbec，de=be，ef=be，eqfb，fq=bq=bf，ab=4，f是ab的中点，bf=2，fq=bq=pe=1，ce=，rtdaf中，df=，de=ef，deef，def是等腰直角三角形，de=ef=，pd=3，如图2，dcab，dgcfga，cg=2ag，dg=2fg，fg=，ac=，cg=，eg=，连接gm、gn，交ef于h，gfe=45，ghf是等腰直角三角形，gh=fh=，eh=effh=，nde=aef，tannde=tanaef=，en=，nh=ehen=，rtgnh中，gn=，由折叠得：mn=gn，em=eg，emn的周长=en+mn+em=考点：1.折叠；2.正方形的性质.三、解答题1. （2017黑龙江绥化第28题）如图，在矩形中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交于，两点 （1）求证：；（2）求证：；（3）当时，请直接写出的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 .【解析】试题解析：（1）四边形abcd是矩形，abcd，dce=ceb，ec平分deb，dec=ceb，dce=dec，de=dc；（2）如图，连接df，de=dc，f为ce的中点，dfec，dfc=90，在矩形abcd中，ab=dc，abc=90，bf=cf=ef=ec，abf=ceb，dce=ceb，abf=dcf，在abf和dcf中， ，abfdcf（sas），afb=dfc=90，afbf；（3）ce=4 理由如下：afbf，baf+abf=90，ehbc，abc=90，beh=90，feh+ceb=90，abf=ceb，baf=feh，efg=afe，efgafe， ，即ef2=afgf，afgf=28，ef=2 ，ce=2ef=4考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质2. （2017上海第23题）已知：如图，四边形abcd中，adbc，ad=cd，e是对角线bd上一点，且ea=ec（1）求证：四边形abcd是菱形；（2）如果be=bc，且cbe：bce=2：3，求证：四边形abcd是正方形【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）首先证得adecde，由全等三角形的性质可得ade=cde，由adbc可得ade=cbd，易得cdb=cbd，可得bc=cd，易得ad=bc，利用平行线的判定定理可得四边形abcd为平行四边形，由ad=cd可得四边形abcd是菱形；（2）由be=bc可得bec为等腰三角形，可得bce=bec，利用三角形的内角和定理可得cbe=180 =45，易得abe=45，可得abc=90，由正方形的判定定理可得四边形abcd是正方形试题解析：（1）在ade与cde中， ，adecde，ade=cde，adbc，ade=cbd，cde=cbd，bc=cd，ad=cd，bc=ad，四边形abcd为平行四边形，ad=cd，四边形abcd是菱形；（2）be=bc，bce=bec，cbe：bce=2：3，cbe=180 =45，四边形abcd是菱形，abe=45，abc=90，四边形abcd是正方形考点：1.正方形的判定与性质；2.菱形的判定及性质.3. （2017海南第23题）如图，四边形abcd是边长为1的正方形，点e在ad边上运动，且不与点a和点d重合，连结ce，过点c作cfce交ab的延长线于点f，ef交bc于点g（1）求证：cdecbf；（2）当de=时，求cg的长；（3）连结ag，在点e运动过程中，四边形ceag能否为平行四边形？若能，求出此时de的长；若不能，说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）不能.【解析】试题分析：（1）先判断出cbf=90，进而判断出1=3，即可得出结论；（2）先求出af，ae