三垂线定理及其典型例题.ppt

三垂线定理 复习提问 1 直线与平面垂直的定义 2 直线与平面垂直的判定定理 3 证明线面垂直的方法 4 证明线线垂直的方法 一 射影的概念 定义 自一点P向平面 引垂线 垂足P1叫做P在平面 内的正射影 简称射影 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F1 则F1叫做图形F在这个平面内的射影 思考 1 两条异面直线在同一平面内的射影的位置关系如何 2 一个三角形在另一平面中的射影可能是什么图形 二 平面的斜线 垂线 射影 PO是平面 的斜线 O为斜足 PA是平面 的垂线 A为垂足 AO是PO在平面 内的射影 三垂线定理 性质定理 判定定理 性质定理 结论 a PO 二 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 为什么呢 三垂线定理 1 三垂线定理描述的是PO 斜线 AO 射影 a 直线 之间的垂直关系 2 a与PO可以相交 也可以异面 3 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理 对三垂线定理的说明 三垂线定理 用法 PA a AO是斜线PO在平面 内的射影 a AO a PO 思考 如果把定理中的条a AO与结论a PO互换 命题是否成立 用法 PA a AO是斜线PO在平面 内的射影 a PO a AO 说明 三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直的重要方法 例题分析 1 判定下列命题是否正确 1 若a是平面 的斜线 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 2 定理的关键找 平面 这个参照学 强调 1 四线是相对同一个平面而言 2 若a是平面 的斜线 b是平面 内的直线 且b垂直于a在 内的射影 则a b 三垂线定理 2 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 连结BD1 AC CB1 B1A 求证 BD1 平面AB1C ABCD是正方形 AC BD又DD1 平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 AC在平面AC内 BD1 AC 而AB1 AC相交于点A且都在平面AB1C内 BD1 平面AB1C 证明 连结BD 请同学思考 如何证明D1B AB1 连结A1B 三垂线定理 关于三垂线定的应用 关键是找出平面 基准面 的垂线 至于射影则是由垂足 斜足来确定的 因而是第二位的 从三垂线定理的证明得到证明a b的一个程序 一垂 二射 三证 即 第一 找平面 基准面 及平面垂线 第二 找射影线 这时a b便成平面上的一条直线与一条斜线 三垂线定理 第三 证明射影线与直线a垂直 从而得出a与b垂直 例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知 BAC在平面 内 点在 外 PE AB PF AC PO 垂足分别是E F O PE PF求证 BAO CAO 证明 连接PA OE OF PE AB PF AC PO AB OE AC OF 三垂线定理的逆定理 PE PF PA PA RtPAE RtPAF AE AF又AO AO RtAOE RtAOF BAO CAO 例4 道旁有一条河 彼岸有电塔AB 高15m 只有测角器和皮尺作测量工具 能否求出电塔顶与道路的距离 解 在道边取一点C 使BC与道边所成水平角等于90 再在道边取一点D 使水平角CDB等于45 测得C D的距离等于20cm 三垂线定理 BC是AC的射影且CD BC CD AC CDB 45 CD BC CD 20cm BC 20m 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离 三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 小结 3 操作程序分三个步骤 一垂二射三证 1 定理中四条线均针对同一平面而言 2 应用定理关键是找 基准面 这个参照系 三垂线定理 例4 设PA PB PC两两互相垂直 且PA