高考数学一轮复习 配餐作业41 数学归纳法（含解析）理.doc

配餐作业(四十一)数学归纳法(时间：40分钟)一、选择题1数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()a3n2 bn2c3n1 d4n3解析计算出a11，a24，a39，a416。可猜想ann2，故选b。答案b2用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为()a2k1b2(2k1)c. d.解析依题意当nk时，左边(k1)(k2)(k3)(kk)，nk1时，左边(k11)(k12)(k13)(k1k)(k1k1)从“k到k1”左端需增乘的代数式为2(2k1)，故选b。答案b3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()a假使n2k1时正确，再推n2k3时正确(kn*)b假使n2k1时正确，再推n2k1时正确(kn*)c假使nk时正确，再推nk1时正确(kn*)d假使nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kn*)解析因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1(kn*)时正确，再推第k1个正奇数，即n2k1时正确，故选b。答案b4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”。那么，下列命题总成立的是()a若f(1)1成立，则f(10)100成立b若f(2)4成立，则f(1)1成立c若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立d若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析选项a，b与题设中不等号方向不同，故a，b错；选项c中，应该是k3时，均有f(k)k2成立；选项d符合题意。答案d5已知f(n)(2n7)3n9，存在正整数m，使得对任意nn*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为()a18 b36c48 d54解析由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36。当n1时，可知猜想成立。假设当nk(k1，kn*)时，猜想成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，f(k1)(2k9)3k19(2k7)3k936(k5)3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值为36。故选b。答案b6对于不等式n1(nn*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立。(2)假设当nk(kn*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立。()a过程全部正确bn1验证不正确c归纳假设不正确d从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，即从nk到nk1的推理不正确，故选d。答案d二、填空题7用数学归纳法证明1n(nn*，n1)时，第一步应验证的不等式是_。解析由nn*，n1知，n取第一个值n02，当n2时，不等式为12。答案128设数列an的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有：(sn1)2ansn，通过计算s1，s2，s3，猜想sn_。解析由(s11)2s得：s1；由(s21)2(s2s1)s2得：s2；由(s31)2(s3s2)s3得：s3。猜想sn。答案三、解答题9用数学归纳法证明：12(nn*，n2)。证明(1)当n2时，12，命题成立。(2)假设nk(k2，且kn*)时命题成立，即12。当nk1时，12222，命题成立。由(1)，(2)知原不等式在nn*，n2时均成立。10数列xn满足x10，xn1xxnc(nn*)。(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列。证明(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列。必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10。又x2xx1cc，c0，故xn是递减数列的充要条件是c0。(2)若0c，要证xn是递增数列。即xn1xn，也就是证明xn。下面用数学归纳法证明当0c时，xn对任意n1，nn*都成立。当n1时，x10，结论成立。假设当nk(kn*)时结论成立，即xk。因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，这就是说当nk1时，结论也成立。故xn对任意n1，nn*都成立。因此，xn1xnxcxn，即xn是递增数列。(时间：20分钟)1已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)，试比较与1的大小，并说明理由。解析f(x)x21，且an1f(an1)，an1(an1)21。函数g(x)(x1)21在1，)上是增函数。于是由a11，得a2(a11)21221，进而a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1。下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kn*)时结论成立，即ak2k1。当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上是增函数知ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立。由知，对任意nn*，都有an2n1。即1an2n，1n1。答案12在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nn*)。(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：。解析(1)由条件得2bnanan1，abnbn1，由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425，猜测ann(n1)(nn*)，bn(n1)2(nn*)。用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立。假设当nk(k1，kn*)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2