基于改进的Kruskal算法求解最短路程问题.doc

研究生综合应用报告课程名称 高级计算机网络 学 院 计算机学院 年 级 一 专业班 学 生 姓 名 张仲勋 学 号 20141402024 开 课 时 间 2014 至 2015 学年 第 一 学期基于流媒体的高清视频传输摘要本文使用适当改进的Kruskal算法，解决为使总路程最短如何选择出行路线的问题。把要到访的地点作为顶点，所有顶点两两之间的连线和距离（起点和终点无连线）分别作为边以及边的权值，构造加权无向图。问题即转化为寻求从起点出发，遍历中间各点，最后到达终点的最短路径。该路径是无向图的生成树，但不一定是最小生成树。路径的起点和终点已经固定，他们的度数必须为1，而中间各顶点的度数必须为2，原因在问题分析里面进行说明。通过对Kruskal算法适当改进可以得到该路径。关键词：最短路径 生成树 Kruskal算法一、 问题分析对于该类问题，要先得到任意两个地点之间的距离，因为不能直接从起点到达终点，所以不需要知道起点和终点的直接距离，也即在其加权图上这两点之间没有边。可以通过百度地图1等工具获取两个地点的距离。由于路径的起点和终点固定，起点只能“出去”，终点只能“进来”，当求其最短路径时，这两个点的度数要为1。对于起点和终点之外的其他顶点，其度数只能为2，原因如下：对于任意三个顶点（起点和终点除外）A、B、C，假如A的度数为3（大于3时只考虑和A相临的其中两点），如图1所示。图1：一点的度数大于2设A先到B点，要经过C点的话必须回到A，再到C，其路程必然比从B直接到C远。这种情形也包含某个点的度数为1的情况，所以除起点和终点外其他顶点的必为2。综上所述，在改进Kruskal算法时，只需加上两个限制条件即可，即起点的度数为1，其余顶点度数为2。二、 模型建立把每个地点作为顶点，每两个顶点相连作为边，两个顶点之间的距离作为边的权值，构造加权无向图，如图2所示（单位：千米）。其中a代表重庆，b代表五台山，c代表黄鹤楼，d代表泰山，e代表北京，。由于不能从出发点直接到达终点，所以a到e没有连线。图2：路线模型图三、 符号说明：存放生成树的边的集合，初态为空集；：生成树的权值，初值为零；VS：部分树的顶点集的集合，初值为：a，b，c，d，e；：顶点的度数。四、 Kruskal算法改进Kruskal算法步骤2：，0，VSa，b，c，d，e，将边按权值小到大排成队列Q；若= 1，输出，停止。否则转入下一步；从Q中取出边，并从Q中删除；如果u，v在VS的同一个元素中，则转，否则分属两个集合，进入下一步；，VSVS + ，+，转入。由问题分析可知，在对Kruskal算法进行改进时，只需添加两个限制条件，起点和终点的度数为1，其余各点度数为2。引入来表示顶点的度数，初值为0，把Kruskal算法的第步改为如下形式：如果u，v在VS的同一个元素中，或者 (，u，v不是起点或终点)，或者 (，u，v是起点或终点)，则转，否则u，v分属两个集合，+ 1，+ 1，进入下一步。五、问题求解使用改进的Kruskal算法求图2的最小生成树，按边的权值从小到大排列为：，步骤如下：（1） 选出边，得到= ，= 359，VS = ，；+ 1 = 1；+ 1 = 1；（2） 选出边，由于的度只能为1，重新选边；（3） 选出边，由于b，d分属VS的两个不同的集合，= 1，= 0，故得到=，VS =，a，c， = 359 + 576=935，+ 1 = 2，+ 1 = 1；（4） 选出边，由于c，d分属VS的两个不同的集合，= 0，= 1，故得到=，VS = ，a ，= 935+863 = 1798，+ 1 = 1，+ 1 = 2；（5） 选出边，由于a，c分属VS的两个不同的集合，= 0，= 1故得到=，VS = ，= 1798+896 = 2694，+ 1 = 1，+ 1 = 2；（6） 因=1，输出=，= 2694，计算停止。的图形如图2所示，即是通过改进的Kruskal算法求得的最小生成树。图2：最短路线图由图2可知，当如下安排行程：重庆到黄鹤楼，黄鹤楼到泰山，泰山到五台山，五台山到北京，此时总的路程最短，为2694公里。参考文献1百度地图：/2龚劬，图论与网络最优化算法，重庆：重庆大学出版社，2009年10月第一版0464260785065428107602181011605595730725603177074080080195369461899217073530783654523528725306509406912318378323133689170492579068974493494200118859914745461061169763152897074068173729411975301009545927787996537310409806398205241876431833667009280976994283570028443415807118144250829376954759839215638758004093800360582242766940544693688904937044285644531463949795077592792189289008522974318794550532304681105591106019171830926373538071333476262805792772946712415796809127980713246427206988907015576392872819202896184068393888825758669095077034117940754061226080185045808036422743685888962338102909636147146320850250647830159504065637394284369242691030455732856772680288083868678758975334742581552119973207549745866816214438460354892340871658124203829709830633175947077050014060223533995229989279871425445880860930440547464338364064503695367395817806653813028074549278934953950074727473223776573762276132081497881189309452142918842849174155644881650680769235667260821262476825111495506601105028003201652351036160520119569996695696295187460448567923869417374831235719508454929101072250600536465890131805555884287784606049278584369090310962990093915631372328274492019621112936739673862202692408714993878484314480432466743873374425192871943181712796884982857203178459768647022819270306383194540753744347020050108879054606769646318273240344383230828272592543772254107773265247507110878814133462590446098691322104941889688004252416084285633130577408824005362566215037771911029756218441531379212963369699086645554578162115772461993355258781404105271414672524180739442500114634872292181730414219930514328491112508546073995904932486663793953151273282705532881474219570255959208861652485037335377391121143862252989263609738549319240033893643996056478854498650229830547056340704331894941847046045566016554578302717643212620097700126551045270595218903295578324180049735756753648449691224751221374751136907077091358361106754439121530010992994637799556507888554136681688130085853295707020071396567272587623715925892515387135945316657937621691858186468529443870978502305525558843103760050163208027644720849266189996907939287042366399602373072928803968354537277243631018977023882953636848302844120940336389857202812029496051744299127598107888543603253252850606297608533336612720432633001420947763021768666657641900259552158578743556840680881975159596729693075935570636505711723777043355711070244002054583692254514147857107419655432938993579334661928774346832787358326300656299249543037093761874550195849503220492571942818485876979651514934806193790615644397360618143902097339784991131402099958106967422865457248051867932366033410089009744098996160468045439713451041001804431949464428071402439534713782553765775579491699978845325217643628511913492378807304307069966665893206304196387550324025400306119651573917466063297494086245913840162103985846681121323424791424288936347818367132150901833157143283026253225128850021915195481171679601968618751895255445748612147859098428190922254262951728702313142182514527617067486195725594977985972296758640423745171409003312572031208519101181241719387691911921309536090606343389020861872344200793344594339942557963158942216898121736996387004973239996799422285187890162074980415722013062979937983190411741108261590070941439654324714388184173893792523821535987996555393988249166615167056747149689694300398630589634718956422361230015747988117593207852912720355326090375627871099314657184084131142583347793686724030643007536021210789614637253812398507039464204157662539394703081227156525990357009740955246757037961091055101892314172750542592481707944796815308720602951329002144140125636583197152435331220881678585993313784581933400716249183203095103403953301242943504715727740711547002285692471460202310568554962739721783027401098732348116907202714210908029147955317811491709883928161815714781679047429676327755874604381240804844164973063263902893876051997442743403788828676724947305500340639013278507053054437295321676452565352031549388133176112581559348191679361066072121913639523955969591047828072246294584184933797959348789957725906876472947775747488302770710210528775557032634241667516897222814879602755721605222560660394638528965727769513393882785165155034555553056937055333282593212622801075457288847283762467703686516509796723792453149226396299011149735343077530173690473748179612259531999254897829831693738179169952122632164743648283449770906826076866481110179951298477498790119707797108224454934169971483748499508802809226983674239127687335276558422012079029309196443096624434538570764180830664325399235965300301715179557895574872667335303704848352266335698946157669968012304216941458374819971996170897011970560432218100999648230534523075120460189272867802614041286036765810006729332443389761705043957318965850246276221494445060556590584587025748434987785205858623197585452491911961723656113038514846163070589109499189019405084903246518786961643770656119173503954483842538761556816238205473933125341713834538054137481559265732089434290933478699244668150017901588137119576050759733473704484555175680671897286789426263041717654503475122157175714921551195167533723627993572281146873419856530410234641075851162432555582126293768475360738664686440009521971550868876266614760835162863474385732428247322195716774700145124707386951789933128844626767067039611091966084724236280385341739541946874250400597433615790155484681345798051721874557273611456262498160761637894191799607960154407049086625023662489066828342266006292587488846693384749724568164527705833174823490486879276284804889691371970145137240688575398462390542134246676795326781352137071211371554544428737300731448246742562897274333652727969619433944914987663318528643093026523422306696094820952281262495236237951488545032375012899867876480067566588798882114739955001468330923094766056774421811669907680369911869630474310467710780151944758008809124859567060962803272349602415563808406938315921004176095157112332051270171572619971178474980625593688402834008274977181187759360741078300870666663667663646534071360817616168466955958437726104717698326882544919502537221383759247021451944010614516234551039952874286301764568398957439224757315108150114338133473567133402773632489342231333119109408805842070601523506962020227580858865504973127835858425785487266917047502066708008424036954596489574458195238138516617620185811045876840751751103082264577347479072367554621588333632066615554186426499389203399731746417541692772849860070598464813891570057570271204619210746709231310527168340908400781824633229810976752656116421651144756358239442804551603567775839478382570042091740429867505431413617604381776045835925157172048112714532816661034575723354527252671974651765407941224396175822210623952903356994235356607612127297377998656476573711611860777714064877739621606661720763079244352919612962396996193100690309084582720929169483105490793787885950491900616828757510400228279805024908277678131950167563817633416160661645131628525877707138409151384959649544427277898985236696598621537344794221509937670653597134402298982440002157368986363536144694191840070196095461941220093958719271847616209458340779609240654205472044677172456404974208044499241118687940081688722976795623193255153836514647307236022557462186888386326323779061424591505229222580493710175433621147602877602463264969038951074871320133388487658182445479131230392359184023135867975787132272165358858901221258539711731953984575740071394075038087801922937067652205516263577805516716408345591202583498257847181721326210221802827219916954708066613144058472380845770078828407466041691923291158017270413761925759338845076584875791724170647586791505879912508075933637573515982426638614765717133821242888646895891289334109411590202502357022676300782521501154570857007538514191984081405987756462193444418410731301886904536485616957265197440671657142286508530764793598949629258145398348792674264579786090902959924936466798676770768247835194085259773558259864946258163604148956800941964761541089988044595644600635135705681110911602745108650226764544583793273727500967864389606691576105085144956036422026354146284965115525371040596737754699057992717023357269157656680969977587345127099271771513304531850171906436714137048142520115336827676024003495181640190422729650274746209614738448667890222904727558298374381230909403542547654240467862232604369899472567890624030739987701850227819104401508766757899151796833211613241939566607895341929570544280652749795456314947430416161960501955755339160096442001136364209521985344535397317161259981685855343502176942981673834337938503199184242049103410338823187853847764798369984499629676413066168338672557381400109468246241860022831377787245002720533862828572006383773875394740486113983052132553086893675771481711399921423782421369470027457271589473811759765861082039981509505891034864907540463038193872558097681553665150235562331241509550285356727737433822606558327326134056753680140305027349905082471554528360730762040332785976835907655678139065749425340199546091269860953308843586435099290652846461506798173877905008465534769180577231964231022811780447804224289961584524894684812793891163524426892195378061175449939320700277027858465858130405504934175971404866127086416548636118160516616556334605595912323164618247772866020110114194178204072195346622426810498665256361900026159946515313550573393479480925525764373654738386181975508958312961943719389673405696960740723432041861985545758735132697201449420751170099621187235908558365914214054706742445767263972722588817659643361867717049764788576260010786852047521154204467351367541675689604738073547772039737405634315737538115897447967340547912815850756638573237532295514504233617597061855082683021819849077730233894437934576646709479579251194100755514550328486771263897150701371620876323319162936666311442556557917014784427991189112436566062931156907258339311263519736520169502607728973408661967742260473987578715099731275082392415764980734177865005654570248734408420161034212909814975834926891539409731323361643427137592361027819820869698900010941591154227252284805441120497258470830404939008837210074652387299402655284526091313900005945750994679244696675990240397335859015855440010822899402530623986057742949576353329410163057087172857899568408963903112689705333561674639345681628814715174229169024636522744347577242676449341232344661467167883006256435402964871877153724866075152683318406203440802725133569498050384150488792732838053146312053743287763237975804653385929170165471039174500030650634293708947692922870635705896076276657700489409125136438347107816612685244940603596351777566370782274630549168095872945139619619003423197612360885037585358639992713691665172015656895430695484835178113340837841275995674021800018793996447106108160586273952440773697908308251848284405564838799803725928847677088804506836541383267623806453283213650863107270109450755829686077418805453631890954914688427465382620091894919704554447907547282729333804752972325605812394586897906345714243513222134966261357734294093861350473561821069232398375394577233938543606685704756603021220415701406075063392472121440681265708097559825541343157611787623179836306270664203273062593321129911912898567612760187348430223165686146068441393825673180713667820145705928468106465658670018301245713940898688128349370808562752539450213639512609663970531697917131255390808526276368265703506370712468486885612988531348023309905002880264441101209966838858561837267854660059976085735011263539902115760634046115068075305213566249933447219012637643667630530267427134492704800254606840706107176920670730129287917770235372557079650420891583986795588822834225687275430601187241676132104033022383847463761632500963727374533760357540880576342817730159262861101345557361430657893143816841937076581876637472197556294869300016113973803312579342032924435409628018818090582679122109498794879458933899623671038699903492591958527787884604624358298789662468964901427375171664023499484700746812678619462229180094817520033289461287806877534262223304623063105088928411400342388657620113732226288341476646550493483139754088836196095611675290337844241830346409514483694537647582591302472687079593200449201484616104160192868210287958529031733513690880294000648879407539509688960518900925070089482446383052715452017664846909795642318202411440265375556007529948607623035240489580092314955193317318222388242428439162220630910807541436909933421146497282634897440689711578109465284405263230019999622028252870221658268985631499097550750295772934900550103471288100421309479330184970013005923684096287897317833597908543808397264431249330482899787616032660534562977436062606289369845111717766005925150850016895313691471386409594976651854325701742623531670744362299603414020465108142885590539995851927007639548237889788654324483633907049986849797610992824583842312319852842107745658945688027538925258435452961067844200775685307039261382689383057266432919627073778374627058386764850081091000910386623576730042812593277231119666758949654222092051964849814408875932325199418474773460798239349744776338953793348245748731939786644058127355652033974078321253092470619973610598559319394445209953910442357212377427974579720063795966074021170986138636638158357645757717246344128357893591068139084831313980882891264599263157080616674372671257929970639141279777032681191183079299224086700643870620414220092113168240799620504518708347175048257851449962407291389225063023937623541188709053124665018335835081315979109625670142006251602219238117640973874744302041524553260037114134465099250340792130663993614625157713963116008637052986711102541202923088789905851533385311675160537924007055171460642403245821044408358945076901808850567428736245459747563293567338867788706368961039640178375459154629216873964070733967503051434589721063689214791452083951862092275306680449624257315649440914143607459937677182460652029972507958994218861366892843719448669451127121497112036364775152420890755636027373073695686226384192718625033943061883789784046441602919924651927910323942176784087453235896159378794298386796803260794777593913838903317247693308723380285981114526028680418773760700824483013273728710580416465884412407382640848830796735735343440955700257014956222608202145808614985231332796280695025086523408051937591361494759922775858335745714848265860218341405895935481498295434332002628038713917663720351113266722466041496159489994777573651184759043874222341637086859823054466317405827725744095088793528295993476386465705226721577510517490964923774010914079683796730013673059177574264522324040494342653709239015016691744060408718275681119959554904326026496951167313015317445519514255780749643084635847967443653358435411918198750737206387531673636210881017904109306153819437920899457849654814550977386961798229737078855437076986861645874979594182704582391179153380537092776289169218137859063136413146308912906987546079118207434881096333059462543668751621774912415011090292992249341109530272897457289291790184516034168956622032230610975584865545492399332212907022112982066626666062744249266337957523938459420724617493441649459457589310620940753590265391292474564377485187686138187555545094731485673215634355543711955249588441477073064106903744550786970853422707103614569407219344461799400919282760760673645238205840671215520103470967576817871958367669152558520095336731336413480452029095012765857689796626535609526969888077855854410636463872685612671431145498904607673937508157736068402106014276606235818194164671658393227216864252049909593697418499299664955443120191420394863788283855171699403050264355708345381910885833093968919963075655867548831522478252864144388240739499374670255521013395434677808482545726628995268734252692818849105358078457502711169548641476948413861522590914456907348113101289039485523618820