高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修22.doc

1.6微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1微积分基本定理内容如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且f(x)f(x)，那么f(x)dxf(b)f(a)符号f(x)dxf(x) f(b)f(a).思考：满足f(x)f(x)的函数f(x)唯一吗？提示不唯一，如f1(x)x1，f2(x)x5，等其导数为1，故f(x)不唯一2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为s上，x轴下方的面积为s下则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图161，则f(x)dxs上(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图161，则f(x)dxs下(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图161，则f(x)dxs上s下，若s上s下，则f(x)dx0.图 图 图图161基础自测1思考辨析(1)若f(x)dxg(x)dx，则f(x)g(x)()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()答案(1)(2)(3)2若a(x2)dx，则被积函数的原函数为()af(x)x2bf(x)x2ccf(x)x22xcdf(x)x22x答案c3cos xdx_.解析 答案14如图162，定积分f(x)dx的值用阴影面积s1，s2，s3表示为f(x)dx_. 【导学号：31062090】图162解析根据定积分的几何意义知f(x)dxs1s2s3.答案s1s2s3合 作 探 究攻 重 难求简单函数的定积分求下列定积分(1)(2xex)dx；(2)dx；(3) 2dx；(4)(x3)(x4)dx.解(1)(2xex)dx(x2ex) (1e1)(0e0)e.(2)dx(ln x3sin x)(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)212sin cos 1sin x，(0cos 0)1.(4)(x3)(x4)x27x12，(x3)(x4)dx(x27x12)dx2736.规律方法(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数f(x).(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数f(x)；第二步：计算函数的增量f(b)f(a).跟踪训练1计算下列定积分(1)dx；(2) dx；(3)(1)dx. 【导学号：31062091】解(1)dxln 2.8求分段函数的定积分计算下列定积分(1)f(x)求f(x)dx；(2)|x21|dx.思路探究(1)按f(x)的分段标准，分成，(2,4三段求定积分，再求和(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分解(1) (x1)dx(cos x) 1(40)7.(2)|x21|dx(1x2)dx(x21)dx2.规律方法1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解2分段函数在区间a，b上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行3带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解跟踪训练2(1)f(x)求f(x)dx.(2)求|x2x|dx的值. 【导学号：31062092】解(1)f(x)dx(12x)dxx2dx(xx2)2.(2)|x2x|x2x|dx.利用定积分求参数探究问题1求f(a)(2ax2a2x)dx的表达式提示：f(a)(2ax2a2x)dxaa2.2试求f(a)取得最大时a的值提示：f(a)aa22，当a时，f(a)的最大值为.(1)已知t0，f(x)2x1，若f(x)dx6，则t_.(2)已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_解(1)f(x)dx(2x1)dxt2t6，解得t3或2，t0，t3.(2)(kx1)dxk1.由2k14，得k2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dxf，求t.解由f(x)dx(2x1)dxt2t，又ft1，t2tt1，得t1.2(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dxf(t)，求f(t)的最小值解f(t)f(x)dxt2t2(t0)，当t时，f(t)min.规律方法利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限当 堂 达 标固 双 基1下列值等于1的是() 【导学号：31062093】a.xdxb.(x1)dxc.1dx d.dxc选项a，因为x，所以xdx；选项b，因为x1，所以(x1)dx；选项c，因为x1，所以1dxx1；选项d，因为，所以dxx.2若dx3ln 2，则a的值是()a5b4c3d2ddxa2ln a1，a213，且ln aln 2，故a2.3.dx_. 【导学号：31062094】解析dxx2dxxdx答案4设函数f(x)则f(x)dx_.解析f(x)dx(x21)dx(3x)dx.答案5已知f(