高中数学 第一章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的应用学案 苏教版选修5.doc

1.3预习课本p1821，思考并完成以下问题 (1)方向角和方位角各是什么样的角？ (2)怎样测量物体的高度？ (3)怎样测量物体所在的角度？ 实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角1某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为_解析：画出示意图(略)，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，x2或x.答案：2或2从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为_解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知.答案：3两灯塔a，b与海洋观察站c的距离都等于a(km)，灯塔a在c北偏东30，b在c南偏东60，则a，b之间距离为_解析：abc中，acbca，acb90，所以aba.答案：a4.如图，已知a，b，c三地，其中a，c两地被一个湖隔开，测得ab3 km，b45，c30，则a，c两地的距离为_km.解析：根据题意，由正弦定理可得，代入数值得，解得ac3.答案：3测量高度典例济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的a点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达b点，测得泉标顶部仰角为80.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)解如图所示，点c，d分别为泉标的底部和顶端依题意，bad60，cbd80，ab15.2 m，则abd100，故adb180(60100)20.在abd中，根据正弦定理，.bd38.5(m)在rtbcd中，cdbdsin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用活学活用甲、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是多少？解：如图所示，ad为乙楼高，bc为甲楼高在abc中，bc200tan 60200，ac200sin 30400，由题意可知acddac30，acd为等腰三角形由余弦定理得ac2ad2cd22adcdcos 120，4002ad2ad22ad23ad2，ad2，ad.故甲楼高为200 m，乙楼高为 m.测量角度问题典例如图所示，a，b是海面上位于东西方向相距5(3) n mile的两个观测点现位于a点北偏东45方向、b点北偏西60方向的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距20 n mile的c点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达d点需要多长时间？解由题意，知ab5(3)n mile，dba906030，dab904545，adb180(4530)105.在dab中，由正弦定理得，即bd10 n mile.又dbcdbaabc60，bc20 n mile，在dbc中，由余弦定理，得cd 30 n mile，则救援船到达d点需要的时间为1 h.测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解 活学活用在海岸a处，发现北偏东45方向，距离a处(1)n mile的b处有一艘走私船，在a处北偏西75的方向，距离a 2 n mile的c处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h在d处追上走私船，画出示意图，则有cd10t，bd10t，在abc中，ab1，ac2，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac(1)2222(1)2cos 1206，bc，且sinabcsinbac，abc45，bc与正北方向成90角cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得sinbcd，bcd30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.测量距离问题题点一：两点不相通的距离1.如图所示，要测量一水塘两侧a，b两点间的距离，其方法先选定适当的位置c，用经纬仪测出角，再分别测出ac，bc的长b，a，则可求出a，b两点间的距离若测得ca400 m，cb600 m，acb60，试计算ab的长解：在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccosacb，ab2400260022400600cos 60280 000.ab200 (m)即a，b两点间的距离为200 m.题点二：两点间可视但有一点不可到达2.如图所示，a，b两点在一条河的两岸，测量者在a的同侧，且b点不可到达，要测出a，b的距离，其方法在a所在的岸边选定一点c，可以测出a，c的距离m，再借助仪器，测出acb，cab，在abc中，运用正弦定理就可以求出ab.若测出ac60 m，bac75，bca45，则a，b两点间的距离为_ m.解析：abc180754560，所以由正弦定理得，ab20(m)即a，b两点间的距离为20 m.答案：20题点三：两点都不可到达3.如图，a，b两点在河的同侧，且a，b两点均不可到达，测出a，b的距离，测量者可以在河岸边选定两点c，d，测得cda，同时在c，d两点分别测得bca，acd，cdb，bda.在adc和bdc中，由正弦定理分别计算出ac和bc，再在abc中，应用余弦定理计算出ab.若测得cd km，adbcdb30，acd60，acb45，求a，b两点间的距离解：adcadbcdb60，acd60，dac60，acdc.在bcd中，dbc45，由正弦定理，得bcsinbdcsin 30.在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccos 452.ab(km)a，b两点间的距离为 km.当a，b两点之间的距离不能直接测量时，求ab的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图)：可取某点c，使得a，b与c之间的距离可直接测量，测出acb，bca以及acb，利用余弦定理得：ab.(2)两点间可视但不可到达(如图)：可选取与b同侧的点c，测出bca以及abc和acb，先使用内角和定理求出bac，再利用正弦定理求出ab.(3)两点都不可到达(如图)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点c，d，测出cdm，acb，bcd，adc，adb，再在bcd中求出bc，在adc中求出ac，最后在abc中，由余弦定理求出ab.层级一学业水平达标1一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm后，再向右转105爬行20 cm，又向右转135，这样继续爬行可回到出发点处，那么x_.解析：由正弦定理得，x.答案：2一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，则船实际航程为_ km.解析：如图所示，在acd中，ac2，cd4，acd60，ad2124822436.ad6.即该船实际航程为6 km.答案：63从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向一只船俯角为45，则此时两船间的距离为_米解析：如图所示，bch，ach，ab2h.答案：2h4要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是_米解析：由题意画出示意图，设高abh，在rtabc中，由已知bch，在rtabd中，由已知bdh，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd22bccdcosbcd得3h2h25002h500，解之得h500(米)答案：5005.如图，为测量一棵树的高度，在地面上选取a，b两点，从a，b两点分别测得树尖的仰角为30，45，且a，b两点之间的距离为60 m，则树的高度为_m.解析：由正弦定理，得，pb.hpbsin 45sin 45(3030)m.答案：(3030)6一船以22 km/h的速度向正北航行，在a处看灯塔s在船的北偏东45，1小时30分后航行到b处，在b处看灯塔s在船的南偏东15，则灯塔s与b之间的距离为_km.解析：如图，asb1801545120，ab2233，由正弦定理，得，sb66(km)答案：667.一角槽的横断面如图所示，四边形abed是矩形，已知dac50，cbe70，ac90，bc150，则de_.解析：由题意知acb120，在acb中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccosacb902150229015044 100.ab210，de210.答案：2108线段ab外有一点c，abc60，ab200 km，汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，则运动开始_ h后，两车的距离 最小解析：如图所示，设t h后，汽车由a行驶到d，摩托车由b行驶到e，则ad80t，be50t.因为ab200，所以bd20080t，问题就是求de最小时t的值由余弦定理：de2bd2be22bdbecos 60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t时，de最小答案：9某海上养殖基地a，接到气象部门预报，位于基地南偏东60相距20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)小时后开始持续影响基地2小时求台风移动的方向解：如图所示，设预报时台风中心为b，开始影响基地时台风中心为c，基地刚好不受影响时台风中心为d，则b，c，d在一直线上，且ad20，ac20.由题意ab20(1)，dc20，bc(1)1010()在adc中，因为dc2ad2ac2，所以dac90，adc45.在abc中，由余弦定理得cosbac.所以bac30，又因为b位于a南偏东60，603090180，所以点d位于a的正北方向，又因为adc45，所以台风移动的方向为北偏西45.10.如图，测量人员沿直线mnp的方向测量，测得塔顶a的仰角分别是amb30，anb45，apb60，且mnpn500 m，求塔高ab.解：设abx，ab垂直于地面，abm，abn，abp均为直角三角形bmx，bnx.bpx.在mnb中，由余弦定理bm2mn2bn22mnbncosmnb，在pnb中，由余弦定理bp2np2bn22npbncospnb，又mnb与pnb互补，mnnp500，3x2250 000x22500xcosmnb，x2250 000x22500xcospnb，得x2500 0002x2，x250或x250(舍去)所以塔高为250 m.层级二应试能力达标1一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点a处望见灯塔s在船的北偏东30方向上，15 min后到点b处望见灯塔在船的北偏东65方向上，则船在点b时与灯塔s的距离是_ km.(精确到0.1 km)解析：作出示意图如图由题意知，ab246，asb35，由正弦定理，可得bs5.2(km)答案：5.22已知a船在灯塔c北偏东80处，且a船到灯塔c的距离为2 km，b船在灯塔c北偏西40处，a，b两船间的距离为3 km，则b船到灯塔c的距离为_ km.解析：如图，由题意可得，acb120，ac2，ab3.设bcx，则由余弦定理可得：ab2bc2ac22bcaccos 120，即32x22222xcos 120，整理得x22x5，解得x1.答案：13.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从a点出发沿正北方向行进x m到达b处发现生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达c处发现另一生命迹象，这时它向右转135回到出发点，那么x_.解析：由题图，知abx，abc18010575，bca18013545，bc10，bac180754560，x.答案：4一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是_海里/小时解析：如图，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而cdca10，在直角三角形abc中，可得ab5，于是这只船的速度是10海里/小时答案：105.如图所示，在山底a处测得山顶b的仰角cab45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达s点，又测得山顶仰角dsb75，则山高bc为_ m.解析：sab453015，sbaabcsbc45(9075)30，在abs中，ab1 000，bcabsin 451 0001 000(m)答案：1 0006.如图，从气球a上测得其正前下方的河流两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高度ad是60 m，则河流的宽度bc是_ m.解析：由题意知，在rtadc中，c30，ad60 m，ac120 m在abc中，bac753045，abc18075105， 由正弦定理，得bc120(1)(m)答案：120(1)7.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇，则ac14x，bc10x，abc120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故ac28，bc20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.8.在四边形abcd中，已知adcd，ad10，ab14，bda60，bcd135，求bc的长解：在abd中，设bdx，由余弦定理，得ba2bd2ad22bdadcosbda，即142x2102210xcos 60，整理得：x210x960，解得x116，x26(舍去)，由adcd，bda60，知cdb30，由正弦定理，得，bcsin 308.(时间120分钟满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1已知abc中，a，b ，b60，那么角a_.解析：由正弦定理得：，sin a.又ab，ab，a45.答案：452在abc中，ab，ac5，且cos c，则bc_.解析：由余弦定理ab2ac2bc22acbccos c，得525bc29bc，解得bc4或5.答案：4或53在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，若b2a，ba60，则a_.解析：b2a，sin b2sin a又ba60，sin (a60)2sin a，即sin acos 60cos asin 602sin a，化简，得sin acos a，tan a，a30.答案：304在abc中，已知ab3，ac2，bc，则 _.解析：由向量模的定义和余弦定理可以得出|3，|2，cos，32.答案：5在abc中，sin acos a，ac4，ab5，则abc的面积是_解析：sin acos asin，即sin，0a，a，即a.sabcacabsin a45.答案：6在abc中，ba，b2a，则abc为_三角形解析：由正弦定理知：sin bsin a，又b2a，sin 2asin a.2cos asin asin a.cos a.a45，b90.故abc为等腰直角三角形答案：等腰直角7在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若3bcos accos aacos c，则tan a的值是_解析：由正弦定理，3bcos accos aacos c可化为，3sin bcos asin ccos asin acos csin(ac)sin bcos a，0a，sin a，从而tan a2.答案：28已知锐角abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c,23cos2acos 2a0，a7，c6，则b_.解析：化简23cos2acos 2a0，得23cos2a2cos2 a10，解得cos a.由余弦定理，知a2b2c22bccos a，代入数据解方程，得b5.答案：59在abc中，若b5，b，tan a2，则sin a_，a_.解析：因为在abc中，tan a2，所以a是锐角，且2，sin2acos2a1，联立解得sin a，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案：210钝角三角形abc的面积是，ab1，bc，则ac_.解析：sabcabbcsin b1sin b，sin b，b45或135.若b45，则由余弦定理得ac1，abc为直角三角形，不符合题意，因此b135，由余弦定理得ac2ab2bc22abbccos b12215，ac.答案：11.如图所示为起重机装置示意图，支杆bc10 m，吊杆ac15 m，吊索ab5 m，起吊的货物与岸的距离ad为_ m.解析：在abc中，ac15 m，ab5 m，bc10 m，由余弦定理得cosacb.sinacb.又acbacd180.sinacdsinacb.在rtadc中，adacsinacd15 m.答案：12在abc中，a60，最大边与最小边是方程3x227x320的两个实根，那么bc边的长为_解析：由已知可设最大边与最小边分别为b，c ，则bc9，bc.因为a60，所以bc既不是最大边也不是最小边，所以bc2b2c22bccos 60b2c2bc(bc)23bc813249，即bc7.答案：713.如图，在abc中，已知点d在bc边上，adac，sinbac，ab3，ad3，则bd的长为_解析：因为sinbac，且adac，所以sin，所以cosbad，在bad中，由余弦定理得，bd .答案：14某人在c点测得塔ab在南偏西80，仰角为45，沿南偏东40方向前进10米到o，测得塔a仰角为30，则塔高为_米解析：画出示意图，如图所示，co10，ocd40，bcd80，acb45，aob30，ab平面bco，令abx，则bcx，box，在bco中，由余弦定理得(x)2x21002x10cos(8040)，整理得x25x500，解得x10，x5(舍去)，所以塔高为10米答案：10二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)在锐角abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2asin bb.(1)求角a的大小；(2)若a6，bc8，求abc的面积解：(1)由2asin bb及正弦定理，得sin a.因为a是锐角，所以a.(2)由余弦定理a2b2c22bccos a，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式sbcsin a，得abc的面积为.16(本小题满分14分)在abc中，求证：.证明：右边cos bcos a左边，所以.17(本小题满分14分)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求角a的大小；(2)设a，s为abc的面积，求s3cos bcos c的最大值，并指出此时b的值解：(1)由余弦定理得cos a.又0a，所以a.(2)由(1)得sin a，又由正弦定理及a得sbcsin aasin c3sin bsin c，因此，s3cos bcos c3(sin bsin ccos bcos c)3