高中数学 黄金100题系列 第75题 抛物线中的基本问题 理.doc

第75题 抛物线中的基本问题i题源探究黄金母题【例1】如图，直线抛物线相交于，两点，为抛物线的顶点，求证：【解析】设点，的坐标分别为把代入中，得，化简得，解得，精彩解读【试题来源】人教a版选修2-1p73习题24a组t6【母题评析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的分析问题解决问题的能力【思路方法】结合一元二次方程韦达定理、两点斜率公式、两直线垂直位置关系的判定等解决问题ii考场精彩真题回放【例1】【2017高考新课标ii】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点m位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，线段fn的长度：【例2】【2017高考北京卷】已知抛物线c：y2=2px过点p（1，1）过点（0，）作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点（）求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：a为线段bm的中点【答案】（）方程为，抛物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为；（）详见解析【解析】试题分析：（）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线on的方程为，联立求得点 的坐标，证明试题解析：（）由抛物线c：过点p（1，1），得所以抛物线c的方程为抛物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为（）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线c的交点为，由，得则，因为点p的坐标为（1，1），所以直线op的方程为，点a的坐标为直线on的方程为，点b的坐标为，故a为线段bm的中点【例3】【2017高考浙江卷】如图，已知抛物线，点a，抛物线上的点过点b作直线ap的垂线，垂足为q（）求直线ap斜率的取值范围；（）求的最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得ap的斜率为，由，得ap斜率的取值范围；（）联立直线ap与bq的方程，得q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值试题解析：（）设直线ap的斜率为k，则，直线ap斜率的取值范围是（）联立直线ap与bq的方程解得点q的横坐标是，因为|pa|=|pq|= ，所以|pa|pq|=令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值【命题意图】这类题主要考查抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质等【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据抛物线的定义求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程等（选择、填空，解答题第一问，常与抛物线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）抛物线性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求抛物线中距离或者面积等；（4）求直线与抛物线相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定抛物线中的弦长、式子的定值问题，确定与抛物线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求抛物线中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）【难点中心】1抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化2涉及直线与抛物线的位置关系的问题，只要联立直线与抛物线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理iii理论基础解题原理考点一 抛物线的定义及其应用平面内与一个定点f和一条直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线考点二 抛物线的标准方程与几何性质标准方程图 形范 围顶 点对称轴轴轴焦 点准线方程离心率焦半径（）通 径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式参数的几何意义参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔考点三 焦点弦问题设为抛物线的焦点弦，直线的倾斜角为，则（1）；（2）；（3）以为直径的圆与准线相切；（4）焦点对在准线上射影的张角为；（5）考点四 直线与抛物线位置关系1直线与抛物线位置关系的判定方法设直线：，抛物线：，联立方程组，消去（或）得到一个关于（或）的方程，若是一次方程，方程有一个解，直线与抛物线交于一点；若是一元二次方程：当时，方程有两个不同的实数解，直线与抛物线有两个公共点，直线与抛物线相交；当时，方程有两个相同的实数解，直线与抛物线有一个公共点，直线与抛物线相切；当时，方程没有实数解，直线与抛物线没有公共点2抛物线的弦长问题斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则弦长当直线的斜率不存在时，可直接求得直线与抛物线的交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长iv题型攻略深度挖掘【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据抛物线的定义求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程等（选择、填空，解答题第一问，常与抛物线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）抛物线性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求抛物线中距离或者面积等；（4）求直线与抛物线相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定抛物线中的弦长、式子的定值问题，确定与抛物线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求抛物线中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）【技能方法】1利用抛物线的定义可以解决以下问题：（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以判断动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用，体现了等价转化的思想2抛物线的标准方程及性质是高考热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度高考对该内容的考查主要有以下两个命题角度：（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线性质的研究【易错指导】1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线2对于抛物线标准方程中参数p，易忽视只有p0才能证明其几何意义是焦点f到准线l的距离，否则无几何意义3当直线与抛物线只有一个交点时，直线与抛物线的位置关系可以相切，也可以相交（此时该直线与抛物线的对称轴平行）v举一反三触类旁通考向一 抛物线的定义与标准方程【例1】（1）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 ；（2）已知抛物线，过焦点f的直线与抛物线交于两点，过分别作y轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为_在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故线段的长度：（2）由，知，焦点，准线根据抛物线的定义，因此所以取到最小值，当且仅当|ab|取得最小值，又为最小值故的最小值为422【跟踪练习】1已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数为（ ）a b c d【答案】c2设经过抛物线c的焦点的直线l与抛物线c交于a、b两点，那么抛物线c的准线与以ab为直径的圆的位置关系为（ ）a相离 b相切 c相交但不经过圆心 d相交且经过圆心【答案】b考向二 抛物线的几何性质【例2】（1）（2017河南联考）抛物线y22px(p0)的焦点为f，o为坐标原点，m为抛物线上一点，且|mf|4|of|，mfo的面积为4，则抛物线的方程为（ ）a b c d（2）动直线l的倾斜角为60，且与抛物线x22py(p0)交于a，b两点，若a，b两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为_【答案】（1）b；（2）【解析】（1）设，由抛物线定义知，又mfo的面积为，解得（舍去）所以抛物线的方程为（2）设直线l的方程为，联立，消去，得，即，则抛物线的方程为【例3】（1）若抛物线上一点m到它的焦点f的距离为，o为坐标原点，则的面积为（ ）a b c d（2）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_【答案】（1）b；（2）（2）由椭圆，知因此椭圆的右焦点为，又抛物线的焦点为依题意，得，于是抛物线的准线反思提炼：1求抛物线的标准方程的方法：（1）求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可（2）因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程3确定及应用抛物线性质的技巧（1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程；（2）要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解【跟踪练习】1已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为( )a b c d【答案】a2点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）a b或c d或【答案】d【解析】将化为当时，准线，则当时，准线，则抛物线方程为或3设f为抛物线c：的焦点，曲线与c交于点p，轴，则k（ ）a b1 c d2【答案】d【解析】由抛物线c：知，焦点又曲线与曲线c交于点p，且轴，将点代入，得考向三 直线与抛物线位置关系【例4】【2018辽宁葫芦岛期中】已知直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线与轴交于 两点，若，则 （ ）a b c d【答案】d设， ，联立，得，由得， ，即，故选d【例5】已知抛物线：过点过点作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点（1）求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：a为线段bm的中点【答案】（1）抛物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为；（2）详见解析【解】（1）由抛物线：过点，得，所以抛物线c的方程为抛物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为（2）证明：由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线c的交点为，由，得，则，因为点的坐标为，所以直线的方程为，点的坐标为直线的方程为，点的坐标为，故为线段的中点【跟踪练习】1【2018四川南充一诊】已知抛物线，直线， 为抛物线的两条切线，切点分别为，则“点在上”是“”的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件【答案】c(1)因为p在l上，所以=1，所以，所以papb；甲是乙的充分条件；(2)若papb， ，即，从而点p在l上甲是乙的必要条件，故选c2设点p(-2，1)在抛物线x2=2py(p0)上，且到圆c:x2+(y+b)2=1上点的最小距离为1(1)求p，b的值；(2)过点p作斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于两点a，b，若直线ab与圆c相交于不同两点m，n，当pmn面积取最大值时，求直线ab的方程把y=x+t代入圆c:x2+(y-1)2=1中，消去y得2x2+2(t-1)x+t2-2t=0，因为直线与圆相交于不同两点，所以1-t1+，|mn|=|x1-x2|=，spmn=d|mn|=|t-3|令f(t)=(t-3)2(-t2+2t+1)，则f(t)=2(t-3)(-t2+2t+1)+(t-3)2(-2t+2)，令f(t)=0解得t=，故当pmn面积取最大值时，直线ab的方程为y=x+考向四 与抛物线有关的最值问题【例6】【2018浙江镇海期中】已知抛物线的焦点为， 为原点，若是抛物线上的动点，则的最大值为a b c d【答案】c【例7】设p是抛物线上的一个动点，则点p到点a(1，1)的距离与点p到直线的距离之和的最小值为_【答案】反思提炼：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，使问题简单化【跟踪练习】12【2018安徽淮北模拟】是抛物线上任意一点， ， ，则的最小值为（ ）a b3 c6 d5【答案】b【解析】抛物线的焦点坐标为 ，即是抛物线的焦点，准线方程为，过向准线作垂线，垂足为，则， 当三点共线时， 取得最小值，故选b6过抛物线的焦点f作互相垂直的弦ac，bd，则点a，b，c，d所构成四边形的面积的最小值为（ ）a16 b32 c48 d64【答案】b【解析】由抛物线的几何性质可知： ，据此可得，点a，b，c，d所构成四边形的面积的最小值为 ，故选b12【2018安徽淮北模拟】是抛物线上任意一点， ， ，则的最小值为（ ）a b3 c6 d5【答案】b13【2018河南联考】已知过抛物线： 的焦点的直线交抛物线于， 两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的取值范围是（ ）a b c d【答案】d【解析】由题意知， 的焦点的坐标为（2，0）直线的斜率存在且不为0，设直线方程为由消去y整理得，设， ，则，故 ，所以，直线的方程为，代入抛物线方程，解得，由条件知所以选d 点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围11已知动圆过定点，并且内切于定圆（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若上存在两个点，（1）中曲线上有两个点，并且三点共线， 三点共线， ，求四边形的面积的最小值（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，四边形的面积当直线斜率存在时，设其方程为，联立方程得，消元得设，则，直线的方程为，得设，则，四边形的面积，令， ，上式，令，（），综上可得，最小值为8【注意问题】设直线方程时，用到斜率需讨论率不存在时7【2018四川资阳模拟】已知抛物线焦点为，点a，b，c为该抛物线上不同的三点，且满足（1）求；（2）若直线交轴于点，求实数的取值范围【答案】（1）（2）试题解析：设由抛物线得焦点坐标为，所以， ， ，所以由得 ， （1）抛物线的准线方程为， 由抛物线定义得： ， ， ，所以 （2）显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，联立消去得，所以，即且，所以， 代入式子得又点也在抛物线上，所以，即由，及可解得即，又当时，直线过点，此时三点共线，由得与共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合，不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，所以实数的取值范围为考向五 抛物线中的定点、定值、定直线及存在性问题【例8】【2018山东寿光模拟】已知的一个顶点为抛物线的顶点， ， 两点都在抛物线上，且（1）求证：直线必过一定点；（2）求证： 面积的最小值【答案】（1）详见解析（2）当时， 的面积取得最小值为试题解析：（1）设所在的直线的方程为（），则直线的方程为由，解得或，即点的坐标为同理可求得点的坐标为当，即时，直线的方程为化简并整理，得当时，恒有当，即时，直线的方程为，过点故直线过定点（2）由于直线过定点，记为点，所以可设直线的方程为由，消去并整理得， 于是 当时， 的面积取得最小值为【点睛】在解析几何中解决三角形面积问题时，选择合适的公式是重要的，本题是把一个三角形拆分成两个三角形的面积和，即，因为op为定值【例9】【2017马鞍山三模】已知曲线， ，直线与曲线相交于两点， 为坐标原点（）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（）若直线与曲线相切，求的取值范围【答案】（1）直线恒过定点（2）【解析】试题分析：（）因为直线包含斜率不存在的直线，所以设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，代入，得到，所以直线恒过定点；（）直线与半圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得到，同时 再利用根与系数的关系表示， 得到取值范围试题解析：（）由已知，可设 由 得： 由可得： 解得： 直线恒过定点 （）直线与曲线相切， ，显然 ，整理得： 由（）及可得： ，即的取值范围是【点睛】本题考查了抛物线和圆的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查了计算能力，通过联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等【例10】【2018河南南阳、信阳等六市一联】如图，抛物线的焦点为，抛物线上一定点（1）求抛物线的方程及准线的方程；（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于两点，与准线交于点，记的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】解：（1），准线；（2）存在常数，理由见解析所以，即存在常数，使得成立试题解析：（1）把代入，得，所以抛物线方程为，准线的方程为（2）由条件可设直线的方程为由抛物线准线，可知，又，所以，把直线的方程，代入抛物线方程，并整理，可得，设，则，又，故因为三点共线，所以，即，所以，即存在常数，使得成立点睛：本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，是高考的高频考点，属于难题求抛物线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意标准方程形式；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用是否存在问题注意式子化简，若存在一般能化简出常数【例11】【2018广西南宁9月摸底测试】已知抛物线c：y2=ax（a0）上一点p（t， ）到焦点f的距离为2t（l）求抛物线c的方程；（2）抛物线上一点a的纵坐标为1，过点q（3，1）的直线与抛物线c交于m，n两个不同的点（均与点a不重合），设直线am，an的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【答案】（1）；（2）证明见解析试题解析：（1）由抛物线的定义可知，则，由点在抛物线上，则，则，由，则，抛物线的方程（2）点在抛物线上，且，设过点的直线的方程为，即，代入得，设， ，则， ，所以点睛：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题；运用抛物线上的点到焦点距离为是解题的关键，联立直线与抛物线的方程，运用“整体代换，设而不求”的思想是常用的手段【跟踪练习】1【2018模拟】已知抛物线c的方程为x24y，m(2，1)为抛物线c上一点，f为抛物线的焦点()求|mf|；()设直线l2：ykxm与抛物线c有唯一公共点p，且与直线l1：y1相交于点q，试问，在坐标平面内是否存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n？若存在，求出点n的坐标，若不存在，说明理由【答案】(1)2；(2) 在坐标平面内存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，其坐标为(0，1)试题解析：()由题可知2p4，即p2，由抛物线的定义可知|mf|12()由c关于y轴对称可知，若存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，则点n必在y轴上设n(0，n)，又设点p(x0，)，由直线l2：ykxm与曲线c有唯一公共点p知，直线l2与c相切由yx2得yx，直线l2的方程为y (xx0)，令y1得x，q点的坐标为(，1)，(x0，n)，(，1n)点n在以pq为直径的圆上，2(1n)(n)(1n)n2n20，要使方程对x0恒成立，必须有解得n1，在坐标平面内存在点n，使得以pq为直径的圆恒过点n，其坐标为(0，1)点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现2已知的顶点，点在轴上移动， ，且的中点在轴上（）求点的轨迹的方程；（）已知过的直线交轨迹于不同两点， ，求证： 与， 两点连线， 的斜率之积为定值由得，所以， ，同理，所以与， 两点连线的斜率之积为定值43【2018安徽淮北模拟】已知抛物线，点m(m，0)在x轴的正半轴上，过m点的直线与抛物线 c相交于a，b两点，o为坐标原点(1) 若m=l，且直线的斜率为1，求以ab为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点m，使得不论直线绕点m