高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理学案 苏教版选修5.doc

1.1第一课时正弦定理预习课本p58，思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角关系是怎样的？ (2)什么是正弦定理？ (3)正弦定理可进行怎样的变形？ 1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即2r，其中r是三角形外接圆的半径2正弦定理的变形：(1)abcsin_asin_bsin_c；(2)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin_c；(3)sin a，sin b，sin c；(4)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin_ccsin_a.(5).点睛正弦定理的变形实现了角化边、边化角的转换，应根据需要进行选择3解三角形(1)解三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程(2)利用正弦定理可解决以下两类解三角形问题：已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边 和角)点睛已知两边和其中一边所对角求另一边的对角时可能会出现无解、一解、两解的情况如下表所示(已知a，b，a，求b)a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin aabsin absin aabab解的个数无解一解两解一解一解无解1在abc中，a4，a45，b60，则边b_.解析：由正弦定理，有，所以b2.答案：22在abc中，已知bc，sin c2sin a，则ab_.解析：由正弦定理，得abbc2bc2.答案：23在abc中，若a60，b45，bc3，则ac_.解析：由正弦定理，得，即，ac2.答案：24abc中，a，b，sin b，则符合条件的三角形有_个解析：因为asin b，所以asin bba，所以ca，所以a45.所以b180604575.因为，所以b1.已知两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 活学活用1在abc中，已知a5，c10，a30，则b_.解析：因为，a5，c10，a30，根据正弦定理可知所以，sin c，所以c45或135，即b105或15.答案：105或152abc中，b45，b，a1，则角a_.解析：由正弦定理得，解得sin a，所以a30或a150.又因ba，所以ba，则a30.答案：30正弦定理的变形应用典例在abc中，已知bc1，c45，b30，则b_.解析由正弦定理知，所以，bsin b1.答案1利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用 活学活用在abc中，若acos absin b，则sin acos acos2b_.解析：由正弦定理，可得sin acos asin2b，即sin acos a1cos2b，所以sin acos acos2b1.答案：1层级一学业水平达标1在abc中，已知bc12，a60，b45，则ac_.解析：由正弦定理得，即，所以ac4.答案：42在abc中，若b5，b，sin a，则a_.解析：由正弦定理得，又b5，b，sin a，所以，a.答案：3在abc中，a15，b10，a60，则sin b_.解析：根据正弦定理，可得，解得sin b.答案：4在abc中，b30，c120，则abc_.解析：a1803012030，由正弦定理得：abcsin asin bsin c11.答案：115在abc中，absin a，则abc一定是_解析：由题意有b，则sin b1，即角b为直角，故abc是直角三角形答案：直角三角形6在abc中，已知c，a45，a2，则b_.解析：，sin c，c60或120，当c60时，b180456075，当c120时，b1804512015.答案：75或157已知abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，若ac且a75，则b_.解析：sin asin 75sin (3045)sin 30cos 45sin 45cos 30，由ac，可知，c75，所以b30，sin b，由正弦定理得bsin b2.答案：28在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，若a105，b45，b2，则c_.解析：根据三角形内角和定理，c180(ab)30.根据正弦定理：c2.答案：29在abc中，已知b6，c6，c30，求a.解：由正弦定理得，所以sin b，因为bc，所以bc30.所以b60或b120.当b60时，a90，则a12.当b120时，a30，则ac6.所以a6或a12.10在abc中，a，b，c的对边分别是a，b，c，求证：a2sin 2bb2sin 2a2ab sin c.证明：因为左边4r2sin2asin 2b4r2sin2bsin 2a8r2sin2asin bcos b8r2sin2bsin acos a8r2sin asin b(sin acos bcos asin b)8r2sin asin bsin(ab)8r2sin asin bsin c2(2rsin a)(2rsin b)sin c2absin c右边，所以等式成立层级二应试能力达标1在abc中，若a60，a，则_.解析：利用正弦定理变形，得，所以2.答案：22在abc中，已知b4，c8，b30，则a_.解析：由正弦定理，得sin c1.所以c90，a180903060.又由正弦定理，得a4.答案：43在abc中，a2，b2，b45，则a等于_解析：由正弦定理得，解得sin a，又ab，所以a60或120.答案：60或1204在abc中，角a，b，c的对应边分别为x，b，c，若满足b2，b45的abc恰有两解，则x的取值范围是_解析：要使abc恰有两解，xsin 452x，解得2x2.答案：(2,2)5若a60，a2，则_.解析：由正弦定理得4.答案：46设abc的三个内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，且acos bbcos ac，则_.解析：已知acos bbcos ac，由正弦定理，得sin acos bsin bcos asin c，sin acos bcos asin b(sin acos bcos asin b)，所以2sin acos b8cos asin b，即4.答案：47在abc中，已知a，b，c分别是a，b，c的对边若ba60，b2a，求角a的大小解：因为ba60，所以sin bsin(a60)sin acos a又b2a，所以2rsin b4rsin a，所以sin b2sin a由得2sin asin acos a，即3sin acos a，所以tan a.又0a180，所以a30.8已知abc的各边均不相等，设a，b，c的对边分别为a，b，c，且acos abcos b，求的取值范围解：acos abcos b，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b.2a,2b(0,2)，2a2b或2a2b，ab或ab.如果ab，则ab不符合题意，ab.sin asin bsin acos asin，ab，c，a且a，(1，)第二课时正弦定理的应用预习课本p911，思考并完成以下问题 (1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？ (2)已知三角形的面积如何求其他量？ 三角形的面积公式(1)saha(ha表示a边上的高)(2)sabsin cbcsin aacsin b.点睛三角形的面积公式sabsin c与原来的面积公式sah(h为a边上的高)的关系为：hbsin c，实质上bsin c就是abc中a边上的高1在abc中，a2，b3，c120，则sabc_.解析：sabcabsin c23sin 120.答案：2已知abc中，ab6，a30，b120，则abc的面积为_解析：由已知得：c1803012030，由正弦定理得，解得bc6，所以sabcabbcsin b669.答案：93已知a，b两岛相距10 n mile，从a岛看b，c两岛的视角是60，从b岛看a，c两岛的视角是75，则b，c两岛的距离为_ n mile.解析：如图所示：易知c45，由正弦定理得，bc5.答案：54若abc的面积为，bc2，c60，则边ab的长度等于_解析：因为sabc，bc2，c60，所以2ac，解得ac2，所以abc为正三角形，所以ab2.答案：2三角形的面积典例在abc中，已知b30，ab2，ac2，求abc的面积解由正弦定理，得sin c，又absinbacab，故该三角形有两解：c60或120.当c60时，a90，sabcabac2；当c120时，a30，sabcabacsin a.abc的面积为2或.(1)求解三角形面积的公式较多，除s底高外，sabsin cbcsin aacsin b也应用较广(2)应注意对三角形解的个数的讨论，防止漏解 活学活用1在abc中，a4，b6，sabc6，则c_.解析：sabcabsin c46sin c12sin c6，sin c.0cb，b30，c90，abc为直角三角形，由勾股定理得c2.答案：28已知a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c的对边，若a2，b，ac2b，则a_.解析：因为所以b，又因为，所以sin a，所以a45.答案：459.如图，一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔b在北偏东60，行驶4 h后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东15，求此时船与灯塔的距离解：如题图，由正弦定理得，所以bc30 km.此时船与灯塔的距离为30 km.10在abc中，已知a2bcos c，求证：abc为等腰三角形解：因为，a2bcos c，所以，由正弦定理得2rsin a4rsin bcos c.所以2cos csin bsin asin (bc)sin bcos ccos bsin c所以sin bcos ccos bsin c0，即sin (bc)0.所以bcn(nz)又因为b，c是三角形的内角，所以bc，即abc为等腰三角形层级二应试能力达标1在abc中，lg(sin asin c)2lg sin blg(sin csin a)，则该三角形的形状是_解析：由已知条件，lg(sin asin c)lg(sin csin a)lg sin2b，sin2csin2asin2b.由正弦定理可得c2a2b2.故三角形为直角三角形答案：直角三角形2.如图，设a，b两点在河的两岸，一测量者在a的同侧河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105，则ab_ m.解析：因为acb45，cab105，所以abc30，根据正弦定理得，解得ab50 m.答案：503在abc中，已知，则abc的形状为_解析：因为，a2rsin a，b2rsin b，所以.又因为sin asin b0，所以sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b.所以2a2b或2a2b，即ab或ab.故abc是等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形4设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为_解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin bcos ccos bsin csin2a，有sin(bc)sin2a，从而sin(bc)sin asin2a，解得sin a1，a.答案：直角三角形5在abc中，b8，c8，sabc16，则a_.解析：由sabcbcsin a得sin a，又因为0a180，所以a30或150.答案：30或1506一船在海面a处望见两灯塔p，q在北偏西15的一条直线上，设船沿东北方向航行4 n mile到达b处，望见灯塔p在正西方向，灯塔q在西北方向，则两灯塔的距离为_ n mile.解析：如图，在abp中，ab4，abp45，bap60.apb75.由正弦定理，得，bp62.在bpq中，pbq45，aqb30.由正弦定理，得pq124，两灯塔相距(124)n mile.答案：1247.我炮兵阵地位于地面a处，两观察所分别位于地面点c和d处，已知cd6 000 m，acd45，adc75，目标出现于地面点b处时，测得bcd30，bdc15(如图)，求炮兵阵地到目标的距离解：在acd中，cad180acdadc60，cd6 000，acd45，根据正