高中数学 复习课（三）不等式学案 苏教版选修5.doc

复习课(三)不等式一元二次不等式一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽(1)确定ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)在判别式0时解集的结构是关键在未确定a的取值情况下，应先分a0和a0两种情况进行讨论(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2bxc0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论典例已知不等式ax25x20的解集是m.(1)若2m，求a的取值范围；(2)若m，求不等式ax25xa210的解集解(1)2m，a225220，a2，即a的取值范围为(2，)(2)m，2是方程ax25x20的两个根，由根与系数的关系得解得a2，不等式ax25xa210即为2x25x30，2x25x30，解得3x0的解集为.类题通法求解不等式的方法：(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清晰地求解1设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是_解析：f(x0)1或x01或x01.答案：(，1)1，)2已知函数f(x)x22x8，g(x)2x24x16.(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(m2)xm15成立，求实数m的取值范围解：(1)g(x)2x24x160，(2x4)(x4)0，2x4，不等式g(x)0的解集为x|2x2时，f(x)(m2)xm15恒成立，x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1)对一切x2均有不等式m成立，而(x1)2222，当且仅当x1，即x3时等号成立，实数m的取值范围是(，2.简单的线性规划问题线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围“线性规划”是必考内容，主要以填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集线性目标函数zaxby中的z不是直线axbyz在y轴上的截距，把目标函数化为yx，可知是直线axbyz在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值典例已知d是以点a(4,1)，b(1，6)，c(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域d的不等式组(2)设点b(1，6)，c(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解(1)直线ab，ac，bc的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.又原点(0,0)在区域d内，故表示区域d的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，得a的取值范围是18a1时，的最小值为_解析：由图可知ssoaboaob44k8k，所以.令tk10，则kt1，代入上式得816，因为t2，所以816821632.当且仅当t1时，即k2时取等号故当k2时，取得最小值32.答案：322x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a_.解析：作出可行域(如图)，为abc内部(含边界)由题设zyax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合由kab1，kac2，kbc可得a1或a2或a，验证：a1或a2时，成立；a时，不成立答案：2或1基本不等式的应用基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，考试中经常出现，有时也会对其单独考查题目难度为中等偏上应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误1基本不等式的常用变形(1)ab2(a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立；(2)a2b22ab，ab2(a，br)，当且仅当ab时，等号成立；(3)2(a，b同号且均不为零)，当且仅当ab时，等号成立；(4)a2(a0)，当且仅当a1时，等号成立；a2(a0，y0，x2y2(当且仅当x2y时取等号)又由x2(xy)可得，而2，当且仅当x2y时，max2.的最小值为2.答案2类题通法利用基本不等式解题应关注三方面：(1)利用基本不等式求最值的注意点，在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错(2)求条件最值问题的两种方法：一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决(3)结构调整与应用基本不等式：基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式，常见的转化方法有：xxaa(xa)若1，则mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均为正数)1定义运算“*”：x*y(x，yr，xy0)，当x0，y0时，x*y(2y)*x的最小值为_解析：由题意，得x*y(2y)*x，当且仅当xy时取等号答案：2函数y的最大值为_解析：令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值)答案：1不等式2x2x4的解集为_解析：不等式2x2x4x2x21x1，集合ax|x24x31x|x1或x1，ax|x24x30x|1x3，uax|x0在区间1,5上有解，则实数a的取值范围为_解析：设f(x)x2ax2，若x2ax20在1,5上无解，则只需即解得a，所以x2ax20在1,5上有解时，a.答案：6若正实数x，y满足xy1xy，则x2y的最小值是_解析：由xy1xy，得y，又y0，x0，x1.x2yx2x2x23(x1)347，当且仅当x3时取“”答案：77关于x的不等式x2ax20a20任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是_解析：方程x2ax20a20的两根是x14a，x25a，则由关于x的不等式x2ax20a20，b0，abb2a2，ab2.当且仅当b2a2时等号成立答案：210设a，b0，ab5，则的最大值为_解析：()2ab429()2()29ab418，所以3，当且仅当a1b3且ab5，即a，b时等号成立所以的最大值为3.答案：311设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10.若m0，4m0.4m0，即m的取值范围为(4,0(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述：m的取值范围为.12某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为g(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)销售收入r(x)(万元)满足：r(x)假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律(1)要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，g(x)x2.设利润函数为f(x)，则f(x)(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)0，当0x5时，解不等式0.4x23.2x2.80即x28x70，得1x7，15时，解不等式8.2x0，得x8.2，5x8.2.综上所述，要使工厂赢利，x应满足1x5时，f(x)8.253.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多13医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用z，那么目标函数为z3x2y，作出可行域如图：由图可知，当直线yx经过可行域上的点a时，截距最小，即z最小由得a，zmin32314.4.甲种原料用1028(g)，乙种原料用31030(g)，费用最省答：应用甲、乙原料分别为28 g,30 g时，费用最省14变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y26x4y13，