高中数学 黄金100题系列 第71题 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 理.doc

第71题 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系i题源探究黄金母题【例1】已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程【解析】将圆的方程写成标准形式，得，圆心的坐标是，半径设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得或，直线的方程为或，即或精彩解读【试题来源】人教版a版必修二p127例2【母题评析】本题根据直线与圆相交所得弦长求相关参数直线方程，体现逆向思维的应用，方程思想的应用【思路方法】本题解答时主要是利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦长之间的勾股关系，通过建立方程来解决【例2】已知圆：，圆：，试判断圆与圆的位置关系【解析】解法一：圆与圆的方程联立得到方程组-得， 由得把上式代入并整理得方程的判别式，所以方程有两个不等的实数根，即圆与圆相交解法二：把圆：，圆：，化为标准方程，得与圆的圆心是点，半径长；圆的圆心是点，半径长圆与圆的连心线的长为，圆与圆的半径长之和为，半径长之差为而，即，所以圆与圆相交，它们有两个公共点【试题来源】人教版a版必修二p129例3【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较ii考场精彩真题回放【例1】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系中，点，点在圆上若，则点的横坐标的取值范围是 【答案】【解析】不妨设，则，且易知因为，故所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）联立，得，如图所示，结合图形知故填评注 也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致【例2】【2016高考新课标ii】圆的圆心到直线的距离为1，则 （ ）a b c d2【答案】a【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选a【例3】【2016高考山东卷】已知圆m：截直线所得线段的长度是，则圆与圆： 的位置关系是（）a内切b相交c外切d相离【答案】b【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，因为，所以圆与圆相交，故选b【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题【难点中心】1直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交（2）代数法2点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种；3比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点【例4】【2016高考新课标iii】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_【答案】4【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为由平面几何知识知在梯形中，【例5】【2016高考湖南卷】若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则=_【答案】2【解析】如图直线与圆 交于两点，为坐标原点，且，则圆心到直线的距离为 ，【例6】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】圆的标准方程为，所以圆心，半径为5（1）由圆心在直线上，可设因为与轴相切，与圆外切，所以，于是圆的半径为，从而，解得因此，圆的标准方程为（2）因为直线，所以直线的斜率为设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离 因为 而 所以，解得或故直线的方程为或（3）设 因为，所以因为点在圆上，所以将代入，得于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，解得，所以实数的取值范围是【例7】【2016高考新课标】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线1，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为，故，所以，故又圆的标准方程为，从而，所以由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为（）（2）当与轴不垂直时，设的方程为，由，得，则，所以过点且与垂直的直线：，到的距离为，故四边形的面积；可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为；当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12综上，四边形面积的取值范围为iii理论基础解题原理考点一几何法判断直线与圆的位置关系判断圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系图形量的关系位置关系相离相切相交交点个数012考点二代数法判断直线与圆c的方程组解的个数若有两组实数解，则直线与圆相交；若有一组实数解，则直线与圆相切；若无实数解，则直线与圆相离考点三几何法判断圆与圆的位置关系判断圆心距d与两圆半径r，r（rr）的和与差的大小关系图形量的关系位置关系外离外切相交内切内含交点个数01210考点四代数法判断两圆位置关系判断圆与圆的方程组解的个数：若有两组实数解，则圆与圆相交；若有一组实数解，则圆与圆相切（外切与内切）；若无实数解，则圆与圆相离（外离与内含）考点五圆系方程方程表示圆的充要条件是：且且过圆：与：的交点的圆系方程：()当时，表示两圆的公共弦所在直线方程iv题型攻略深度挖掘【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，主要体现的思想方法有待定系数法，化归与转化的思想、函数与方程思想对直线与圆的位置关系的考虑主要考查直线与圆相切问题，且以求相关的参数为主，其次考查直线与圆相交所得弦的中点问题和弦长问题，有时也兼顾考查动点的轨迹对圆与圆位置关系的考查，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题【技能方法】因为从圆的定义可以看到圆的半径圆的两个基本要素之一，其大小与点到直线的距离相关，而直线与圆的位置关系也是与圆心到直线的距离相关，因此处理直线与圆的位置关系（相切、相交涉及的弦长等）主要是围绕圆心到直线的距离来处理若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解【易错指导】（1）过圆外一点与圆相切的直线有两条，但解答时易忽视斜率不存在的哪一条；（2）涉及到与圆方程相关的最值问题时，在建立函数关系后忽视圆方程中变量的取值而致错；（3）求与圆相关的轨迹问题时，常常会忽视变量的限制条件，造成多解（4）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错；（5）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（6）表示过圆：和：的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆的方程如果在解题中不注意对圆的方程进行验证v举一反三触类旁通考向1直线与圆位置关系判断【例1】【2018陕西高三高考全真四】直线与圆的位置关系是（）a相切b相离c相交d与的取值有关【答案】c【方法点拨】判断直线与圆的位置关系三法：（1）几何法：设圆心到直线的距离为，则与相交；与相切；与相离；（2）代数法：将直线方程代入圆的方程可得到关于或的一元二次方程，则与相交；与相切；与相离；（3）如果直线上存在的特殊点在圆内，则直线与圆必相交【跟踪练习】【2018贵州遵义模拟】直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）abcd【答案】a【解析】圆标准方程为，这是充要条件，a是充分不必要条件，故选a考向2直线与圆相切问题【例2】【2015高考广东卷】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）a或b或c或d或【答案】a【解析】设所求直线方程为，则所以，所以，所以所求直线方程为或，故选a【例3】【2015高考山东卷】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）a或b 或c或d或【答案】d【题型归纳】直线与圆相切问题主要有两种题型：（1）根据条件判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线与圆相切条件求相关的参数问题这两种题型的解答都必须用 “圆心到直线的距离等于半径”；（3）求切线长，主要利用勾股定理，或利用结论：过与圆：相切于点的切线长【跟踪练习】【2015高考山东卷】过点作圆的两条切线，切点分别为，则 _【答案】【解析】连接，在直角三角形中，所以，故考向3直线与圆相交弦的中点问题【例4】【2018黑龙江省哈尔滨六中模拟】直线与圆（）交于两点，且弦的中点为，则直线的方程是（）abcd【答案】d【方法归纳】求解直线与圆相交所得弦的中点问题主要题型：（1）已知弦中点求直线方程或圆的方程；（2）已知直线斜率或过定点的直线与圆相交所得弦的中点的轨迹方程求解此类问题主要是利用垂径定理，即圆心与中点所在直线与弦垂直【跟踪练习】【2018江西上高二中模拟】已知圆的一条直径通过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）abcd 【答案】d【解析】由题意知，直线的斜率为已知圆的圆心坐标，被圆所截弦的中点与圆心的连线与弦的直线垂直斜率乘积等于得，则该直径所在的直线方程斜率为，所以该直线方程为，所以所求的直线方程，故选d考向4直线与圆相交所得弦长问题【例5】【2016高考新课标i】设直线与圆：相交于两点，若，则圆的面积为_【答案】【解析】圆，即，圆心为，由到直线的距离为，所以由得所以圆的面积为【方法点拨】直线与圆相交所得弦长问题主要有两种题型：(1)求直线与圆相交弦的长；(2)已知相交弦长求直线方程与圆方程及相关的参数解答此类问题一般根据半径2圆心到弦的距离2(半弦长)2求解【跟踪练习】【2014高考福建卷】直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【答案】a考向5直线与圆相位置关系中的轨迹问题【例6】【2017山西长治二中等五校上期联考】由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方程为（）abcd【答案】a【解析】数形结合，由平面几何可知abp是等边三角形，则的轨迹方程为，故选a【方法总结】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等【跟踪练习】如图，在直角坐标系中，是半圆：的直径，是半圆上任一点，延长到点，使，当点从点运动到点时，动点的轨迹的长度是（ ）abcd【答案】b考向6关于特殊点与直线的对称问题【例7】【2017成都市高中毕业班摸底】已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则_【答案】【解析】因为圆的圆心为，且圆上存在两点关于直线对称，所以过点，所以，得，所以【方法点睛】圆的对称性主要体现在两个方面：(1)圆的自对称性：圆心为对称中心，任一条直径所在直线都为对称轴；(2)圆关于点或直线的对称性解答时主要从两个方面进行考虑：一是转化归结为点的对称，利用中点坐标公式；二是根据轴对称的垂直关系，利用其斜率关系【跟踪练习】【2018海南中学模拟】圆关于直线对称的圆的方程为（）a bc d【答案】a【解析】因为圆心关于直线的对称点为，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故选a考向7直线与圆位置关系中的最值问题【例8】【2018河南豫北重点中学模拟】已知直线和圆相交于两点，当弦最短时，的值为（）ab-6c6d【答案】a【方法归纳】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；（2）根据条件关于得到某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理求直线上的点与圆上的点的最大与最小距离，由于两点分别是直线和圆上的动点，因此要用代数知识求解难度较大，一般采用数形结合较为简单一般地，圆上的点到直线最大距离为，最小距离（为圆心到直线的距离，为圆的半径）【跟踪练习】【2018山东实验中学高三一模】若圆关于直线对称，则由点向圆所作切线长的最小值为（）a1bcd【答案】d【解析】由题意得，圆心，半径，因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，代入得，则，又因为点到圆心的距离为，所以向圆作切线，切线长为，代入，得，故选d考向8圆与圆的位置关系的判断【例9】【2018江苏南京模拟】在平面直角坐标系中，圆m：，点n为圆上任意一点若以为圆心，为半径的圆与圆至多有一个公共点，则的最小值为_【答案】3【解析】由题意得圆与圆内切或内含，即，又，所以，因此的最小值为3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解【跟踪练习【2018黑龙江大庆一中模拟】在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是（ ）abcd【答案】a考向9两圆的公共弦问题【例10】【2018湖南高三六校联考】已知圆与圆相交于两点，且满足，则_【答案】【解析】两圆公共弦所在直线方程为，设其中一圆的圆心为，得【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了【跟踪练习【2017重庆五区开学抽测】若圆与圆（）的公共弦长为2，则a_【答案】1【解析】由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为，利用圆心（0，0）到直线的距离，解得考向10两圆公切线问题【例11】【2018江苏清江中学模拟】已知圆，为轴正半轴上的动点，若圆与圆相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆的方程是_【答案】【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题考向11两圆位置关系中的最值问题【例12】【2018浙江诸暨教学质检】）已知圆与直线，且直线上有唯一的一个点，使得过点作圆的两条切线互相垂直，则_；设是直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点，则的最小值是_【答案】【解析】根据圆的对称性知直线上的唯一点与圆心所在直线必与直线垂直，则所在直线的方程为，即，与直线联立求解得，再根据对称性知过点的两条切线必与坐标轴垂直，即为，易得；由题意，知取得最小值时，一定关于直线对称，如图所示，因此可设以点为圆心，以为半径的圆，即与圆内切时，的最小值即为，由相切条件易知【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案【跟踪练习】【2018海南文昌中学模拟】在平面直角坐标系中，过动点分别作圆与圆的切线，若 若为原点，则的最小值为（）abcd【答案】b【例13】点p在圆上，点q在圆上，则的最小值是（ ）a5b0c35d52【答案】c【解析】圆的圆心坐标为，半径为；圆的圆心坐标为，半径为，且，则的最小值为，故选c【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某些变量的关系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值【跟踪练习】已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（）a b c d【答案】a【解析】如图：如图圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标，半径为3，|的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：，故选a考向12与圆有关的轨迹问题【例14】已知圆，圆，动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是_【答案】【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解【跟踪练习】已知动圆与圆：外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为_【答案】【解析】设动圆圆心，半径为，由圆方程可知圆心，半径，由圆方程可知圆心，半径因为圆与圆外切，所以因为圆与圆内切，所以，所以，即，又因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，此时，所以，所以点的轨迹方程是考向13圆系方程的应用【例15】圆心在直线上，并且经过圆与圆交点的圆的方程为_【答案】 【解析】设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为，将其代入直线解得，所以圆的方程为【跟踪练习】经过点以及圆与圆交点的圆的方程为_【答案】【解析】设过圆与圆交点的圆的方程为把点的坐标代入式得，把代入并化简得，所求圆的方程为：考向14点与圆、直线与圆、圆与圆位置与其它知识的交汇【例16】若圆与圆都关于直线对称，则（ ）abcd【答案】b【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解【例17】【2018河北定州中学12月月考】）已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（）abcd【答案】b【解析】设中点为，则，直线与圆交于不同的两点、，故选b【例18】【2018海南师大附中模拟】已知直线与圆相交于两点若弦的中点为抛物线的焦点，则直线的方程为（）abcd【答案】b【题型点睛】圆与其它知识的交汇主要涉及：（1）通过圆中相关线段对应的向量满足的条件与平面向量发生联系；（2）由于圆可以围成一定的区域，因此常常与几何概型发生联系；（3）圆的线段间的大小关系、多个参数之间的等量关系等形式均可能与不等式知识发生联系【例19】【2018河北衡水中学调研】已知为圆：上的动点，点，线段的垂直平分线与半径相交于点，记点的轨迹为的方程；（1