高中数学 黄金100题系列 第72题 与圆有关的最值问题 文.doc

第72题 与圆有关的最值问题i题源探究黄金母题【例1】已知圆，直线为任意实数（1）求证：直线恒过定点；（2）判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度【答案】（1）；（2），【解析】（1）直线的方程经过整理得由于的任意性，于是有解此方程组，得，即直线恒过定点（2）因为直线恒过圆内一点，所以当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时被截得的弦长最短由，可知直线的斜率为，故当直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为2，于是有，解得，此时直线的方程为，即。又，最短弦长为。直线被圆截得的弦最短时的值为，最短长度是。精彩解读【试题来源】人教a版必修2p144b组t6【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力【思路方法】结合圆的有关几何性质解题ii考场精彩真题回放【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系中，点，点在圆上若，则点的横坐标的取值范围是 【答案】【解析】不妨设，则，且易知因为，故所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）联立，得，如图所示，结合图形知故填【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】【解析】解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为解法二（代数法基本不等式）：由题意，当且仅当时，取“”故标准方程为解法三（代数法判别式）：由题意，设，则，解得，【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题【难点中心】1直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交（2）代数法2点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种；3比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由得，所以圆的圆心坐标为；（2）设因为点为弦中点，即，所以，即，所以线段的中点的轨迹的方程为；（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（不包括两端点），且，又直线过定点，当直线与圆相切时，由得又，所以当时，直线与曲线只有一个交点iii理论基础解题原理考点一 与截距有关的圆的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题考点二 与斜率有关的圆的最值问题形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题考点三 与距离有关的圆的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题常见的结论有：（1）圆外一点到圆上距离最近为，最远为；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离考点四 与面积相关的最值问题与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解iv题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中档题；若以解答题的形式呈现，则有一定难度【技能方法】1数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解常见的最值问题有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题2建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解2利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值同时需要注意，“一正二定三相等”的验证v举一反三触类旁通考向1 与斜率有关的圆的最值问题【例1】如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是a b c d【答案】c【例2】已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为原心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是 （ ）a b c d【答案】a【解析】试题分析：因为圆的方程为，整理得，所以圆心为，半径为，又因为直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，所以点到直线的距离小于或等于，所以，化简，解得，所以的最小值是，故选a【跟踪练习】1已知实数x、y满足x2+y2=4，则的最小值为 （ ）a b c d【答案】a2在平面直角坐标系中，圆，圆若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，满足，则半径的取值范围是_【答案】【解析】由题，知圆的圆心为，半径为5，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，如图，可知当为圆的直径时取得最大值，所以当点位于点所在位置时取得最小值，当点位于点所在位置时取得最大值因为，所以，3过点的直线与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 【答案】: 【解析】：要使最小，由余弦定理可知，需弦长最短要使得弦长最短，借助结论可知当为弦的中点时最短因圆心和所在直线的，则所求的直线斜率为，由点斜式可得【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题4若圆c：关于直线对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是_【答案】4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形考向2 与截距有关的圆的最值问题【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_【答案】或者【解析】由题设到直线的距离，解之得，应填答案【跟踪练习】1【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xoy中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是_【答案】2【解析】设点p（x，y），则=而表示圆上一点与点的斜率，所以当过点的直线与圆相切时取得最值，设直线：由d=r得所以的最大值时，故=点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论2【2018安徽六安模拟】若直线与曲线恰有三个公共点，则实数的取值范围是 （ ）a b c d思路分析：直线与曲线恰有三个公共点，实数的取值范围，可以转化为直线的图象与曲线的图象有三个交点时实数的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出的取值范围；本题曲线的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成3【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆c的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆c相切(1)求圆c的标准方程；(2)设点，若直线与圆c相交于m，n两点，且为锐角，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）试题解析：（1）设圆c的标准方程为：故由题意得，解得，圆c 的标准方程为：（2）由消去y整理得直线与圆c相交于m，n两点，解得， 设，则依题意得，整理得，解得或又，或故实数m的取值范围是点睛：（1）对于为锐角的问题（或点a在以bc为直径的圆外，或），都可转化为，然后坐标化，转化为代数运算处理（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度考向3 与距离有关的圆的最值问题【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系中，已知，则的最小值为（ ）a b c d【答案】b【跟踪练习】1【2018江西赣州红色七校一联】已知圆c：（a0）的圆心在直线 上，且圆c上的点到直线的距离的最大值为，则的值为（ ）a1 b2 c3 d4【答案】c【解析】圆的方程为 ，圆心为 ， 圆c上的点到直线的距离的最大值为 由得，a0，故得 ， =3点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用2【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知，直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点，则的最大值为（ ）a b c d【答案】d【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： ，解得： 或 (舍去)，当时， 的最大值，故选d3【2017辽宁辽南协作校一模】圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）a18 b6 c5 d4【答案】c4【2017安徽宣城二模】已知是圆上一点，且不在坐标轴上， ， ，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为_【答案】8【解析】设点，则直线pa的方程： ，则 同理，则 的最小值为85【2107吉林省延边州模拟】点是圆上的动点，以点为直角顶点的另外两顶在圆上，且的中点为，则的最大值为_【答案】【解析】6【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，且直线： 被椭圆截得的弦长为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与圆： 相切：（i）求圆的标准方程；（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围【答案】（i）；（ii）（i）；（ii）【解析】试题分析：（）由直线过定点， ，可得到，再结合，即可求出椭圆的方程；（）（i）利用圆的几何性质，求出圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，即可求出圆的标准方程；（ii）首先设直线的方程为，利用韦达定理即可求出弦长的表达式，同理利用圆的几何关系可求出弦长的表达式，即可得到的表达式，再用换元法，即可求出的取值范围试题解析：（）由已知得直线过定点， ， ，又， ，解得， ，故所求椭圆的标准方程为（）（i）由（）得直线的方程为，即，又圆的标准方程为，圆心为，圆的半径，圆的标准方程为（ii）由题可得直线的斜率存在，设： ，与椭圆的两个交点为、，由消去得，由，得， ，又圆的圆心到直线： 的距离，圆截直线所得弦长，设， ，则，的对称轴为，在上单调递增， ，【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题考向4 与面积相关的最值问题【例5】 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为_【答案】【例6】动圆c经过点，并且与直线相切，若动圆c与直线总有公共点，则圆c的面积的最小值_【答案】【解析】设圆心为，半径为，即，即，圆心为，圆心到直线的距离为，或，当时，【跟踪练习】1设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为_【答案】【解析】与圆相交所得弦的长为2，故弦心距，所以，与轴相交于点，与轴相交于点，2【2017届高三七校联考期中考试】已知直线与圆m：相交于a，c两点，点b，d分别在圆m上运动，且位于直线ac两侧，则四边形abcd面积的最大值为 【答案】3【2017河南安阳二模】已知圆：，动点在圆：上，则面积的最大值为（ ）a b c d【答案】b【解析】因为，所以，当时， 的面积最大，其最大值为，应选答案b4【2018河南洛阳模拟】已知两动圆和，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：（1）求曲线的方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积的最大值【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点坐标为；（3）【解析】试题分析：（1）设两动圆的公共点为q，则有 ，根据椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，由此求出轨迹方程；（2）先求出，设，当直线斜率存在时设直线方程为 与椭圆方程联立，由韦达定理计算得，所以直线恒过定点，验证当直线斜率不存在时也过此点即可；（3）将三角形面积分割成两部分进行计算，即面积，令，换元，由基本不等式即可求出面积的最大值试题解析： （1）设两动圆的公共点为q，则有由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，所以曲线的方程是：（2）证法一：由题意可知：，设，当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：，把代入有：，因为，所以有，把代入整理：，（有公因式m1）继续化简得：，或（舍），综合斜率不存在的情况，直线恒过定点证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；取特殊直线，则直线的方程为，解方程组得点，同理得点，此时直线恒经过轴上的点下边证明点满足条件当的斜率不存在时，直线方程为：，点的坐标为，满足条件；当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：，把代入得：，所以（3）面积由第（2）小题的代入，整理得：因在椭圆内部，所以，可设，（时取到最大值）所以面积的最大值为考点：1椭圆的定义与几何性质；2直线与椭圆的位置关系；3基本不等式考向5 与圆有关的最值问题综合题【例7】已知实数x，y满足方程x2y24x10，求：（1）的最大值和最小值；（2）yx的最大值和最小值；（3）x2y2的最大值和最小值 【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解常见的最值问题有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【例8】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是_【答案】【例9】设，过定点a的动直线和过定点b的动直线交于点，则的最大值是 【答案】5【跟踪练习】1【2018广西桂林柳州模拟】已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为（ ）a2 b4 c8 d9【答案】d【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误2【2017甘肃兰州高三第一次诊断性考试】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）a b c d【答案】d【解析】设为圆上一点，由题意知，即，所以所在直线倾斜角为30，所以的纵坐标为，的横坐标为，所以，故选d3【2018黑龙江海林朝鲜中学】已知两点， （），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（ ）a b c d【答案】b4【2017吉林吉林大学附中高三第七次模拟】已知圆： 和两点， ，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）a b c d【答案】d【解析】由题意可得点p的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：，即的最小值为1本题选择d选项点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分