高考数学 专题突破练 6 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 文.DOC

专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1设ab为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|ab|的最小值为()a. bp c2p d无法确定答案c解析当弦ab垂直于对称轴时|ab|最短，这时x，yp，|ab|min2p.2已知f是双曲线1的左焦点，a(1,4)，p是双曲线右支上的动点，则|pf|pa|的最小值为()a4 b6 c8 d9答案d解析注意到p点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为f(4,0)，于是由双曲线定义得|pf|pf|2a4，故|pf|pa|2a|pf|pa|4|af|9，当且仅当a、p、f三点共线时等号成立32016哈三中模拟直线l与抛物线c：y22x交于a，b两点，o为坐标原点，若直线oa，ob的斜率k1，k2满足k1k2，则l一定过点()a(3,0) b(3,0) c(1,3) d(2,0)答案a解析设直线l的方程为xmyb，联立直线和抛物线的方程得整理得y22my2b0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y22b，y1y22m，故x1x2(my1b)(my2b)m2y1y2mb(y1y2)b22bm22bm2b2b2.因为k1k2，解得b3，故l的横截距为定值3，即l一定过点(3,0)42017贵州遵义联考设p，q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，即p，q两点间的最大距离是()a5 b. c6 d7答案c解析解法一：设q(x，y)，1y1.因为圆x2(y6)22的圆心为t(0,6)，半径r，则|qt|5，当y时取等号，所以|pq|max56.故选c.解法二：设q(cos，sin)，圆心为m，由已知得m(0,6)，则|mq| 5，故|pq|max56.52016贵阳摸底已知椭圆c：1的左、右顶点分别为a1，a2，点p在c上且直线pa2的斜率的取值范围是2，1，那么直线pa1的斜率的取值范围是()a. b. c. d.答案b解析解法一：设p(x，y)，直线pa1，pa2的斜率分别为k1，k2，易知a1(2,0)，a2(2,0)，则有k1k2，因为2k21，所以k10且21，即12，解得k1.故选b.解法二：设直线pa2的斜率为k2，令k21，则直线pa2的方程为y(x2)，代入椭圆方程并整理得7x216x40，解得x12，x2，从而可得点p的坐标为，于是直线pa1的斜率k1.同理，令k22，可得k1.结合选项知，选项b正确62016山西运城调研已知a，b为抛物线y22px(p0)上的两动点，f为其焦点，且满足afb60，过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线，垂足为n，|mn|ab|，则的最大值为()a1 b. c. d2答案a解析过点a，b作准线的垂线，垂足分别为d，c，因为m为线段ab的中点，bcad，所以|mn|(|bc|ad|)，又因为|af|ad|，|bf|bc|，所以|mn|(|bf|af|)，又|mn|ab|，所以2|ab|af|bf|，两边平方得42|ab|2|af|2|bf|22|af|bf|，即42.在abf中，由余弦定理得|ab|2|af|2|bf|22|af|bf|cos60，即|ab|2|af|2|bf|2|af|bf|，所以42，由|ab|2|af|2|bf|2|af|bf|2|af|bf|af|bf|af|bf|，故|ab|2|af|bf|，所以424，因为0，所以0b0)的离心率e，且过点(0，)，椭圆c的长轴的两端点为a，b，点p为椭圆上异于a，b的动点，定直线x4与直线pa，pb分别交于m，n两点(1)求椭圆c的方程；(2)在x轴上是否存在定点经过以mn为直径的圆？若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由解(1)由题意，可得解得椭圆c的方程为1.(2)a2，a(2,0)，b(2,0)，设pa，pb的斜率分别为k1，k2，p(x0，y0)，则k1，k2，k1k2.由lpa：yk1(x2)，知m(4,6k1)，由lpb：yk2(x2)，知n(4,2k2)，mn的中点为g(4,3k1k2)以mn为直径的圆的方程为(x4)2(y3k1k2)2(6k12k2)2(3k1k2)2.令y0，得x28x169k6k1k2k9k6k1k2k，化简得x28x1612k1k20.将k1k2代入，得x28x16120，即x28x70，解得x7或x1.在x轴上存在定点(1,0)，(7,0)经过以mn为直径的圆112016吉林模拟已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为a，左焦点为f1(2,0)，点b(2，)在椭圆c上，直线ykx(k0)与椭圆c交于e，f两点，直线ae，af分别与y轴交于点m，n.(1)求椭圆c的方程；(2)在x轴上是否存在点p，使得无论非零实数k怎样变化，总有mpn为直角？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由解(1)解法一：设椭圆c的方程为1(ab0)因为椭圆的左焦点为f1(2,0)，所以a2b24.设椭圆的右焦点为f2(2,0)，已知点b(2，)在椭圆c上，由椭圆的定义知|bf1|bf2|2a，所以2a34，所以a2，从而b2.所以椭圆c的方程为1.解法二：设椭圆c的方程为1(ab0)因为椭圆的左焦点为f1(2,0)，所以a2b24.因为点b(2，)在椭圆c上，所以1.由解得a2，b2.所以椭圆c的方程为1.(2)因为椭圆c的左顶点为a，则点a的坐标为(2，0)因为直线ykx(k0)与椭圆1交于e，f两点，设点e(x0，y0)(不妨设x00)，则点f(x0，y0)联立方程组消去y得x2.所以x0，y0.所以直线ae的方程为y(x2)因为直线ae与y轴交于点m，令x0，得y，即点m.同理可得点n.假设在x轴上存在点p(t,0)，使得mpn为直角，则0，即t20，即t240，解得t2或t2.故存在点p(2,0)或p(2,0)，使得无论非零实数k怎样变化，总有mpn为直角122017安徽联考已知抛物线c：y22px经过点m(2,2)，c在点m处的切线交x轴于点n，直线l1经过点n且垂直于x轴(1)求线段on的长；(2)设不经过点m和n的动直线l2：xmyb交c于点a和b，交l1于点e，若直线ma，me，mb的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由解(1)由抛物线c：y22px经过点m(2,2)，得224p，故p1，抛物线c的方程为y22x.c在第一象限的图象对应的函数解析式为y，则y.故c在点m处的切线斜率为，切线的方程为y2(x2)令y0，得x2，所以点n的坐标为(2,0)，故线段on的长为2.(2)l2恒过定点(2,0)，理由如下：由题意可知直线l1的方程为x2.因为l2与l1相交，所以m0.由l2：xmyb，令x2，得y，故e.设a(x1，y1)，b(x2，y2)由消去x，得y22my2b0，则y1y22m，y1y22b.直线ma的斜率为，同理，直线mb的斜率为，直线me的斜率为.因为直线ma，me，mb的斜率依次成等差数列，所以21，即11，整理得.因为l2不经过点n，所以b2，所以2mb22m，即b2，故l2的方程为xmy2，即l2恒过定点(2,0)132017正定月考已知椭圆c：y21(a0)，过椭圆c右顶点和上顶点的直线l与圆x2y2相切(1)求椭圆c的方程；(2)设m是椭圆c的上顶点，过点m分别作直线ma，mb交椭圆c于a，b两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线ab过定点解(1)直线l过点(a,0)和(0,1)，直线l方程为xaya0，直线l与圆x2y2相切，解得a22，椭圆c的方程为y21.(2)证明：当直线ab的斜率不存在时，设a(x0，y0)，则b(x0，y0)，由k1k22，得2，得x01.当直线ab的斜率存在时，设ab的方程为ykxm(m1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，(12k2)x24kmx2m220，得x1x2，x1x2，k1k2222，即(22k)x2x1(m1)(x2x1)(22k)(2m22)(m1)(4km)由m1，(1k)(m1)kmkm1，即ykxm(m1)xmm(x1)yx.故直线ab过定点(1，1)142016贵阳检测已知抛物线c：y22px(p0)，o为坐标原点，f为抛物线的焦点，已知点n(2，m)为抛物线c上一点，且|nf|4.(1)求抛物线c的方程；(2)若直线l过点f交抛物线于不同的两点a，b，交y轴于点m，且a，b，a，br，对任意的直线l，ab是否为定值？若是，求出ab的值；否则，说明理由解(1)因为|nf|4，由抛物线的定