高考数学 命题角度5.4 圆锥曲线的最值范围问题大题狂练 理.doc

命题角度5.4：圆锥曲线的最值范围问题1. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.【答案】（1）；（2）（2）设， ，联立得，依题意， ，化简得， ， ， ，若，则，即，即，化简得，由得， ，原点到直线的距离，又，原点到直线的距离的取值范围是2.已知椭圆的离心率为，短轴长为（）求椭圆的标准方程；（）若圆的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值【答案】（）的标准方程 （）的最大值等于【解析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(2)借助韦达定理表示的最大值,利用二次函数求最值.试题解析:（i），所以,又，解得所以椭圆的标准方程 （ii）设， ， ，易知直线的斜率不为，则设因为与圆相切，则，即；由消去，得，则， ， ，即， ，设，则， ，当时等号成立，所以的最大值等于3. 如图，已知椭圆： 的离心率为， 、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， 、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍（）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（）求三角形的面积的最大值【答案】（）见解析;（）.【解析】试题分析：（）由椭圆的方程可得点p,a,b的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出bp,bq的斜率乘积为定值-1；（）当直线的斜率存在时， ， ， ，当直线的斜率不存在时， ，故综合的最大值为.试题解析：（），故或，所以过定点或，点为右端点，舍去， ，令（）， ， ，当直线的斜率不存在时， ， ，即，解得， ，所以的最大值为.4已知椭圆 的左、右焦点分别为、， 为椭圆的右顶点， ， 分别为椭圆的上、下顶点.线段的延长线与线段交于点，与椭圆交于点.（1）若椭圆的离心率为， 的面积为12，求椭圆的方程；（2）设 ，求实数的最小值.【答案】（1） （2） 试题解析：解：（1）是等腰直角三角形，由勾股定理知， 解得， ， ，则，即， .所以椭圆的方程为.（2）设，因为直线的方程为，直线的方程为，所以联立方程解得.因为，所以，所以，所以，所以， ，代入椭圆的方程，得，即 ，所以 ，因为所以，所以当且仅当即时，取到最小值.5.已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为， 的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为， ，从而得到s的范围. (2)当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为， 的方程为，则的方程为， 的方程为，其中，直线与间的距离为，同理直线与间的距离为，所以，因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，所以 ， (当且仅当时，不等式取等号），所以，即，由可知， .6.已知椭圆（）的右焦点为，过椭圆中心的弦长为2，且， 的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右顶点， 为直线上一动点，直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，设分别为， 的面积，求的最大值.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意求得 ，则椭圆方程为；(2)由题意求得面积比值的解析式，当且仅当，即时取“”.试题解析：解：（2）设直线，代入中， 得，解得同理，设直线，带入中，得，解得当且仅当，即时取“”7. 已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值【答案】（）;（）【解析】试题分析：（1）由垂直平分线的几何意义可知，满足椭圆的定义。（2）直线与椭圆组方程组，由韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式，可求得 由，得及均值不等式可求得面积的最大值（）设联立消去，得此时有由一元二次方程根与系数的关系，得， 原点到直线的距离， 由，得又，据基本不等式，得当且仅当时，不等式取等号面积的最大值为8.已知点，点是直线上的动点，过作直线， ，线段的垂直平分线与交于点(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义求解即可；（2）设出的三个顶点的坐标，表示出的解析式，化简之后可得为关于的方程的两根，然后由韦达定理表示的长度，最后在中消去参数，故可以得到的取值范围.试题解析： (1)据题设分析知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.(2)设，点，点，直线的方程为，化简，得，又因为内切圆的方程为所以圆心到直线的距离为1，即，所以，由题意，得，所以.同理，有，所以是关于的方程的两根，所以因为所以.因为，所以.直线的斜率，则，所以.因为函数在上单调递增，所以当时， ，所以，所以，所以.所以的取值范围是.9. 如下图，已知椭圆的上顶点为，左、右顶点为，右焦点为， ，且的周长为14.（i）求椭圆的离心率；（ii）过点的直线与椭圆相交于不同两点，点n在线段上设，试判断点是否在一条定直线上，并求实数的取值范围【答案】（）；（） .试题解析：（i）由，得， 的周长为，即，得，所以，椭圆的离心率为； （ii）显然直线l的斜率存在，设l的方程为，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，n(x0，y0)，由，得，化简得，-6分由消去x，得，得， ，代入式得，由得， 因为，得，所以，因此，n在一条直线上，实数 【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为，不妨设，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，n(x0，y0)， ，由，得，化简得，6分由， ，得，由消去x，得，可知 ，得， ， ，代入式得，由得， 由式得 ，得，因此，n在一条直线上，实数 法三：设p(x1，y1)，q(x2，y2)，n(x0，y0)， ，由，得 所以,将， 代入椭圆方程得上面两式相减化简得，因为，得，所以，因此，n在一条直线上，实数 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用10.平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.()求椭圆的方程；（）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆 于两点，射线 交椭圆 于点 .( i )求的值；（ii）求面积的最大值.【答案】（i）；（ii）( i )2；（ii） .（ii）由（i）知椭圆e的