高考数学 专题6.1 数列的通项公式与求和试题 理.doc

专题6.1 数列的通项公式与求和【三年高考】1. 【2017课标ii，理3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）a1盏 b3盏 c5盏 d9盏【答案】b2.【2017课标ii，理15】等差数列的前项和为，则 。【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有： ，解得 ，数列的前n项和,裂项有：，据此： 。3. 【2017山东，理19】已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xoy中，依次连接点p1(x1, 1)，p2(x2, 2)pn+1(xn+1, n+1)得到折线p1 p2pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【解析】(i)设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为,所以，因此数列的通项公式为（ii）过向轴作垂线，垂足分别为,由(i)得记梯形的面积为.由题意，所以+=+ 又+ -得= 所以4【2016高考浙江理数】设数列an的前n项和为sn.若s2=4，an+1=2sn+1，nn*，则a1= ，s5= .【答案】 5. 【2016高考山东理数】已知数列 的前n项和sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和tn.【解析】（）由题意知当时，当时，所以.设数列的公差为，由，即，可解得，所以.（）由（）知，又，得，两式作差，得，所以6【2016高考江苏卷】记.对数列和的子集t，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.（3）下面分三种情况证明.若是的子集，则.若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.令，则，.于是，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合得，. 7【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.()设，求证：是等差数列；()设 ，求证：【解析】（i）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（ii）证明： ,所以.8 【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，则_【答案】【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以9.【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 【答案】【解析】由题意得：，所以10. 【2015高考新课标1，理17】为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【解析】（）当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；（）由（）知，=，所以数列前n项和为= =.11.【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知.（i）求的通项公式；（ii）若数列满足，求的前n项和.【解析】（i）因为 ，所以， ，故 当 时， 此时， 即 所以， （ii）因为 ，所以 ，当 时， ，所以 当 时， ，所以，两式相减，得 ，所以，经检验， 时也适合，综上可得：【2017考试大纲】数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查由于连续三年大题没涉及数列,故预测2018年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力 【2018年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系【考点1】数列的概念与表示【备考知识梳理】1定义：按照一定顺序排列着的一列数2表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法3分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列4与的关系：5处理方法：.用函数的观点处理数列问题【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看 “各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式【考点针对训练】1. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】若数列是正项数列，且，则_.【答案】2.数列的一个通项公式是a b c d 【答案】c.【解析】根据已知分别验证各个选项即可得出答案，即当时，不满足题意，所以选项a不正确；当时，不满足题意，所以选项b不正确；当时，不满足题意，所以选项d不正确；当时，均满足题意，所以选项c正确，故应选c.【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目2、公式法， 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法【规律方法技巧】数列的通项的求法： 公式法： 等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知（即）求，用作差法：.已知求，用作商法：.若求用累加法：.已知求，用累乘法：.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求.如(21)已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解. （3）由与的关系，可以先求，再求，或者先转化为项与项的递推关系，再求【考点针对训练】1. 【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知数列的前项和为，且，则满足的的最小值为（ ）a b c d【答案】a【解析】由已知可得：当时，故选a.2. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则（ ）a b c. d【答案】b【考点3】数列求和【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点估计在以后的高考中不会有太大的改变数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：基本公式法：等差数列求和公式： 等比数列求和公式：.错位相消法：一般适应于数列的前向求和，其中成等差数列，成等比数列分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理【考点针对训练】1. 【安徽师范大学附属中学2017届高三上学期期中】用表示不超过的最大整数，例如，.已知数列满足，则_.【答案】【解析】因为，所以，因此数列是递增数列，且，由得，所以，所以2. 【山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知数列的前项和为，且,数列满足, 则数列的前项和 _.【答案】【应试技巧点拨】1. 由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.特征一：，数列的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.特征二：，数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.特征三：，数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.特征四：，数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.4. 利用转化，解决递推公式为与的关系式.数列的前项和与通项的关系：.通过纽带：，根据题目求解特点，消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉，利用已知递推式，把n换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉，只需把带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式成立的条件5.由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为用累加法；递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为个式子，不要误认为个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为（其中p，q均为常数，）.把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解. 1. 【2017福建三明5月质检】已知数列的前项和为，且， ，则（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】数列an满足a1=1,an+1an=2n(nn)，a2a1=2,解得a2=2.,当n2时, ，数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2.则.本题选择a选项.2. 【2017黑龙江哈师大附中三模】已知数列满足，则的前50项的和为_.【答案】1375【解析】因为，所以，则，即，又，应填答案。3. 【2017江西九江三模】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: ，该数列的特点是：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】,则： .本题选择a选项.4. 【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研】已知数列满足，则所有可能的值构成的集合为（ ）a b c d【答案】d 5. 【2017安徽阜阳二模】数列满足，且对任意，数列的前项和为，则 的整数部分是 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】解：由数列的递推公式可得： ，结合递推公式，当 时： ，且有： ，故： ，据此可得： 的整数部分为 .6. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】在数列中，且，则（ ）a0 b1300 c.2600 d2602【答案】c【解析】由，当时，得，即；当时，得，由此可得，当为奇数时，；当为偶数时， 7. 【2017湖南娄底二模】已知各项都为整数的数列中， ，且对任意的，满足， ，则_【答案】【解析】由，得，两式相加得，又 ， ，所以，从而.8. 【2017重庆二诊】已知数列的前项和为，若， ， ，则_（用数字作答）【答案】【解析】由题设可得，取可得，将以上个等式两边分别相加可得；又，所以，应填答案。9. 【2017安徽马鞍山二模】已知数列是公差不为0的等差数列， ，且， ， 成等比数列()求数列的通项公式；()设，求数列的前2017项和【解析】()设等差数列的公差为，由题意可知，所以； ()由()可知， ，所以数列的前2017项和为 10. 【四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试】设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)令，解得由，有， 两式相减得，化简得（n2）， 数列是以首项为1，公比为2 的等比数列， 数列的通项公式 (2)由，整理得k，令，则， n=1，2，3，4，5时， n=6，7，8，时，即 b5=， 的最大值是实数k的取值范围是 11. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】数列满足，对任意的都有，则（ ）a b c d【答案】d【解析】由已知，累加法可得，则，所以12. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】数列满足：，且对任意的，都有，则（ ）a b c d【答案】d13. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺】已知数列满足，若数列的最小项为，则实数的值为（ ）a b c d【答案】b【解析】数列，令,，由，解得，此时函数单调递增；由，解得，此时函数单调递减对于来说，最小值只能是或中的最小值，最小，解得故选：b 14. 【2016年河北石家庄高三二模】数列满足：，则数列前项的和为_.【答案】【解析】令,解得,令,则,解得,对两边除以,得,故数列是以为首项,公差为的等差数列,所以,故其前项的和为.15. 【2016届吉林四平一中高三五模】数列的前项和为，.（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为.【解析】（1）因为，所以，所以.又因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以.当时，所以.（2），当时，当时， -得：，,所以，又因为也满足上式，所以. 【一年原创真预测】1. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷）】已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足，（），若成等差数列，则（）a8b9c7或8d8或9【答案】d【解析】当时，解得；当时，由，得，则，整理，得，配方，得由题意知，数列为单调递增数列，且，则，即，所以数列为等差数列，则，所以，则由成等差数列，得，所以因为，故只能取2，3，5当时，；当时，；当时，所以或9，故选d【入选理由】本题考查数列通项与前项和间的关系、等差数列，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、估算能力表面看题，似难度重重，认真审题，找出规律，从而可解，难度不大，有一定的技巧，故选此题.2数列满足，其前项和为，若