高考数学 命题角度6.4 导数与不等式大题狂练 理.doc

命题角度4：导数与不等式1.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：对任意的实数，都有.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为;（2）见解析.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（）问题转化为证明，先证出，再证明令，根据函数的单调性证明即可试题解析：（1）定义域为，当时，在上单调递增，当时，令，有，0极小值所以的单调减区间为，单调增区间为.综合，当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为.当时，从而.接下来只需证：，即证：，令，则，所以在上单调递减，上单调递增，即，时，.点晴:本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.2已知， .（1）求函数的极值；（2）求证：当时， .【答案】（1）， 无极大值；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，令和，结合极值的定义得结果；（2）由对函数求导得到函数在上单调递减， 单调递增，要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果；（3）问题等价于，由（1）知的最小值为，令（）使得成立即可.（2）问题等价于由（1）知的最小值为令（）易知在上单调递增， 上单调递减又， 故当时， 成立考点：（1）利用导数求函数的极值；（2）不等式的证明.【方法点睛】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数求函数的极值的步骤：确定函数的定义域；对求导；求不等式和的解，根据单调性求极值；函数零点的个数转化为函数图象与轴的交点的问题，由数形结合思想，根据单调性得结果；观察所证式子的特征，利用前面的结论，构造不等式，可证结果.3.设，函数.()若，求曲线在处的切线方程；()若无零点，求实数的取值范围；()若有两个相异零点，求证： .【答案】() ；() ；()证明见解析.【解析】试题分析：()首先求得函数的导数，然后利用导函数研究函数的切线可得曲线在处的切线方程是；()结合函数的解析式分类讨论可得实数的取值范围是；()由题意结合题中的结论构造函数即可证得题中的不等式.若有唯一零点；若，令，得，在区间上， ，函数是增函数；在区间上， ，函数是减函数；故在区间上， 的最大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是.()设的两个相异零点为，设，要证，只需证，只需，等价于，设上式转化为)，设，在上单调递增，.4.已知二次函数对都满足且，设函数（， ）（）求的表达式；（）设， ，求证：对于恒有【答案】（）（）见解析.【解析】试题分析：（）设，根据=直接可得答案（）先根据h（x）的导数小于等于0判断出h（x）单调递减的，只要证明|h（m）-h（1）|1即可试题解析：（）设，于是所以 又，则所以 （）因为对， 所以在内单调递减于是.记，则所以函数在是单调增函数， 所以，故命题成立点睛：本题考查函数的表达式的求法，考查满足条件的实数的取值范围是否存在的判断与求法，恒成立问题采用变量分离求最值得范围，双变元问题分别找最值求解，借助于导数求单调性.5.已知函数，函数.（）求函数的单调区间；（）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（）若，求证：不等式： .【答案】(1)略（2） （3）略.【解析】试题分析：对函数求导，讨论，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出的范围；借助第二步的结论，证明不等式.试题解析：（） ， 当时，增区间，无减区间当时，增区间，减区间 （） 即在上恒成立 设，考虑到，在上为增函数， 当时， 在上为增函数， 恒成立当时， ， 在上为增函数，在上， ， 递减，这时不合题意， 综上所述， 所以原不等式成立.6.已知函数（）若函数有零点，其实数的取值范围（）证明：当时， 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，分类讨论求出函数的最值，即可证明.试题解析：（1）函数的定义域为.由，得.当时， 恒成立，函数在上单调递增，又，所以函数在定义域上有个零点.当时，则时， 时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又，所以函数在定义域上有个零点.综上所述实数的取值范围为.当时， .于是，当时， .令，则.当时， ；当时， .所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时， .于是，当时， .显然，不等式、中的等号不能同时成立.故当时， ).7. 已知函数，（）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；（）当时，恒成立，求整数的最大值；（）证明： 【答案】()；（）；（）证明见解析.试题解析：()由题意可知，和在处有相同的切线，即在处且，解得. （）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证. 由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，即不恒成立.因此整数的最大值为2. （）由，令，即，即由此可知，当时，当时，当时，当时，. 综上：. 即.8.已知函数.(1) 求的极值；(2) 当时，求证： 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合导函数研究原函数可得在时取极小值，极小值为，无极大值.(2)原问题等价于.构造新函数，结合题意和函数的特征即可证得题中的结论.试题解析：在递减，在递增，所以 ，设，递增.，故结论成立.9. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）设 (其中为的导函数) ，证明: 时， .【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）详见解析.【解析】试题分析：试题解析：解：(1)函数的定义域为，由于在上是减函数，所以当时， ；当时， .所以的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由，当时，由(1) 知，所以. 当时， ，构造函数，则，则当时， ，易知当时， ， .要证，只需证，设，得，由，得，当时， ，则单调递增；当时， ，则单调递减，当时， ，所以当时， 成立.综合 可知：当时， .10.设函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，