高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第19讲 导数的应用.doc

第19讲 导数的应用【知识要点】一、用导数求函数的单调区间 求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间.一般地，函数在某个区间可导 ，0 在这个区间是增函数 一般地，函数在某个区间可导 ，0 在这个区间是减函数二、求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值.三、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.【方法讲评】应用一求函数的单调性解题步骤求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间.【例1】已知函数,求导函数,并确定的单调区间.所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减【点评】（1）求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式（)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间.（2）注意分类讨论的思想.【反馈检测1】已知函数应用二求函数的极值解题步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.【例2】已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围.（2），在区间上有最值，在区间上有极值，即方程在上有一个或两个不等实根，又，则题意知：对任意，恒成立，因为，对任意，恒成立，. 【点评】（1）考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程在上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为恒成立，利用分离参数得解. 【反馈检测2】设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立应用三求函数的最值解题步骤（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.【例3】 已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.【解析】（）的定义域为， 的导数. 令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值. 故是上的增函数， 所以 的最小值是，所以的取值范围是. 【点评】（1）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值.（2）分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用.【反馈检测3】已知函数()当时, 求的最大值;() 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.应用四证明不等式解题步骤一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.【例4】求证下列不等式（1） （2） （3） （2）原式 令 因为 （3）令 因为 【方法点评】证明函数不等式，一般先要构造函数，再利用导数研究函数的单调性、最值和极值等来解答.【反馈检测4】设，（）令，讨论在内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有应用五解应用题解题步骤（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义;（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系（注意确定函数的定义域）；（3）求函数的导数，解方程；（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明. 【例5 】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（2）理解函数f（x）的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.【反馈检测5】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第19讲：导数的应用参考答案【反馈检测1答案】时，在上也是增函数；时，在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.【反馈检测2答案】（）；（）见解析；（）证明见解析. 【反馈检测2详细解析】（）解：当时，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且（）证明：由，得，当时，由（）知，在上是减函数，要使，只要 即设，则函数在上的最大值为要使式恒成立，必须，即或所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立【反馈检测3答案】() ；() 存在符合条件.()答: 存在符合条件.解: 因为=,不妨设任意不同两点，其中则 ,由 知: 1+.因为，所以1+，故存在符合条件.【反馈检测4答案】（）在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值；（）证明见解析.【反馈检测4详细解析】（）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值【反馈检测5答案】（1）从甲地到乙地要耗油升；（2）当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，