高考数学 热点题型和提分秘籍 专题18 平面向量的概念及其线性运算 文.doc

专题18 平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义热点题型一 平面向量的有关概念例1、给出下列命题：若|a|b|，则ab；若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab。其中真命题的序号是_。【答案】【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。正确，|【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。(3)是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量。【举一反三】 设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0。上述命题中，假命题的个数是()a0b1c2d3【答案】d热点题型二 平面向量的线性运算例2、【2017天津】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【解析】 ,则.【变式探究】 (1)如图，在平行四边形abcd中，对角线ac与bd交于点o，则_。(2)已知p，a，b，c是平面内四点，且，那么一定有()a.2 b.2c.2 d.2【答案】（1）2 （2）d【解析】(1)2，2。(2)，22。【提分秘籍】 向量线性运算的方法技巧向量线性运算，要转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。 【举一反三】 在abc中，已知d是ab边上一点，则实数()a bc. d.【答案】d 【解析】如图，d是ab边上一点，过点d作debc，交ac于点e，过点d作dfac，交bc例3【2017江苏，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.【解析】【变式探究】设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)。求证：a、b、d三点共线。(2)试确定实数k，使kab和akb共线。【解析】(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5。、共线，又它们有公共点b，a、b、d三点共线。(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb。(k)a(k1)b。a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1。【提分秘籍】 1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值。(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛。2证明三点共线的方法若，则a，b，c三点共线。【举一反三】 已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，则实数的值为_。【答案】1 1.【2017课标3】在矩形abcd中，ab=1，ad=2，动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上.若= +，则+的最大值为a3b2cd2【答案】a【解析】如图所示，建立平面直角坐标系点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选a。【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理2.【2017北京】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】a【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么t，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选a.【考点】1.向量；2.充分必要条件.3.【2017课标ii，理12】已知是边长为2的等边三角形，p为平面abc内一点，则的最小是（ ）a. b. c. d.【答案】b【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值4.【2017课标1】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【考点】平面向量的运算.5.【2017天津】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【解析】 ,则.【考点】向量的数量积6.【2017山东】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .【答案】【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.7【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，则：，令，则，据此可得： ，即的最小值是4，最大值是 【考点】平面向量模长运算8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形abcd，abbc，abbcad2，cd3，ac与bd交于点o，记，则a b c d【答案】c【解析】因为， ， ，所以，故选c。【考点】 平面向量数量积运算9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45.若, 则 . a c bo(第12题) 【答案】3 ，所以【考点】向量表示10.【2017江苏，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.【解析】【考点】向量共线，数量积1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（a）8 （b）6 （c）6 （d）8【答案】d【解析】向量，由得，解得，故选d.2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是 . 【答案】【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）（a） (b) （c） (d) 【答案】a【解析】由题知=，故选a.1（2014辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0，命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是()apq bpq c(綈p)(綈q) dp(綈q)【答案】a【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b0时，a，c一定共线，故命题q是真命题故pq为真命题2（2014新课标全国卷 已知a，b，c为圆o上的三点，若()，则与的夹角为_【答案】90【解析】由题易知点o为bc的中点，即bc为圆o的直径，故在abc中，bc对应的角a为直角，即ac与ab的夹角为90.3（2014四川卷）平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mr)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()a2 b1c1 d2【答案】2【解析】cmab(m4，2m2)，由题意知，即，即5m8，解得m2. 1.下列说法正确的是()a.若a与b都是单位向量，则a=bb.若a=b，则|a|=|b|且a与b的方向相同c.若a+b=0，则|a|=|b|d.若a-b=0，则a与b是相反向量2.已知点d是abc的边ab的中点，则向量等于()a.-+b.-c.-d.+【解析】选a.因为点d是ab的中点，所以=+=+=-+.3.已知点p是四边形abcd所在平面内的一点，若=(1+)-，其中r，则点p一定在()a.ab边所在的直线上b.bc边所在的直线上c.bd边所在的直线上d.四边形abcd的内部【解析】选c.因为=(1+)-，所以-=(-)，所以=，所以b，d，p三点共线，因此点p一定在bd边所在的直线上.4.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是()a.|a+b|=|a|+|b|b.|a+b|=|a|-|b|c.|a-b|=|a|+|b|d.|a-b|=|a|-|b|【解析】选c.因为向量a与b共线反向，所以|a+b|a|+|b|，|a+b|0，而|a|-|b|的符号不确定，所以a，b不正确.同理，d不正确，c显然正确.5.已知下列结论已知a是非零向量，r，则a与2a方向相同已知a是非零向量，r，则|a|=|a|若r，则a与a共线若a与b共线，则存在r，使a=b其中正确的个数为()a.0b.1c.2d.46.在平行四边形abcd中，点e是ad的中点，be与ac相交于点f，若=m+n(m，nr)，则的值为()a.-2b.-c.2d.【解析】选a.如图.设=a，=b，7.已知d为abc的边ab的中点.m在dc上且满足5=+3，则abm与abc的面积比为()a.b.c.d.【解析】选c.如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故abm与abc同底且高的比为35，故sabmsabc=35.8.在abc中，n是ac边上一点，且=，p是bn上的一点，若=m+，则实数m的值为()a.b.c.1d.39.o是abc所在平面外一点且满足=+，为实数，则动点p的轨迹必经过abc的()a.重心b.内心c.外心d.垂心【解析】选b.如图，设=，已知均为单位向量，故aedf为菱形，所以ad平分bac，由=+得=，又与有公共点a，故a，d，p三点共线，所以p点在bac的平分线上，故动点p的轨迹经过abc的内心.10.已知a，b，c是平面上不共线的三点，o是abc的重心，动点p满足=，则点p一定为三角形abc的()a.ab边中线的中点b.ab边中线的三等分点(非重心)c.重心d.ab边的中点近c点的一个三等分点.11.已知点d，e，f分别为abc的边bc，ca，ab的中点，且=a，=b，给出下列命题:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正确命题的序号为.【答案】【解析】=a，=b，=+=-a-b，故错;=+=a+b，故正确;12.在abcd中，=a，=b，3=，m为bc的中点，则=.(用a，b表示) 【答案】-a-b13.在abc中，=c，=b，若点d满足=2，则=.【答案】b+c【解析】如图，因为在abc中，=c，=b，且点d满足=2，所以+=2(+)，=+=b+c.14.在abc中，已知d是ab边上一点，=+，则实数=.【答案】15.已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设tr，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t使c，d，e三点在一条直线上?若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.【解析】由题设知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，c，d，e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b，因为a，b不共线，