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第62讲 几何体外接球的半径的求法【知识要点】求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.【方法讲评】方法一模型法解题情景已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解题步骤把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.【例1】已知四面体中，平面，则四面体外接球的表面积为_【点评】(1)本题看起来没有三条直线相交于一点且两两垂直的模型,但是通过推理分析得到了两两垂直,所以可以采用模型法来求几何体外接球的半径. （2）利用模型法解答时，一定要保证几何体的所有顶点都和长方体的顶点重合，这才能保证几何体的外接球和长方体的外接球是同一个外接球，才能用长方体的外接球半径公式，有一个点不是长方体的顶点都不行.【反馈检测1】已知棱长为的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为_.方法二解三角形法解题情景几何体不能放到长方体模型中.解题步骤找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.【例2】在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积 . 【点评】(1)由于本题的几何体不宜放在长方体模型中,所以用解三角形法解答. （2）利用解三角形法求几何体外接球的半径，先要找到球心的位置，要找球心的位置，没有固定的规律，要结合几何体的特征，发挥自己的空间想象力分析，本题由于是直三棱柱，所以球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，如果是其它的几何体就不是这个位置了. 找到球心的位置后，再确定截面圆的圆心位置，再表示出球心到截面圆圆心的距离，这个是难点，要结合几何图形分析.最后是解，求出球的半径. （2）如果几何体底面是三角形，求截面圆的半径，一般利用正弦定理求截面圆的半径. 【反馈检测2】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）a. b. c. d. 【反馈检测3】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）a. b. c. d. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第62讲：几何体外接球的半径的求法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】【反馈检测2答案】d【反馈检测2详细解析】因为为等腰直角三角形，所以ac为截面圆的直径，故该三棱锥的外接球的球心o在截面abc中的射影为ac的中点d，当p,o,d三点共线且p,o位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱
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