高考数学 专题8.3 空间角与综合问题试题 理.doc

专题8.3 空间角与综合问题【三年高考】1. 【2017课标ii，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）a b c d【答案】c2. 【2017浙江，9】如图，已知正四面体dabc（所有棱长均相等的三棱锥），p，q，r分别为ab，bc，ca上的点，ap=pb，分别记二面角dprq，dpqr，dqrp的平面角为，则abcd0时与同向，当0），g(x,y,z)，由cg=tga可得g(61+t,61+t,6t1+t)，则ed=(0,6,0)，eg=(61+t,61+t,6t1+t)易知平面ceg的一个法向量为db=6,-6,0，设平面deg的一个法向量为n=(x0,y0,z0)，则ned=0neg=0得6y0=061+tx0+61+ty0+6t1+tz0=0，令x0=1得z0=-1t，n=(1,0,-1t)，所以dbn|db|n|=105，6621+1t2=105解得t=2，所以cgga=2【考点4】立体几何综合问题【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有：1)以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明.2)探索性问题中的平行与垂直问题.3)折叠问题中的平行与垂直问题.【规律方法技巧】1. 证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行.线线平行是平行关系的根本.5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直2. 探索性问题:探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点3折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，弄清哪些角度和长度变了，哪些没有变；哪些线共面，哪些线不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直线. 尤其是隐含着的垂直关系4把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决.求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”.（1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；（3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题.5. 向量为谋求解立体几何的探索性问题:空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题.【考点针对训练】1. 【福建省莆田2017届高三二模】 如图，在梯形中， ， ，四边形为矩形，且平面， .（1）求证： 平面；（2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【解析】 (i)在梯形中，设，又,，. ， ，而， . (ii)由(i)可建立分别以直线， ， 为轴， 轴， 轴的如图所示建立空间直角坐标系，设，令 (),则 (0，0，0)， (，0，0)， (0，1，0)， (，0，1)，=(-，1，0)， =( ，-1，1)， 设为平面的一个法向量，由得取,则=(1, , ), =(1,0,0)是平面的一个法向量, ,当时， 有最小值，点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.2. 【福建泉州2017年毕业班质量检查】 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形， ， ， ， 为的中点，点在线段上.()求证： ；()试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.（）侧面底面， ，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，所以， ， ，设，则， ，所以，易得平面的法向量设平面的法向量为，由， ，得，令，得因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以【应试技巧点拨】1探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.2. 如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.（2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法-等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h！利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线ab与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（4）万能方法，空间向量求解不用找角设ab是平面的斜线，bo是平面的垂线，ab与平面所成的角,向量与的夹角，则.3.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式 ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.法二：设,是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角的平面角4.如何建立适当的坐标系根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法.常见建系方法：（1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2；（2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图3；（3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z轴，然后在底面确定互相垂直的直线分别为x，y轴.如图4.5.如何确定平面的法向量（1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法；（2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设由解方程组求得.6. 向量为谋求解立体几何的探索性问题空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题. 1. 【福建泉州2017年毕业班质量检查】在四面体中，若， ， ，则直线与所成角的余弦值为（）a. b. c. d. 【答案】d 2. 【四川省成都市2017届高中第三次诊】在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑abcd中，ab平面bcd，且ab=bc=cd，则异面直线ac与bd所成角的余弦值为（）a. 12 b. -12 c. 32 d. -32【答案】a【解析】由题意，可补形成正方体如下图：所以异面直线ac与bd所成角就是ed与bd所以角，而bde为直角三角形，所以所成角为3，cos3=12。选a.3.【2017届湖南省郴州市高三第四次质检】如图，矩形abcd中，ab=2ad，e为边ab的中点，将ade沿直线de翻转成a1de（a1平面abcd）若m、o分别为线段a1c、de的中点，则在ade翻转过程中，下列说法错误的是（ ）a. 与平面a1de垂直的直线必与直线bm垂直 b. 异面直线bm与a1e所成角是定值c. 一定存在某个位置，使demo d. 三棱锥a1-ade外接球半径与棱ad的长之比为定值【答案】c【解析】取cd的中点f，连bf,mf,如下图：可知面mbf/a1de,所以a对。取a1d中点g,可知eg/bm，如下图，可知b对。点a关于直线de的对为f,则de面a1af，即过o与de垂直的直线在平面a1af上。故c错。三棱锥a1-ade外接球的球心即为o点，所以外接球半径为22ad。故d对。选c4. 【广西桂林市2017届高三适应性】正四面体中， 是棱的中点， 是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案b。5. 【重庆市2017届高三高考适应】四棱锥的底面为平行四边形，且，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，则与所成的锐角的余弦值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分别过顶点p作， ,则直线mp为平面pad与平面pbc的交线，即为m, 直线np为平面pab与平面pdc的交线，即为n，所以ab与bc所成的角即为m与n所成的角，在中， ，所以m与n所成的锐角的余弦值为 ，选b.6. 【河北省衡水中学2017届三摸】已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60，则四面体的体积为_【答案】6【解析】设平面abc与平面交线为ce，取 ,则 7. 【河北省2017届衡水中学押题卷iii】如图所示，在棱长为2的正方体中， ， 分别是， 的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于_【答案】8. 【江苏省徐州市2017届高三信息卷】在三棱柱中， 平面， ， ， ，点在棱上，且建立如图所示的空间直角坐标系（1）当时，求异面直线与的夹角的余弦值；（2）若二面角的平面角为，求的值【解析】（1）易知， ， 因为， ，所以，当时， 所以， 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为 （2）由可知， ，所以，由（1）知， 设平面的法向量为，则 即 令，解得， ，所以平面的一个法向量为 设平面的法向量为，则 即 令，解得， ，所以平面的一个法向量为 因为二面角的平面角为，所以，即，解得或（舍），故的值为9. 【辽宁省庄河市2017届高三四模】如图，四棱锥中，底面是矩形，平面 平面，且是边长为的等边三角形， ，点是的中点.（1）求证： 平面 ；（2）点 在 上，且满足 ，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)连 交 于点， 连 ，因为四边形 是矩形，所以点是 的中点，又点 是 的中点， ，又 平面 平面 ，所以平面.(2)取 的中点，则 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，连接 ，在 中， ，所以在 中， ，以 为原