高考数学一轮总复习 专题2.8 函数与方程练习（含解析）理.doc

专题2.8 函数与方程【真题回放】1【2017课标3理11】已知函数有唯一零点，则a=（ ）a b c d1【答案】c【考点解读】本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性、数形结合能力及化归思想和分类讨论的思想等，属于难题。解题可通过等价转化为函数y=1（x1）2的图象与的图象只有一个交点求a的值分a=0、a0、a0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论2.【2017山东理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）（a） （b）（c） （d）【答案】b【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选b. 【考点解读】本题考查了函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用。注意对分类思想的运用。3.【2017高考江苏理14】设f(x)是定义在r 且周期为1的函数，在区间上，其中集合d=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .【答案】8 【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合d的解读）考点分析考点了解a掌握b灵活运用c函数的零点b二分法a函数与方程是运用函数思想解决方程问题，体现了函数的统领作用。这部分内容要求学生掌握零点的概念（三种等价表达），零点判定定理及二分法，进一步感悟函数思想及数形结合的思想方法。高考对该部分考查主要为，求函数的零点所在区间，判断零点的个数，已知零点求参数的取值范围等。解决问题中要注意数形结合思想的运用。融会贯通题型一确定函数零点所在的区间典例1. （1）(2017海口中学高一期末) 方程的根所在的区间是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】设，方程的根就是函数的零点，因为是单调递增函数，且， ，所以函数的零点所在区间是，因此方程的根所在区间是，故选b. （2）(2017福州模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)两个零点分别位于区间()a(a，b)和(b，c)内b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内d(，a)和(c，)内【答案】a【解析】f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)， ab0，f(b)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内（3）（2017银川一中模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）a. b. c. d. 【答案】b（4）（2017兰州模拟）已知函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】设 ，则原函数可化为 解题技巧与方法总结确定函数零点所在区间的方法1解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上2利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点3数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【变式训练】（1）(2017嘉兴模拟)设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nn，则x0所在的区间是_【答案】(1,2)【解析】设f(x)x3x2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与yx2的图象，如图所示因为f(1)1110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)（2）（2017哈尔滨模拟）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】a （3）（2017兰州模拟）已知， 是方程的两个解，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b知识链接：知识点1函数的零点1函数零点的定义；对于函数yf(x)(xd)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点2三个等价关系；方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数零点的判定(零点存在性定理)；如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)1，函数ylogx在(0，)上递减，两个函数在有2个交点，共5个交点，故选c. （2）(2017石家庄一中高一期末)已知函数，则函数y=ff（x）1的零点个数是（）a1 b2 c3 d4【答案】c【解析】当x0时，y=ff（x）1=x+1+11=0，解得x=1，当0x1时，y=ff（x）1=log2x+11=0，解得x=1，当x1时，y=ff（x）1=log2（log2x）1=0，解得x=4，综上所述函数的零点的个数为3个，故选：c（3）（2017衡水金卷）设定义在区间k，k上的函数是奇函数，且，若x表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k6的零点，则x0=（）a1 b1或2 c2 d3【答案】c (4)（2017武汉模拟）已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(ln x)ln x的零点个数为_【答案】3【解析】sgn(ln x)故函数f(x)sgn(ln x)ln x的零点有3个，分别为；e, 1， .解题技巧与方法总结判断函数零点个数的方法1解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，f(2)f(3)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210必会结论(1)若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号必知联系(1)研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究g(x)f(x)g(x)的零点(2)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题(3)f(a)f(b)0是f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件题型三函数零点的应用典例3.（1）（2017兰州模拟）设函数，且关于的方程恰有3 个不同的实数根，则的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】不妨设 ,则,所以 ,因此 ,选d. (2)(2017银川模拟)若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b（3）（2017银川一中高考模拟）已知函数的周期为,当时, 如果，则函数的所有零点之和为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由已知,在同一坐标系中分别画出函数的图象和 的图象,如下图所示,当 时, 为增函数,且 ,当时, ,两个函数的图象没有交点,根据它们的图象都是关于直线 对称,结合图象知有8个交点,利用对称性,这8个交点的横坐标之和为,即所有零点之和为8.选a.（4）（2017衡水金卷）已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ）a. b. c. d. 【答案】c解题技巧与方法总结已知函数有零点求参数取值范围常用的方法1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【变式训练】（1）（2017兰州模拟）定义； ， ，若 有四个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由题意可知当 时，当时，作出函数和的图象如下：其中红色线为的图象，由图可知当时，直线和函数有4个不同的公共点，故方程有四个不同的实数解，故选d. （2）（2017镇江市高三一模）已知函数与函数的图象共有（）个公共点：， ， ，则 【答案】2（3）（2017衡水金卷）设是定义在上的偶函数，且时，当时， ，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】 d【解析】由已知在上递减， 是偶函数，则在上递增，又，即的图象关于直线对称，因此在上递减，在上递增（实际上是周期为4的周期函数），方程在区间内有4个根，即函数与函数的图象有4个交点，如图，所以且，解得，故选d（4）（2017北京海淀区一模）已知函数，关于的方程（）有四个不同的实数解，则的取值范围为 【答案】 （0,1） （5）（2017石家庄高三联考）对于函数，若其定义域内存在两个不同实数，使得成立，则称函数具有性质，若函数具有性质，则实数的取值范围为_【答案】课本典例解析与变式例1.【必修1第八十八页例1】求函数的零点的个数.【解析】用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:x123456789f(x)41.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972 由上表和图可知，f(2)0,则f(2)f(3)0，f(3)0，f(5)0，所以在区间2,3，3,4，4,5内有零点变式3.（2016兰州模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由，得， .所以零点在区间.变式4.（2016山东高考）已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.【答案】 【课本回眸反思】 1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；3 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。练习检测1.（2017甘肃武威高一期末) 方程的根所在区间是（ ）a. b. c. d. 【答案】d考点：零点判定定理2.(2017梅州模拟)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为( )a1 b2 c3 d4【答案】b【解析】函数f(x)2x|log0.5x|1的零点即2x|log0.5x|10的解，即|log0.5x|x的解，作出函数g(x)|log0.5x|和函数h(x)x的图象，由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f(x)2x|log0.5x|1有2个零点考点：零点的概念3(2017襄阳模拟)已知f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()a1,3 b3，1,1,3c2，1,3 d2，1,3【答案】d考点：函数的奇偶性及零点的概念4.（2017广东高三七校联考）若函数的零点在区间上，则的取值范围是（ ）a b c d【答案】c【解析】单调递增, ,故选c.考点：函数的单调性与零点的概念5.（2017届黑龙江宝清县高三质检）若偶函数，满足，且 时，则方程在内的根的个数为（ ）a12 b10 c9 d8【答案】d【解析】,将原命题转化为方程组在内的根的个数，进而转化为交点个数，易得是偶函数，先做出两函数在上的图象，从而得到两函数在上有个交点，再根据偶函数的性质可得两函数在上有个交点，从而可得方程在内的根的个数为个，故选d.考点：函数的性质与零点的概念6.（2017衡水金卷）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d考点：零点的概念与函数的性质7.（2017衡水金卷）定义域为r的偶函数满足对任意的，有且当时， ，若函数在上恰有六个零点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】令，则，所以，所以，即函数的周期为，由此可画出函数和的图像如下图所示.由图可知， ，故.考点：函数的奇偶性与周期性，零点概念及数形结合的数学思想方法. 8.（2017开封高三一模）已知函数， （），设方程， ， 的实根的个数为分别为、，则（ ）a. 9 b. 13 c. 17 d. 21【答案】b 极小值为，极大值为. 方程的实根为方程或或的根，显然方程有3个根，方程与各有个根，从而方程，实根的个数为5，即n=5；记方程除0外的另外两个实根分别为， 可知，方程的实根为方程或或的根，显然方程有3个根，方程与各有个根，从而方程根的个数为5，即t=5，故13.故选b.考点：零点的概念及复合函数和换元法。9(2017昆山模拟)函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_【答案】考点：零点概念10.（2016天津河东区高三一模）已知函数f(x)|x23x|，xr.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_【答案】(0,1)(9，)【解析】 设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示由图可知f(x)a|x1|0有4