高考数学二轮复习 专题17 算法、复数、推理与证明讲学案 理.doc

专题17 算法、复数、推理与证明1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习一、算法框图与复数1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种(2)三种基本的算法结构依次进行多个处理的结构称为顺序结构先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构需要重复执行同一操作的结构称为循环结构2复数(1)复数的相关概念及分类定义：形如abi(a、br)的数叫复数，其中a为实部，b为虚部；i是虚数单位，且满足i21.分类：设复数zabi(a、br)zrb0；z为虚数b0，z为纯虚数.共轭复数：复数abi的共轭复数为abi.复数的模：复数zabi的模|z|.(2)复数相等的充要条件abicdiac且bd(a、b、c、dr)特别地，abi0a0且b0(a、br)(3)运算法则加减法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.乘法：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.除法：(abi)(cdi).(4)复数加减法的几何意义加法：若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1z2是以、为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数减法：复数z1z2是连接向量、的终点，并指向的终点的向量对应的复数二、推理与证明 1.合情推理(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理归纳推理的思维过程：实验观察概括、推广猜测一般性结论(2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的思维过程：观察、比较联想、类推猜测新的结论2演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真(2)演绎推理的一般模式“三段论” 大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法4间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明pq转向证明：qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判断q为假，推出q为真的方法，叫做反证法(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾5数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当nk(kn，且kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立考点一、程序框图例1【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为 a. b. c. d.【答案】b【解析】由题意得 时判断框中的条件应为不满足，所以选b.【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】当时，不满足； 【变式探究】(2015四川，3)执行如图所示的程序框图，输出s的值为()a b. c d.【答案】d【解析】每次循环的结果依次为：k2，k3，k4，k54，ssin .选d.考点二复数的概念例2【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是ai(1+i)2bi2(1-i)c(1+i)2di(1+i)【答案】c【解析】由为纯虚数知选c【变式探究】【2016高考新课标3文数】若，则（ ）(a)1 (b) -1 (c) (d) 【答案】c【解析】，故选c 【变式探究】(2015安徽，1)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限【答案】b考点三复数的四则运算例3【2017山东，文2】已知i是虚数单位,若复数z满足,则=a.-2i b.2i c.-2 d.2【答案】a【解析】由得,即,所以,故选a.【2016高考天津文数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_.【答案】2【解析】由，可得，所以，故答案为2【变式探究】(2015北京，1)复数i(2i)()a12i b12ic12i d12i【解析】i(2i)2ii212i.【答案】a考点四、类比推理 例4、【2017课标ii，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则a.乙可以知道两人的成绩 b.丁可能知道两人的成绩c.乙、丁可以知道对方的成绩 d.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】d【变式探究】在rtabc中，cacb，斜边ab上的高为h1，则；类比此性质，如图，在四面体pabc中，若pa、pb、pc两两垂直，底面abc上的高为h，则得到的正确结论为_【答案】 【解析】本题考查了合情推理的能力连接co并延长交ab于点d，连接pd，由已知可得pcpd，在直角三角形pdc中，dchpdpc，则hpdpc，所以.容易知道ab平面pdc，所以abpd，在直角三角形apb中，abpdpapb，所以pdpapb，故.(也可以由等体积法得到)【变式探究】在平面直角坐标系中，设abc的顶点分别为a(0，a)、b(b,0)、c(c,0)，点p(0，p)在线段ao上(异于端点)，设a、b、c、p均为非零实数，直线bp、cp分别交ac、ab于点e、f，一同学已正确算出oe的方程：()x()y0，则of的方程为：(_)x()y0.【答案】【解题分析】观察e，f两点可以发现，e、f两点的特征类似，e是bp与ac的交点，f是cp与ab的交点，故直线oe与of的方程应具有类似的特征，而y的系数相同，故只有x的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测1，两式相减得()x()y0，显然直线ab与cp的交点f满足此方程，又原点o也满足此方程，故为所求直线of的方程考点五、直接证明与间接证明例5、若数列an：a1，a2，an(n2)满足|ak1ak|1(k1,2，n1)，则称an为e数列记s(an)a1a2an.(1)写出一个满足a1a50，且s(a5)0的e数列a5；(2)若a112，n2000，证明：e数列an是递增数列的充要条件是an2011.【解题分析】解答这类新定义题型，一定要先弄清新定义的含义，由条件知e数列an任意两邻两项相差1，故可据此任意构造e数列，同时，e数列an递增an1an1. 【变式探究】已知数列an满足：a1，anan10(n1)；数列bn满足：bnaa(n1)(1)求数列an、bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列【解析】(1)由题意可知，1a(1a)令cn1a，则cn1cn.又c11a，则数列cn是首项为c1，公比为的等比数列，即cnn1，假设数列bn中存在三项br、bs、bt(rst)按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列，于是有btbsbr，则只可能有2bsbrbt成立2s1r1t1.两边同乘以3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts，由于rs1000和n=n+1ba1000和n=n+2ca1000和n=n+1da1000和n=n+2【答案】d8.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出s的值小于91，则输入的正整数n的最小值为（ ）a5b4c3d2【答案】d【解析】若,第一次进入循环，成立，成立，第二次进入循环，此时，不成立，所以输出成立，所以输入的正整数的最小值是2，故选d. 【考点】循环结构流程图9.【2017课标ii，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则a.乙可以知道两人的成绩 b.丁可能知道两人的成绩c.乙、丁可以知道对方的成绩 d.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】d【考点】推理10. 【2017课标ii，文10】执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的 a.2 b.3 c.4 d.5【答案】b【解析】阅读流程图，初始化数值. 循环结果执行如下：【考点】循环结构流程图11.【2017北京，文3】执行如图所示的程序框图，输出的值为（a）2 （b）（c） （d）【答案】c【解析】时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环，成立，第三次进入循环， 否，输出，故选c.【考点】循环结构12.【2017天津，文9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .【答案】 【解析】为实数，13.【2017北京，文14】某学习小组由学生和&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数多于女学生人数；（）女学生人数多于教师人数；（）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_【答案】6,12【考点】1.不等式的性质；2.推理.14.【2017江苏，2】 已知复数其中i是虚数单位，则的模是 .【答案】 【解析】，故答案为【考点】复数的模15.【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入的值为,则输出的的值是 . 【答案】-2 【解析】由题意得，故答案为-21.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足（a） （b） （c） （d）【答案】c2.【2016高考新课标3文数】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）（a）3 （b）4 （c）5 （d）6【答案】b3.【2016年高考四川文数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（a）9 （b）18 （c）20 （d）35【答案】b4.【2016高考新课标2文数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）（a）7 （b）12 （c）17 （d）34【答案】c5.【2016年高考北京文数】执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）a.1 b.2 c.3 d.4【答案】b【解析】输入，则，；进入循环体，否，否，此时，输出，则，选b.6.【2016高考山东文数】执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为_.【答案】37.【2016高考天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ）（a）2（b）4（c）6（d）8【答案】b【解析】依次循环：结束循环，输出，选b.8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 .【答案】91.【2016新课标理】设其中,实数,则( )（a）1 （b） （c） （d）2【答案】b【解析】因为所以故选b.2.【2016高考新课标3文数】若，则（ ）(a)1 (b) -1 (c) (d) 【答案】c【解析】，故选c 3.【2016高考新课标2文数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选a.4.【2016年高考北京文数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_.【答案】1【解析】，故填：15.【2016高考山东文数】若复数z满足 其中i为虚数单位，则z=（ ）（a）1+2i（b）12i（c） （d）【答案】b【解析】设，则，故，则，选b.6.【2016高考天津文数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_.【答案】2【解析】由，可得，所以，故答案为27.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是_. 【答案】5【解析】，故z的实部是51(2015重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()a(2，2) b(4，0) c(4，4) d(0，8)【答案】b【解析】第一次循环：s110，t112；x0，y2，k1；第二次循环：s022，t022，x2，y2，k2；第三次循环：s224，t220，x4，y0，k3.输出(4，0)2(2015福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()a2 b1 c0 d1【答案】c3(2015北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()as bscs ds【答案】c【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此s(此时k6)还必须计算一次，因此可填s，选c.4(2015新课标全国，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a()a0 b2 c4 d14【答案】b5(2015山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的t的值为_. 【答案】【解析】当n1时，t1x1dx11；当n2时，tx2dx；当n3时，结束循环，输出t. 6(2015新课标全国，2)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()a1 b0 c1 d2【答案】b【解析】因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得4a0且a244，解得a0，故选b.7(2015广东，2)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则z()a32i b32i c23i d23i【答案】d【解析】因为zi(32i)23i，所以z23i，故选d.8(2015四川，2)设i是虚数单位，则复数i3()ai b3i ci d3i【答案】c【解析】i3ii2ii.选c.9(2015山东，2)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()a1i b1i c1i d1i【答案】a【解析】i，zi(1i)ii21i，z1i.10(2015新课标全国，1)设复数z满足i，则|z|()a1 b. c. d2【答案】a【解析】由i，得1zizi，zi，|z|i|1.11(2015重庆，11)设复数abi(a，br)的模为，则(abi)(abi)_【答案】3【解析】由|abi|得，即a2b23，所以(abi)(abi)a2b23.1. 【2014高考安徽卷文第1题】设是虚数单位，表示复数的共轭复数. 若则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意，故选c.【考点定位】复数的运算、共轭复数.2. 【2014高考北京版文第9题】复数 .【答案】【解析】，所以.【考点定位】复数的运算3. 【2014高考福建卷第1题】复数的共轭复数等于（ ） 【答案】c【解析】依题意可得.故选c.【考点定位】复数的运算.4. 【2014高考广东卷文第2题】已知复数满足，则（ ） a. b. c. d.【答案】a【解析】【考点定位】复数的四则运算 5. 【2014高考湖北卷文第1题】 为虚数单位，则（ ）a. b. c. d.【答案】a【解析】因为，故选a.【考点定位】复数的运算6. 【2014高考湖南卷第1题】满足（是虚数单位）的复数（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由题可得,故选b.【考点定位】复数运算7. 【2014高考江苏卷第2题】已知复数（为虚数单位），则复数的实部是 .【答案】21【解析】由题意，其实部为21【考点定位】复数的概念8. 【2014江西高考文第1题】是的共轭复数. 若，（为虚数单位），则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】设，则由得：，由得：，所以选d.【考点定位】共轭复数 9. 【2014辽宁高考文第2题】设复数z满足，则（ ）a b c d【答案】a【解析】因为，故选a.【考点定位】 复数的运算.10. 【2014全国1高考理第2题】（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由已知得【考点定位】复数的运算11. 【2014全国2高考文第2题】设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）a. - 5 b. 5 c. - 4+ i d. - 4 - i【答案】a【解析】由题意知：，所以-5，故选a。【考点定位】复数12. 【2014山东高考文第1题】已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由已知得，即，所以选d.【考点定位】复数的四则运算，复数的概念.13. 【2014四川高考文第11题】复数 .【答案】.【解析】.【考点定位】复数的基本运算.14. 【2014浙江高考文第2题】已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ）a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充分必要条件 d. 既不充分也不必要条件 【答案】a【解析】当时，反过来，则，解得或，故是的充分不必要条件，故选a【考点定位】复数 15. 【2014重庆高考文第1题】复平面内表示复数的点位于( ) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限【答案】a【解析】因为复数，它在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选a.【考点定位】复数的运算、复平面16. 【2014天津高考文第1题】是虚数单位，复数 （） （a） （b） （c） （d）【答案】a【考点定位】复数的运算17. 【2014大纲高考文第1题】设，则z的共轭复数为（ ）a b c d【答案】d【解析】的共轭复数为，故选d【考点定位】复数的四则运算、共轭复数18. 【2014高考上海理科】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=_.【答案】6【解析】由题意【考点定位】复数的运算. 19.【2014高考上海理科第11题】已知互异的复数a,b满足ab0，集合a,b=,则= .【答案】-1【考点定位】集合、复数20. 【2014天津高考文第3题】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（a）15 （b）105 （c）245 （d）945【答案】b【解析】采用列举法列出运算各步结果结束算法，输出，故选b 【考点定位】程序框图21. 【2014高考安徽卷文第3题】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）a. 34 b. 55 c. 78 d. 89【答案】b【考点定位】程序框图的应用.22. 【2014高考北京卷文第4题】当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）a7 b42 c210 d840【答案】c【解析】当输入、，判断框内的条件为？所以进入循环的的值依次为7,6,5，因此执行后，则由.故选c.【考点定位】程序框图23. 【2014高考福建卷第5题】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ） 【答案】b【解析】依题意可得当,当,当.故选b.【考点