高考数学一轮复习 考点一篇过 专题42 曲线与方程 理.doc

考点42曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.一、曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点m的坐标；（2）写出适合条件p的点m的集合；（3）用坐标表示条件p(m)，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程三、两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.考向一考查曲线与方程的概念判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系：（1）曲线上的每个点都符合某种条件；（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.典例1方程(xy2)x2+y2-90表示的曲线是a一个圆和一条直线b半个圆和一条直线c一个圆和两条射线d一个圆和一条线段【答案】c典例2 方程y=-4-x2对应的曲线是【答案】a【解析】将y=-4-x2平方得x2+y2=4(y0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选a.1方程x2+xy=x表示的曲线是a一个点b一条直线c两条直线d一个点和一条直线考向二直接法求轨迹方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性典例3已知动圆过定点a(4,0),且在y轴上截得弦mn的长为8.求动圆圆心的轨迹c的方程.【解析】如图,设动圆圆心o1(x,y),由题意,得,当o1不在y轴上时,过o1作o1hmn交mn于h,则h是mn的中点,，即，化简得.又当o1在y轴上时,o1与o重合,点o1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹c的方程为y2=8x.2在平面直角坐标系xoy中，已知点a(1,0),b(4,0)，若满足条件,则动点p的轨迹方程为 .考向三定义法求轨迹方程求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制典例4已知圆a：(x+2)2+y2=254，圆b：，动圆p与圆a、圆b均外切.（1）求动圆p的圆心的轨迹c的方程；（2）过圆心b的直线与曲线c交于m、n两点，求mn的最小值.其方程为.（2）设mn的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得(3m2-1)y2+12my+9=0.由，解得-33m0,直线l与抛物线e恒有两个不同的交点m,n.设,则，因为socm=4socn,所以|x1|=4|x2|.又x1x20,所以x1=-4x2,分别代入和,得，解得k=32.所以直线l的方程为y=32x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二：（1）点pi(in*,1i9)都在抛物线e：x2=10y上.证明如下：过ai(in*,1i9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,bi的坐标为(10,i),所以直线obi的方程为y=i10x.由解得pi的坐标为(i,i210).因为点pi的坐标都满足方程x2=10y，所以点pi(in*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线e的方程为x2=10y.（2）同解法一.6过点p1(1,5)作一条直线交x轴于点a,过点p2(2,7)作直线p1a的垂线,交y轴于点b,点m在线段ab上,且|bm|ma|=12,则动点m的轨迹方程为.考向六圆锥曲线中的对称问题圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法.典例8若在抛物线y2=2x上存在相异的两点关于直线l:y=m(x-2)对称,求m的取值范围.【解析】解法一：如图,当m=0时,直线l:y=0恰好是抛物线的对称轴,满足题设条件.当m0时,设p(x1,y1),q(x2,y2)是抛物线上关于直线l对称的两点,则pq的中点是m(,).设直线pq的方程是y=x+b.由消去x,得y2+2my-2mb=0(*).综上可知,所求m的取值范围为(-2,2).解法二(点差法)：当m=0时,同解法一.当m0时,设p(x1,y1),q(x2,y2)是抛物线y2=2x上关于直线l对称的两点,线段pq的中点m的坐标为(x0,y0).点p,q在抛物线上,y12=2x1,y22=2x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),即2y0(y1-y2)=2(x1-x2),(x1x2).直线pql,kpqkl=-1,m=-1,即m+y0=0.又点m在直线l上,y0=m(x0-2).由,得点m的坐标为(1,-m).p,q为抛物线上的两点,点m在抛物线的内部,m22,解得-2m|ac|=2，则可知点m的轨迹就是椭圆，且2a=5，2c=2，结合椭圆的性质可知b=,故其方程为. 4【解析】设动圆圆心p(x,y),过点p作pdl于点d,作直线l:x=2,过点p作pdl于点d,连接pa.因为动圆p与定圆a:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,所以|pa|=1+|pd|,即点p到点a的距离比它到直线l:x=1的距离大1.故点p到点a的距离与它到直线l:x=2的距离相等,即|pa|=|pd|.根据抛物线的定义,知点p的轨迹是以点a为焦点,以直线l:x=2为准线的抛物线,其方程为y2=-8x.【名师点睛】解决此类问题务必要关注直线l与定圆的位置关系,该例中直线l在圆a的右侧且相离,因此动圆p仅在直线l的左侧,动圆圆心p的轨迹自然是抛物线,倘若直线l与定圆相切,其动圆圆心的轨迹就不仅是抛物线了.时,q点即在所求的轨迹上运动.设q(x,y),r(x1,y1),因为r是pq的中点,所以,代入方程x2+y2-4x-10=0,得,整理得x2+y2=56,这就是所求的点q的轨迹方程.6【答案】12x+15y-74=0【解析】设过点p2的直线方程为y-7=k(x-2)(k0),则过点p1的直线方程为y-5=-1k(x-1),所以a(5k+1,0)，b(0,-2k+7).设m(x,y),则由|bm|ma|=12,得,消去k,整理得12x+15y-74=0.当k=0时,易得a(1,0),b(0,7),则m(13,143),也满足上述方程.故点m的轨迹方程为12x+15y-74=0.7【解析】(1)由,得(3-a2)x2-2ax-2=0.由题意,得,即-6a1,且|po|=r+1,|pc|=r-1.又|oc|=3,|po|-|pc|=22)【解析】设ab的中点为m(x0,y0),联立,得(k2-1)y2+2ky-2k2=0,则y0=k1-k2,x0=11-k2,消去k得x02-y02=x0,因为,所以22k2,所以ab的中点的轨迹方程是(x-12)2-y2=14(x2).点m的轨迹是以f1，f2为焦点的双曲线(左支)，且a32，c5，.双曲线方程为.11【解析】（1）e=2，c2=4a2，c2=a2+3，a=1，c=2，双曲线方程为，渐近线方程为y=33x.（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），ab的中点m（x，y）.2ab=5f1f2,|ab|=52|f1f2|=10，(x1-x2)2+(y1-y2)2=10.又y1=x1，y2=-33x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2，y1+y2=（x1-x2），y1-y2=（x1+x2），3(y1+y2)2+33(x1+x2)2=10,3（2y）2+13（2x）2=100，即为m的轨迹方程.则m的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为的椭圆.故椭圆的标准方程为x22+y2=1.设q(x,y),p(x1,y1)，因为a(2,0)，所以op=oa-oq=(2-x,-y)=(x1,y1)，所以x1=2-x,y1=-y.又点p在已知椭圆上，故为动点q的轨迹方程（2）椭圆的右焦点f(1,0)，设直线mn的方程是x=my+1，与x22+y2=1联立，可得(m2+2)y2+2my-1=0，设m(x1,y1),n(x2,y2)，则x1=my1+1，x2=my2+1，由题意y1，y2满足方程(m2+2)y2+2my-1=0，=4m2+4m2+20即m2+10，由方程的根与系数的关系可得：，|mn|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(m2+1)|y1-y2|，点a(2,0)到直线mn的距离，于是的面积为，当且仅当m2+1=1m2+1，即m=0时取到等号故的面积的最大值是. 直通高考1【答案】【解析】因为原点o到两个定点f1(1，0)和f2(1，0)的距离的积是1，而a1，所以曲线c不过原点，即错误；因为f1(1，0)，f2(1，0)关于原点对称，所以|pf1|pf2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为，即面积不大于，所以正确故填因此点p的轨迹方程为（2）由题意知设，则，由得，又由（1）知，故