圆锥曲线专题练习(一)(答案).doc

圆锥曲线专题练习（一）一、求轨迹方程1、（1）已知双曲线与椭圆：有公共的焦点，并且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为，求双曲线的方程（2）以抛物线上的点与定点为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程（1）解：的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则 解得 双曲线的方程为（2）解：设点，则，代入得：此即为点P的轨迹方程2、（1）的底边，和两边上中线长之和为，建立适当的坐标系求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹（2）中，且，求点的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 （*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点分别射向直线上两点和后，反射光线恰好通过椭圆：的两焦点，已知椭圆的离心率为，且，求椭圆的方程解：设a=2k，c=k，k0，则b=k，其椭圆的方程为. 由题设条件得：， ， x2-x1=， 由、解得：k=1，x1=，x2=-1，所求椭圆C的方程为.4、在面积为的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程所求椭圆方程为解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设则即得5、已知点是圆上一个动点，定点的坐标为（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）设的平分线交于点（为原点），求点的轨迹方程解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，由角平分线性质可得=，又点R在线段PQ上，|PR|=|RQ|，点R分有向线段PQ的比为，由定比分点坐标公式可得，即，点P的坐标为，代入圆的方程x2+y2=4可得， 即+y2=（y0）. 点R的轨迹方程为+y2=（y0）.6、已知动圆过定点，且与直线相切（1）求动圆的圆心轨迹的方程；（2）是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 动点的轨迹方程为 （2）由题可设直线的方程为，由得 ， 设，则， 由，即 ，于是，即， ，解得或（舍去），又， 直线存在，其方程为 7、设双曲线的两个焦点分别为，离心率为（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若分别为上的点，且，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于两点，且若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：（I） ，渐近线方程为4分 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在满足条件的直线.8、设是椭圆上的一点，分别为关于轴、原点、轴的对称点，为椭圆上异于的另一点，且，与的交点为，当沿椭圆运动时，求动点的轨迹方程解：设点的坐标则1分 3分 由（1）（2）可得6分又MNMQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为从而得所以代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.9、已知：直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上若点和点关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.10、已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，（）设为点的横坐标，证明；（）求点的轨迹的方程；（）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的面积若存在，求的正切值；若不存在，请说明理由（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分11、设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线C分别相切于、两点（1）求的重心的轨迹方程；（2）证明解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=P