高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时 直线与平面垂直学案 苏教版必修2.doc

1.2.3 第2课时直线与平面垂直1能正确判断直线与平面垂直的位置关系(重点)2了解点到平面的距离和直线与平面间的距离(难点)3理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理(重点、难点)4了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念(重点)基础初探教材整理1直线与平面垂直的定义阅读教材p35p36思考以上的部分，完成以下问题如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面互相垂直，符号表示：a.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足图形表示：图1254判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线l与平面内无数条直线垂直，则l.()(2)若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(3)若ab，a，l，则lb.()(4)若l平面abcd，则lbc.()教材整理2直线与平面垂直的判定阅读教材p36p37第5行，完成下列问题直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 a1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边能判定直线与此平面垂直的有_【解析】由线面垂直的判定定理可知能判定，而中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直【答案】2下列条件中，能判定直线l平面的有_l与平面内的两条直线垂直；l与平面内的无数条直线垂直；l与平面内的某一条直线垂直；l与平面内的任意一条直线垂直【解析】由直线与平面垂直的定义及判定定理知正确【答案】教材整理3直线与平面垂直的性质阅读教材p37第8行第13行，完成下列问题直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab已知是平面，a，b是直线，且ab，a平面，则b与平面的位置关系是_【解析】由线面垂直的性质可知，若ab，a，则b.【答案】垂直教材整理4距离及直线与平面所成的角阅读教材p36第13,14行及p38第4,5行和p39例3以上部分内容，完成下列问题1距离(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离(2)直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离2直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角1在正方体abcda1b1c1d1中，已知ab1，则点c到平面b1bdd1的距离为_，ab到平面a1b1cd的距离为_. 【导学号：41292031】【解析】连结ac，则acbd，又bb1ac，故ac平面b1bdd1，所以点c到平面b1bdd1的距离为ac，ab到平面a1b1cd距离等于a到该平面的距离，等于.【答案】2如图1255所示，三棱锥pabc中，pa平面abc，paab，则直线pb与平面abc所成的角等于_图1255【解析】pa平面abc，pba即为直线pb与平面abc所成的角，在rtpab中，paab，pba45.【答案】45小组合作型线面垂直判定定理的应用如图1256所示，已知pa垂直于o所在的平面，ab是o的直径，c是o上任意一点，过点a作aepc于点e，求证：ae平面pbc.图1256【精彩点拨】只要证ae垂直于平面pbc内两相交直线即可，已知aepc，再证aebc，即转为证bc垂直于平面pac即可【自主解答】pa平面abc，pabc.又ab是o的直径，bcac.而paaca，bc平面pac.又ae平面pac，bcae.pcae，且pcbcc，ae平面pbc.1用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法2线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直再练一题1在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱ab，bc的中点，o是底面abcd的中心，求证：ef平面bb1o.图1257【证明】e，f分别是棱ab，bc的中点，ef是abc的中位线，efac，abcd为正方形，acbo，efbo，又bb1平面abcd，ef平面abcd，efbb1，又bobb1b，ef平面bb1o.线面垂直性质定理的应用如图1258，在正方体abcda1b1c1d1中，点e，f分别在a1d，ac上，且efa1d，efac.求证：efbd1.图1258【精彩点拨】利用线面垂直的性质定理证明ef，bd1垂直于平面ab1c可得结论【自主解答】如图所示，连结ab1，b1c，bd，b1d1，dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac.又acbd，bddd1d，ac平面bdd1b1，又bd1平面bdd1b1，acbd1.同理可证bd1b1c，bd1平面ab1c.efac，efa1d，又a1db1c，efb1c.ef平面ab1c，efbd1.空间中证明两条直线平行的方法：(1)利用线线平行定义证两线无公共点；(2)若ab，bc，则ac(公理4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a，b，则ab(线面垂直的性质定理)再练一题2如图1259，已知pa矩形abcd所在平面，m，n分别是ab，pc的中点图1259(1)求证：mncd；(2)若pda45，求证：mn平面pcd.【证明】(1)取pd中点e，又n为pc中点，连结ne，ae，则necd，necd.又amcd，amcd，am綊ne，四边形amne为平行四边形mnae.pa平面abcd，cd平面abcd，cdpa.又cdad，paada，cd平面adp.ae平面adp，cdae，mncd.(2)当pda45时，rtpad为等腰直角三角形，则aepd.又mnae，mnpd，由(1)知mncd，pdcdd.mn平面pcd.探究共研型距离问题及直线与平面所成角的求法探究1如图1260，长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11.点b与d1到平面a1c1ca的距离分别是多少 ？bc1到平面add1a1的距离是多少？图1260【提示】由题意知bdb1d12，b，d1到平面ac1的距离分别为和，都为；bc1到平面ad1的距离等于ab的长，为2.探究2如图1261，正方体abcda1b1c1d1中，图1261(1)直线bd1与平面ac及平面a1c1所成的角相等吗？(2)a1b与平面a1b1cd所成的角是多少度？【提示】(1)因为平面ac与平面a1c1平行，所以bd1与两平面所成的角相等(2)a1b与平面a1c所成的角为30，连结bc1交b1c于点o，连结a1o.设正方体的棱长为a，因为a1b1b1c1，a1b1b1b，所以a1b1平面bcc1b1.所以a1b1bc1.又因为bc1b1c，a1b1b1cb1，所以bc1平面a1b1cd.所以a1o为斜线a1b在平面a1b1cd内的射影，即ba1o为a1b与平面a1b1cd所成的角在rta1bo中，a1ba，boa，所以boa1b，ba1o30.因此，直线a1b和平面a1b1cd所成的角为30.如图1262所示，在直三棱柱abca1b1c1中，acbc，acbccc1，m，n分别是a1b，b1c1的中点图1262(1)求证：mn平面a1bc；(2)求直线bc1和平面a1bc所成的角的大小【精彩点拨】(1)证明mnac1，(2)c1点在平面a1bc上的射影为a1c中点【自主解答】(1)证明：如图所示，由已知bcac，bccc1，accc1c，得bc平面acc1a1.连结ac1，则bcac1.由已知，可知侧面acc1a1是正方形，所以a1cac1.又bca1cc，所以ac1平面a1bc.因为侧面abb1a1是正方形，m是a1b的中点，连结ab1，则点m是ab1的中点又点n是b1c1的中点，则mn是ab1c1的中位线，所以mnac1.故mn平面a1bc.(2)因为ac1平面a1bc，设ac1与a1c相交于点d，连结bd，则c1bd为直线bc1和平面a1bc所成的角设acbccc1a，则c1da，bc1a.在rtbdc1中，sinc1bd，所以c1bd30，故直线bc1和平面a1bc所成的角为30.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角再练一题3如图1263，正四棱柱abcda1b1c1d1的底面边长为1，侧棱长为2，e，f，g分别为cc1，dd1，aa1的中点图1263(1)求证：a1f平面bef；(2)求证：gc1平面bef；(3)求直线a1b与平面bef所成的角的正弦值【解】(1)证明：连结af.e，f分别为cc1，dd1的中点，efab且efab，四边形abef为平行四边形又在正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab平面aa1d1d，a1f平面aa1d1d，aba1f，efa1f.由已知，得af，a1f，aa12，a1f2af2aa，afa1f.又afeff.a1f平面abef，即a1f平面bef.(2)证明：g，f分别为aa1，dd1的中点，连结ae.agec1且agec1，四边形aec1g为平行四边形，aegc1.而ae平面abef，gc1平面abef，gc1平面abef，即gc1平面bef.(3)a1f平面bef.a1b在平面bef上的射影为bf，a1bf为直线a1b与平面bef所成的角由已知，得a1f，a1b，sina1bf，即a1b与平面bef所成角的正弦值为.1直线l平面，直线m，则l与m不可能_(填序号)平行；相交；异面；垂直【答案】2空间中直线l和三角形的两边ac，bc同时垂直，则这条直线和三角形的第三边ab的位置关系是_【解析】lac，lbc，且acbcc，l平面abc，又ab平面abc，lab.【答案】垂直3在abc中，abc90，pa平面abc，则图1264中直角三角形的个数为_图1264【解析】pa平面abc，paab，paac，pabc，又bcab，abpaa，bc平面pab，bcpb.综上可知，pab，pac，abc，pbc均为直角三角形【答案】44已知平面