高中数学 小问题集中营 专题2.4 一次分式函数在解题中的应用.doc

专题四 一次分式函数在解题中的应用一、问题的提出【2016高考北京】函数的最大值为_. 在近几年的高考试卷及模拟试卷中经常会出现以分式函数为载体的试题,特别是分子和分母中的代数式都是一次函数的一次分式函数,对其图象与性质的研究常涉及到平移变换及对称变换,是考查能力的好载体,所以一直被高考命题者看好,在近几年的高考中再现率很高.但由于这一类函数问题现行高中教材中未作专门介绍,致使相当一部分学生碰到这一类问题不知道从哪里入手,为帮助同学们掌握这一内容,.本文从平移理论的角度出发,总结出一次分式函数的性质,并通过实例说明其结论在解题中的应用.二、问题的探源本题解法： ，即最大值为2.【点睛】求函数值域的常用方法：单调性法；配方法；分离常数法；其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握首先我们给出分式函数及一次分式函数的定义：当、为既约整式且的次数不低于一次时,我们把形如的函数叫做分式函数,当、的次数不高于一次时,这样的分式函数叫做一次分式函数,即形如的函数我们先来看一个简单的一次分式函数y=.由于y=1+,所以把y=的图象向右平移一个单位可得到y=,因此根据y=的图象与性质可总结出y=的图象与性质.下面我们利用平移理论及反比例函数的图象与性质来研究一次分式函数的图象与性质：首先利用分离常数法可得=+,设=m,则f（x）=+,所以y=f（x）的图象可由反比例函数y=的图象经过平移得到,由反比例函数的图象可知的图象也是双曲线,其性质如下： 的定义域是（-,）（,+）； 的值域是（-,）（,+）； 的图象即关于点（,）对称,又关于直线y-=（x+）对称； 当m0时,在（-,）上及（,+）上都是增函数,且x（-,）时f（x）（-,）；x（,+时f（x）（,+）当m0时,在（-,）上及（,+）上都是减函数,且x（-,）时f（x）（,+）；x（,+时f（x）（-,）.三、问题的佐证【例1 】若 在（-1,+）上满足对任意的x1f（x2）,求a的取值范围.【解析】=2+,由题意知f（x）在（-1,+）上是增函数,由性质可得-a-1且3-2a0,所以1a.【例2 】已知 的图象的对称中心为(3,-1,),求a,b的值.【解析】由性质知f(x)的的图象的对称中心为(a+1,-b) ,因此a+1=3,-b=-1,所以a=2,b=1.【例3 】【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）（a）0 （b） （c） （d）【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选c.【点睛】如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.这类问题源于课本,又高于课本,能较好的函数学生分析问题及解决问题的能力,因此备受命题这的青睐.【例4】 已知（n）,求的最大值及最小值的n值.【例5】 【2014高考陕西版文第14题】已知，若，则的表达式为_.【答案】【解析】，即，当且仅当时取等号，当时，；当时，即，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，当时，【点晴】本题主要考查的是数列的通项公式；数列与函数之间的关系，属于难题解题时要紧紧抓住已知条件，得到，这是解题的关键，而后得到数列是以为首项，以1为公差的等差数列，进而，则问题可解，解题要有敏锐的观察力和严密的推理能力.四、问题的解决1函数=在区间上单调递增,则实数的取值范围是（ ）a（0,） b（,）c d【答案】b【解析】,函数在区间上单调递增2已知函数,若,则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d.【答案】a【解析】,函数在上单调递增.,解得,故选项为a.【评注】本题主要考查了初等函数的单调性以及利用单调性解抽象函数的不等式的能力,注重对基础的考查,难度一般；当时,对于形如这种形式的抽象函数不等式主要利用函数的单调性来解,熟练掌握初等函数和为单调递增函数是解决问题的关键,将其转化为.3已知函数；(),其中随的增大而减小的函数有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个【答案】b4函数的图象是（ ）【答案】b【解析】将的图象沿轴向右平移个单位得到的图象,再沿轴向上平移个单位得到的图象.故选b5.【2014重庆文第10题】已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )a. b. c. d.【答案】a【解析】令，则问题转化为与的图象在内有且仅有两个交点；是一个分段函数，的图象是过定点的直线发上图所示，易求当直线与曲线在第三象限相切时，由图可知，或,故选a.【点晴】本题主要考查的是函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理,属于中档题,对于分段函数求零点问题,一定要分开分析,往往需要借助于数形结合的方法,先画出已知的那段函数的图象,判断出已知的那段函数有几个零点,再通过综合分析确定含有参数的那段函数的位置,即可得到参数的范围或具体的数值,分段函数的处理方法是解决此类题目的关键.6具有性质：的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数：；其中满足“倒负”变换的函数是（ ）a b c d【答案】b 【解析】设是满足“倒负”变换的函数；设,即是不满足“倒负”变换的函数；设,则时, 此时;时, 此时时, 此时是满足“倒负”变换的函数,故选b. 【评注】本题通过新定义满足“倒负”变换的函数主要考查函数分段函数的解析式、“新定义”问题,属于难题.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题五个函数的判断都围绕满足“倒负”变换的函数具有“”这一重要性质进行的,只要能正确运用这一性质,问题就能迎刃而解.7已知函数的定义域为,值域为,那么满足条件的整数对共有（ ）a6个 b7个 c.8个 d9个【答案】b【解析】函数,易知函数是偶函数,时是减函数,所以函数的图象如图所示,根据图象可知满足整数数对的有共个故选b【评注】此题考查学生会利用分类讨论及数学结合的数学思想解集实际问题,掌握函数定义域的求法,通过分离常数化简,然后推出函数是偶函数,结合反比例函数的图象,得到为减函数,利用偶函数图象关于轴对称的性质画出的图象关于轴对称,可画出函数的图象,从函数的图象看出满足条件的整数对有个8函数在上单调递增,则的取值范围是（ ）a. b. c. d.【答案】c【评注】此题考查反比例函数的图象和性质,函数的图象的平移、对称变换,通过分离常数把化成反比例型函数,通过做关于轴对称,向右平移,纵向伸缩把反比例函数变换成,再结合反函数的图象和性质,画出的图象,从函数的图象判断可知在的左侧,即,故.9如图,两点在反比例函数的图象上,两点在反比例函数的图象上,轴于点,轴于点,则（ ）a4 b c d6【答案】a【解析】设,则,由题意,得,解得,故选a【评注】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段,垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于,结合函数图象所在的象限可以确定的值,反过来,根据的值,可以确定此矩形的面积；求函数解析式,一般先根据题意,找出或求出图象上的相关点,用待定系数法列方程求解,且常常将平面坐标系中三角形的面积问题转化为求线段的长度进而转化为求点的坐标问题10.对于函数,定义域为d, 若存在使, 则称为的图象上的不动点. 由此，函数的图象上不动点的坐标为 .【答案】(1,1),(5,5)【解析】显然不动点就是图数y=f(x)与直线y=x的交点，所以由得x=1,x=5，所以不动点坐标为(1,1),(5,5).11.函数的对称中心为_，如果函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是_【答案】 12已知关于的方程有三个不相等实根,那么实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题可知,分别作出函数及的图象,如图,若关于的方程有三个不相等实根,则两函数图象有三个公共点,又直线恒过点,可知当,显然成立；当且与曲线在有两个交点时,此时,即,其,解得或（舍去）,所以,综上,实数的取值范围是.13设函数,则使得成立的的取值范围是 .【答案】【解析】为奇函数且为增函数,所以等价于.14若函数在定义域内恒有,则的值等于 .【答案】3【解析】,所以,解得：.15.已知函数（）判断函数的单