高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时 平面与平面垂直学案（含解析）新人教B版必修2.doc

1.2.3 第2课时平面与平面垂直1.了解面面垂直的定义.(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理.(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题.(难点)基础初探教材整理1平面与平面垂直的判定阅读教材p52p53“第12自然段”内容，完成下列问题.1.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：图1256记作：.2.判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()a.mn，m，nb.mn，m，nc.mn，n，md.mn，m，n【解析】因为mn，n，则m，又m，故，所以c正确.【答案】c教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材p53“第13自然段”“例4”以上内容，完成下列问题.文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言a图形语言设平面平面，在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()a.直线a必垂直于平面b.直线b必垂直于平面c.直线a不一定垂直于平面d.过a的平面与过b的平面垂直【解析】当，在平面内垂直交线的直线才垂直于平面，因此，垂直于平面内的一条直线b的直线不一定垂直于，故选c.【答案】c小组合作型平面与平面垂直的判定如图1257所示，abc为正三角形，ec平面abc，bdce，且ceca2bd，m是ea的中点，求证：图1257(1)deda；(2)平面bdm平面eca；(3)平面dea平面eca.【精彩点拨】(1)要证deda，只需证明rtefdrtdba；(2)注意m为ea的中点，可取ca的中点n，先证明n点在平面bdm内，再证明平面bdm过平面eca的一条垂线即可；(3)仍需证平面dea经过平面eca的一条垂线.【自主解答】(1)取ec的中点f，连接df.ecbc，易知dfbc，dfec.在rtefd和rtdba中，efecbd，fdbcab，rtefdrtdba.edda.(2)取ca的中点n，连接mn，bn，则mnec，mnbd，n点在平面bdmn内.ec平面abc，ecbn.又cabn，bn平面eca.bn在平面mnbd内，平面mnbd平面eca.即平面bdm平面eca.(3)bdec，mnec.mnbd为平行四边形.dmbn.由(2)知bn平面eca，dm平面eca.又dm平面dea，平面dea平面eca.1.证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2.根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.再练一题1.如图1258所示，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，cdad.求证：平面pdc平面pad.图1258【证明】pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又cdad，paada，cd平面pad.又cd平面pdc.平面pdc平面pad.面面垂直性质定理的应用如图1259所示，p是四边形abcd所在平面外的一点，四边形abcd是边长为a的菱形且dab60，侧面pad为正三角形，其所在平面垂直于底面abcd.图1259(1)若g为ad的中点，求证：bg平面pad；(2)求证：adpb.【精彩点拨】(1)(2)要证adpb，只需证ad平面pbg即可.【自主解答】(1)如图，在菱形abcd中，连接bd，由已知dab60，abd为正三角形，g是ad的中点，bgad.平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，bg平面pad.(2)如图，连接pg.pad是正三角形，g是ad的中点，pgad，由(1)知bgad.又pgbgg.ad平面pbg.而pb平面pbg.adpb.1.证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理.(2)面面垂直的性质定理.(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面).(4)若a，则a(a为直线，为平面).2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.再练一题2.如图1260所示，四棱锥vabcd的底面是矩形，侧面vab底面abcd，又vb平面vad.求证：平面vbc平面vac.图1260【证明】平面vab底面abcd，且bcab.bc平面vab，bcva，又vb平面vad，vbva，又vbbcb，va平面vbc，va平面vac.平面vbc平面vac.探究共研型垂直关系的综合应用探究1如图1261所示，在四棱锥pabcd中，底面是边长为a的正方形，侧棱pda，papca，你能证明pd平面abcd吗？图1261【提示】pda，dca，pca，pc2pd2dc2，pddc.同理可证pdad，ad平面abcd，dc平面abcd，且addcd，pd平面abcd.探究2如图1262所示，已知圆锥的顶点为s，ab为底面圆o的直径，点d为线段ab上一点，且addb，点c为圆o上一点，且bcac，p为母线sa上的点，其在底面圆o上的正投影为点d，求证：pacd.图1262【提示】连接co，由3addb知，d为ao的中点，又ab为圆o的直径，accb，由acbc知，cab60，aco为等边三角形，从而cdao.点p在圆o所在平面上的正投影为点d，pd平面abc，又cd平面abc，pdcd，由pdaod得，cd平面pab，又pa平面pab，pacd.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图1263所示，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分别是cd和pc的中点.求证：图1263(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得pa底面abcd；(2)可证bead，从而得be平面pad；(3)利用面面垂直的判定定理.【自主解答】(1)因为平面pad底面abcd，且paad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde.所以四边形abed为平行四边形.所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd.又adpaa，所以cd平面pad.所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef.所以cdef.又efbee，所以cd平面bef.又cd平面pcd，所以平面bef平面pcd.1.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.2.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.再练一题3.如图1264所示，在三棱锥pabc中，e，f分别为ac，bc的中点.图1264(1)求证：ef平面pab；(2)若平面pac平面abc，且papc，abc90.求证：平面pef平面pbc.【证明】(1)e，f分别为ac，bc的中点，efab.又ef平面pab，ab平面pab，ef平面pab.(2)papc，e为ac的中点，peac.又平面pac平面abc，pe平面abc，pebc.又f为bc的中点，efab.abc90，bcef.efpee，bc平面pef.又bc平面pbc，平面pbc平面pef.1.下列命题中错误的是()a.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面b.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面c.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故d项叙述是错误的.【答案】d2.空间四边形abcd中，若adbc，bdad，那么有()a.平面abc平面adcb.平面abc平面adbc.平面abc平面dbcd.平面adc平面dbc【解析】【答案】d3.在四棱锥p-abcd中，pa底面abcd且底面各边都相等，m是pc上一点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】连接ac，因为pa底面abcd，所以pabd，因为四边形abcd的各边相等，所以acbd，且paaca，所以bd平面pac，即bdpc，要使平面mbd平面pcd，只需pc垂直于面mbd上的与bd相交的直线即可，所以可填dmpc(或bmpc)；故填dmpc(或bmpc).【答案】dmpc(或bmpc)4.下列四个命题中，正确的序号有_.，则；，则；，则；，则.【解析】不正确，如图所示，但，