高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词学案 新人教A版选修21.doc

1.4.1全称量词 1.4.2存在量词学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：p：m5；q：对所有的mr，m5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).答案(1)语句p无法判断真假，不是命题；语句q在语句p的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句p是命题q中的一部分.(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.梳理(1)概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，变量x的取值范围用m表示.那么，全称命题“对m中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xm，p(x)，读作“对任意x属于m，有p(x)成立”.(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合m中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0m，使得p(x0)不成立即可.知识点二存在量词、特称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：p：m5；q：存在一个m0z，m05. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案(1)语句p无法判断真假，不是命题；语句q在语句p的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句p是命题q中的一部分.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.梳理(1)概念短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.(2)表示特称命题“存在m中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0m，p(x0)，读作“存在m中的元素x0，使p(x0)成立”.(3)特称命题真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合m中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.类型一全称命题与特称命题的判断命题角度1全称命题与特称命题的不同表述例1设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：(1)全称命题：xn，p(x)；(2)特称命题：x0n，p(x0).解(1)全称命题：对所有的自然数x，2x是偶数；对一切的自然数x，2x是偶数；对每一个自然数x，2x是偶数；任选一个自然数x，2x是偶数；凡自然数x，都有2x是偶数.(2)特称命题：存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；对有些自然数x0，使得2x0是偶数；对某个自然数x0，使得2x0是偶数；有一个自然数x0，使得2x0是偶数.反思与感悟全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.跟踪训练1“有些整数是自然数”这一命题为_命题.(填“全称”或“特称”)答案特称解析依据特称命题的构成易得.命题角度2全称命题与特称命题的识别例2判断下列命题是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角，都有sin2cos21.解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360”，故为全称命题.(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练2判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“”或“”表示下列命题.(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x2y21上存在一个点到直线yx1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列，总存在正整数n0，使得与1之差的绝对值小于0.01.解(1)是全称命题，表示为xn，x20.(2)是特称命题，表示为(x0，y0)(x，y)|x2y21，满足1. (3)是特称命题，f(x)函数，f(x)既是奇函数又是增函数.(4)是特称命题，n0n*，|1|0.01，其中.类型二全称命题与特称命题的真假的判断例3判断下列命题的真假.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点p；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x0，使得等式xx080成立；(5)xr，x23x20；(6)x0r，x3x020.解(1)真命题.(2)真命题，如函数f(x)0，既是偶函数又是奇函数.(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示.(4)假命题，方程x2x80的判别式310，故方程无实数解.(5)假命题，只有x2或x1时，等式x23x20才成立.(6)真命题，x02或x01，都能使等式x3x020成立.反思与感悟要判定全称命题“xm，p(x)”是真命题，需要对集合m中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合m中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题“x0m，p(x0)”是真命题，只需在集合m中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合m中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题.跟踪训练3判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)x0r，2xx010，不存在x0r，使2xx01x；(2)命题p(x)：x25x60；(3)命题p(x)：sin xcos x.解(1)x1x，10(此式恒成立)，xr.(2)x25x60，(x2)(x3)0，x3或xcos x，2kx2k(kz).反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.跟踪训练4若方程x2ax10，x22ax20，x2ax40中至少有一个方程有实根，求a的取值范围.解由方程x2ax10无实根，可知a240，即a24，即2a2，由方程x22ax20无实根，可知a220，即a22，即a，由方程x2ax40无实根，可知a2160，即a216，即4a4，当a22，即a时，三个方程均无实根.当a或a时，三个方程中至少有一个方程有实根.故a的取值范围为(，).1.下列命题中，不是全称命题的是()a.任何一个实数乘以0都等于0b.自然数都是正整数c.每一个向量都有大小d.一定存在没有最大值的二次函数答案d解析d选项是特称命题.2.命题p：xn，x3x2；命题q：a(0，1)(1，)，函数f(x)loga(x1)的图象过点(2，0)，则()a.p假q真 b.p真q假c.p假q假 d.p真q真答案a解析x3x2，x2(x1)0，x0或0x1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，故选a.3.已知函数f(x)|2x1|，若命题“存在x1，x2a，b且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是()a.a0 b.a1答案b解析函数f(x)|2x1|的图象如图所示：由图可知f(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，要满足存在x1，x2a，b且x1f(x2)为真命题，则必有a0，故选b.4.特称命题“x0r，|x0|20”是_命题.(填“真”或“假”)答案假解析不存在任何实数，使得|x|20，所以是假命题.5.若命题“x0r，xmx02m30”为假命题，则实数m的取值范围是_.答案2，6解析由已知得“xr，x2mx2m30”为真命题，则m241(2m3)m28m120，解得2m6，即实数m的取值范围是2，6.1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.2判定全称命题的真假的方法.定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假.3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假.40分钟课时作业一、选择题1.下列命题中为真命题的是()a.x0r，x13d.xq，x2z答案b2.已知命题p：对任意xr，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()a.pq b.(綈p)(綈q) c.(綈p)q d.p(綈q)答案d解析p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题.从而pq为假，(綈p)(綈q)为假，(綈p)q为假，p(綈q)为真，故选d.3.已知命题“x0r，使2x(a1)x00”是假命题，则实数a的取值范围是()a.(，1) b.(1，3)c.(3，) d.(3，1)答案b解析原命题的否定为xr，2x2(a1)x0，由题意知，原命题的否定为真命题，则(a1)2420，则2a12，则1a3.故选b.4.已知命题“x0r，xax04a0”为假命题，则实数a的取值范围为()a.16，0 b.(16，0) c.4，0 d.(4，0)答案a解析由题意可知“xr，x2ax4a0”为真命题，a216a0，解得16a0，故选a.5.下列四个命题：没有一个无理数不是实数；空集是任何一个非空集合的真子集；113；命题q：x(0，)，tan xsin x，则下列是真命题的是()a.(綈p)q b.(綈p)(綈q) c.p(綈q) d.p(綈q)答案d解析当x1时，2131，所以p为真命题；当x(0，)时，tan xsin x0，所以q为真命题，所以p(綈q)是真命题，故选d.二、填空题7.已知命题p：xr，x22xa0.若p为真命题，则实数a的取值范围是_.答案(，1)解析由题意得44a0，解得a0成立，符号表示为_.答案(1)xr，有x20(2)x0，y0r，使2x03y030成立解析由题意，可表示为(1)xr，有x20.(2)x0，y0r，使2x03y030成立.10.已知命题p：“x0，1，aex”，命题q：“x0r，x4x0a0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是_.答案e，4解析由命题“pq”是真命题，得命题p，q都是真命题. 因为x0，1，所以ex1，e，所以ae；x0r，x4x0a0，即方程x24xa0有实数根，所以424a0，解得a4，取交集得ae，4.三、解答题11.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程axb0都有惟一解；(3)存在实数x0，使得2.解(1)是特称命题，用符号表示为“直线l，l的斜率不存在”，是真命题.(2)是全称命题，用符号表示为“a，br，方程axb0都有惟一解”，是假命题.(3)是特称命题，用符号表示为“x0r，2”，是假命题.12.已知命题p：“x1，2，x2a0”，命题q：“x0r，x2ax02a0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.解由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，则ax2对于x1，2恒成立，所以a1.若q为真命题，则关于x的