高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修21 (2).doc

2.3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点f1，f2上，把笔尖放在点m处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|mf1|mf2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|mf2|mf1|常数，可得到另一条曲线.梳理(1)平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|f1f2|”：若将“小于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以f1，f2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|f1f2|”改为“大于|f1f2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段f1f2的中垂线.知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案(1)建系：以直线f1f2为x轴，f1f2的中点为原点建立平面直角坐标系.(2)设点：设m(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为f1(c，0)，f2(c，0).(3)列式：由|mf1|mf2|2a，可得2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).令c2a2b2，得双曲线的标准方程为1(a0，b0).(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)思考2双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定.梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标f1(c，0)，f2(c，0)f1(0，c)，f2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c2(2)焦点f1，f2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为ax2by21(ab0).(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2c2a2与椭圆中的b2a2c2相区别.类型一双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中焦点三角形面积问题例1已知双曲线1的左，右焦点分别是f1，f2，若双曲线上一点p使得f1pf260，求f1pf2的面积.解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|pf1|pf2|6，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|64，所以|pf1|pf2|sinf1pf26416.引申探究本例中若f1pf290，其他条件不变，求f1pf2的面积.解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a6，所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，在rtf1pf2中，由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)2100，将代入得|pf1|pf2|32，所以|pf1|pf2|16.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|，|pf2|，|f1f2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|pf1|pf2|的值；利用公式|pf1|pf2|sinf1pf2求得面积.(2)方法二：利用公式|f1f2|yp|(yp为p点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|pf1|pf2|2a的变形使用，特别是与|pf1|2|pf2|2，|pf1|pf2|间的关系.跟踪训练1如图所示，已知f1，f2分别为双曲线1的左，右焦点，点m为双曲线上一点，并且f1mf2，求mf1f2的面积.解在mf1f2中，由余弦定理，得|f1f2|2|mf1|2|mf2|22|mf1|mf2|cos .|f1f2|24c2，|mf1|2|mf2|2(|mf1|mf2|)22|mf1|mf2|4a22|mf1|mf2|，式化为4c24a22|mf1|mf2|(1cos )，|mf1|mf2|，|mf1|mf2|sin .命题角度2利用双曲线定义求其标准方程例2(1)已知定点f1(2，0)，f2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点p的轨迹中为双曲线的是()a.|pf1|pf2|3b.|pf1|pf2|4c.|pf1|pf2|5d.|pf1|2|pf2|24(2)已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_.答案(1)a(2)x21(x1)解析(1)当|pf1|pf2|3时，|pf1|pf2|30).判断：若2a2c|f1f2|，满足定义，则动点m 的轨迹就是双曲线，且2c|f1f2|，b2c2a2，进而求出相应a，b，c.根据f1，f2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点f1(1，0)，f2(1，0)，则满足|pf1|pf2|的点p的轨迹为双曲线；已知定点f1(2，0)，f2(2，0)，则满足|pf1|pf2|4的点p的轨迹为两条射线；到定点f1(3，0)，f2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点p的轨迹为双曲线；若点p到定点f1(4，0)，f2(4，0)的距离的差的绝对值等于点m(1，2)到点n(3，1)的距离，则点p的轨迹为双曲线.答案解析6，故点p的轨迹不存在；点m(1，2)到点n(3，1)的距离为50，b0)，则解得双曲线的标准方程为1.(2)方法一设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线方程为1.方法二设双曲线方程为1(4k16)，将点(3，2)代入得k4，所求双曲线方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为ax2by21(ab0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3，)，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.类型三双曲线定义的综合运用例4已知椭圆1与双曲线1有交点p，且有公共的焦点，且f1pf22，求证：tan .证明如图所示，设|pf1|r1，|pf2|r2，|f1f2|2c，则在pf1f2中，对于双曲线有|r2r1|2m，cos 21，1cos 2.sin .则在pf1f2中，对于椭圆有r1r22a，cos 21，1cos 2，cos ，tan .反思与感悟(1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.(2)双曲线与椭圆的比较如下表：曲线椭圆双曲线定义|pf1|pf2|2a(|f1f2|2c，2a2c)|pf1|pf2|2a(|f1f2|2c，2ab0)1或1(a0，b0)图形特征封闭的连续曲线分两支，不封闭，不连续根据标准方程确定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，则a29，b24)以正负分a，b(如1中，40，9b0)具有性质：若m，n是椭圆c上关于原点对称的两点，点p是椭圆c上任意一点，设直线pm，pn的斜率都存在，并记为kpm，kpn，那么kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值.试对双曲线c：1写出具有类似特殊的性质，并加以 证明.解类似的性质如下：若m，n为双曲线1上关于原点对称的两点，点p是双曲线上任意一点，设直线pm，pn的斜率都存在，并记为kpm，kpn，那么kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值.其证明过程如下：设p(x，y)，m(m，n)，则n(m，n)，其中1，即n2(m2a2).kpm，kpn.又1，即y2(x2a2)，y2n2(x2m2).kpmkpn.故kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值.1.若双曲线e：1的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线e上，且|pf1|3，则|pf2|等于()a.11 b.9 c.5 d.3答案b解析由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a6，即|3|pf2|6，解得|pf2|9(负值舍去)，故选b.2.设f1，f2分别是双曲线x21的左，右焦点，p是双曲线上的一点，且3|pf1|4|pf2|，则pf1f2的面积等于()a.4 b.8 c.24 d.48答案c解析由题意得解得又由|f1f2|10可得pf1f2是直角三角形，则|pf1|pf2|24.3.已知圆c：x2y26x4y80，以圆c与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_.答案1解析令x0，得y24y80，方程无解，即该圆与y轴无交点.令y0，得x26x80，解得x2或x4，则符合条件的双曲线中a2，c4，b2c2a216412，且焦点在x轴上，双曲线的方程为1.4.已知双曲线2x2y2k(k0)的焦距为6，则k的值为_.答案6或6解析由题易知，k0.当k0时，方程化为1，c2kk，26，解得k6.当k0时，方程化为1，c2k，26，解得k6.综上，k6或k6.5.已知双曲线1上一点m的横坐标为5，则点m到左焦点的距离是_.答案解析由于双曲线1的右焦点为f(5，0)，将xm5，代入双曲线方程可得|ym|，即为点m到右焦点的距离，由双曲线的定义知m到左焦点的距离为23.1.双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设f1，f2表示双曲线的左，右焦点，若|mf1|mf2|2a，则点m在右支上；若|mf2|mf1|2a，则点m在左支上.(2)双曲线定义的双向运用：若|mf1|mf2|2a(02a|f1f2|)，则动点m的轨迹为双曲线.若动点m在双曲线上，则|mf1|mf2|2a.2.求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn5”是“方程1表示双曲线”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a解析当k5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5或k2.故选a.3.已知双曲线1的一个焦点是(0，2)，则实数m的值是()a.1 b.1 c. d.答案b解析由焦点坐标知，焦点在y轴上，m0，b0)，则a2b25.线段pf1的中点的坐标为(0，2)，点p的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得1.由解得a21，b24，双曲线的方程为x21.5.已知f1，f2为双曲线c：x2y22的左，右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cosf1pf2等于()a. b. c. d.答案c解析由双曲线定义知，|pf1|pf2|2， 又|pf1|2|pf2|，|pf2|2，|pf1|4，|f1f2|2c2 4.cosf1pf2.6.已知双曲线1，直线l过其左焦点f1，交双曲线左支于a，b两点，且|ab|4，f2为双曲线的右焦点，abf2的周长为20，则m的值为()a.8 b.9 c.16 d.20答案b解析abf2的周长|ab|af2|bf2|20，|ab|4，|af2|bf2|16.根据双曲线定义知，2a|af2|af1|bf2|bf1|，4a(|af2|bf2|)(|af1|bf1|)16412，a3，ma29.故选b.二、填空题7.已知双曲线1的一个焦点坐标为(3，0)，则m_.答案5解析因为c3，故解得m5.8.与圆a：(x5)2y249和圆b：(x5)2y21都外切的圆的圆心p的轨迹方程为_.答案1(x0)解析设动圆p的半径为r，且p(x，y)，则|pa|r7，|pb|r1，|pa|pb|60).9.已知双曲线1上一点p到f(3，0)的距离为6，o为坐标原点，若()，则|的值为_.答案1或5解析由题意得q为pf的中点，设左焦点为f，其坐标为(3，0)，|oq|pf|.若p在双曲线的左支上，则|oq|pf|(|pf|2a)(622)1；若p在双曲线的右支上，则|oq|pf|(|pf|2a)(6